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1、概率论第47讲第五章第五章极限定理极限定理知识点：切比雪夫不等式切比雪夫不等式概率论是数理统计的基础，而概率统计概率论是数理统计的基础，而概率统计是是研究随机现象统计规律性的学科。研究随机现象统计规律性的学科。所以，要从随机现象中去寻求统计规律所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行就应该对随机现象进行大量的观测。大量的观测。随机现象的统计规律性只有在相同条件随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行下进行大量的重复试验大量的重复试验才能呈现出来。才能呈现出来。研究随机现象的大量观测，研究随机现象的大量观测，常采用极常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。限形式，由此导致了极限
2、定理的研究。极极限定理的内容很广泛限定理的内容很广泛,最重要的有两种最重要的有两种:“大数定律”大数定律”和和“中心极限定理”。“中心极限定理”。对随机现象进行大量重复观测，对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出各种结果的出现频率现频率具有稳定性。具有稳定性。5.1 大数定律（大数定律（Law of Large Numbers）大量地掷硬币大量地掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率大数定律大数定律就是对这种大量重复观测中出现的就是对这种大量重复观测中出现的稳定性现象的数学描述。一类定理的总称。稳定性现象的数学描述。一类定理的总称。5.1.1 切比雪夫切比雪夫(Chebysh
3、ev)不等式不等式定理定理5.1:设随机变量设随机变量X有期望有期望和方差和方差2，则对任给的则对任给的 0,有有.|22XP或或证明：证明：只对只对X是连续型情况加以证明。是连续型情况加以证明。设设X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，则有，则有|d )(|xxxfXP放大被积函数放大被积函数放大积分域放大积分域离散型的情况请同学们自行证明例例5.1.1 设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望都是的数学期望都是2，方差，方差分别是分别是2和和4，且，且X和和Y相互独立，试根据切比雪夫不等相互独立，试根据切比雪夫不等式估计式估计解：解：切比雪夫不等式估计概率的优缺点：缺点：估值比较粗糙。优点：不需要知道随机变量的分布。思考题：思考题：总结：总结：今天我们主要讲了切比雪夫不等式 和它的简单应用。