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1、第?章?多元函数微积分初步前面我们所讨论的函数都是只限于一个自变量的函数?简称一元函数?但是在许多实际问题中所遇到的很多情况是一个变量依赖于多个变量的变化?从而产生了几个自变量的函数?多元函数以及多元函数的微分和积分问题?本章在一元函数微积分学的基础上?讨论多元函数的微分法和积分法及其应用?从一元函数到两个自变量的二元函数?由于自变量个数的增加?往往产生许多新问题?而从二元函数到二元以上的多元函数则可类推?所以我们以研究二元函数为主?多元函数的概念及其极限与连续?多元函数的概念在很多自然现象和实际问题中所涉及的往往是多个变量之间的依存关系?例如?矩形面积公式?描述了面积?依赖于长?与宽?这两个
2、量的关系?一定质量的理想气体的压强?体积?和绝对温度?之间具有关系?其中?为常数?下面我们给出二元函数的定义?定义?设变量?和?如果当变量?在一定范围内任取一对值?时?按照某一确定的对应法则?变量?总有唯一确定的值?与其相对应?则称变量?为变量?的二元函数?记作?其中?称为自变量?函数?称为因变量?自变量?的变化范围称为函数?的定义域?类似地?可以定义三元函数以及三元以上的函数?二元以及二元以上的函数统称为多元函数?函数的对应法则与定义域是多元函数的两个要素?显然?我们可以用?坐标面上的点?来表示二元函数的自变量取值?因此?二元函数?的定义域是?平面上的点集?一般地?二元函数的定义域是使函数有
3、意义的有序实数组的全体?例如?函数?的定义域为适合?的点?的全体?即平面点集?如图?所示?函数?槡?的定义域为适合?的点?的全体?即平面点集?如图?所示?把自变量?和因变量?当作空间直角坐标系中点的坐标?当?取遍定义域?中的每对值时?动点?的轨迹就是二元函数?的图形?一般地它是一曲面?而其定义域?就是此曲面在?平面上的投影?如图?所示?例如?函数?槡?的图像就是放置在?平面上的半球面如图?所示?图?图?在讨论二元函数时?要常用到邻域及区域的概念?邻域及区域是满足一定条件的平面点集?平面上到点?距离小于?的点?的全体?称为点?的?邻域?记作?或?即?槡?图?若邻域不包含?点?称为去心邻域?设?是
4、一平面点集?是平面上的一点?若存在点?的一邻域?使?则称?为?的内点?如图?所示?若点?的任何一邻域中?既含有?中的点?又含有不属于?的点?则称点?为?的边界点?的边界点的全体称为边界?如图?所示?应 用 数 学例如?点集?的边界是圆周?和?若点集?的点都是内点?则称?为开集?设?是开集?如果?内的任意两点都可以用完全位于?内的折线连接起来?则称开集?为开区域?或区域?例如?点集?都是开区域?区域连同它的边界?称为闭区域?例如?是闭区域?若一个开区域或闭区域的任意两点之间的距离不超过某一常数?这个点集就是有界的?否则?就是无界的?二元函数的极限与连续与一元函数一样?我们下面讨论当自变量?趋向于
5、定点?时函数?的极限?但二元函数的情况要比一元函数的极限复杂得多?因为在?平面上点?趋向于点?的方式可以多种多样?也就是说?如果当自变量?以任意方式趋向于?时?函数?都无限接近于某一确定的常数?我们就称?为函数?当?时的极限?下面我们给出极限用?方式的定义?二元函数极限的定义定义?设函数?在点?的某个去心邻域内有定义?是一确定的常数?若对于任意给定的正数?总存在某一正数?使得对于满足不等式?槡?的一切点?恒有?成立?则称?为函数?当?时的极限?记作?或?为了区别于一元函数的极限?我们把二元函数的极限称为二重极限?注意?由于二重极限自变量个数的增多?自变量?趋向于定点?的方式也就很复杂?定义中要
6、求为任意方式?因此?自变量?从某一种或几种方式趋向于定点?时?趋向于同一数?我们不能断定函数的极限存在?例如?对于函数?当?沿直线?或?趋向于?时?有?或?但当?沿直线?趋向于?时?有?显然它是随?值变化的?所以对于函数?当?时它的极限不?第?章?多元函数微积分初步存在?这里指出?一元函数中极限的运算法则对于二重极限同样适用?定理?运算法则?若?那么?证明从略?二元函数的连续性与一元函数一样?我们用函数极限说明二元函数的连续性的概念?定义?设点?为函数?的定义域?的一个内点?若?则称函数?在点?处连续?反之?函数?在?处不满足上述定义?我们就称?在点?处间断?上述定义还可换个说法?设?为自变量
7、?在?处的增量?相应地?为函数?在?处的全增量?而?和?称为?在?处的偏增量?因此式?也可表示为?若函数?在点集?内的各点处都连续?则称函数?在?内连续?二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质?证明从略?有限个连续函数的代数和仍是连续函数?有限个连续函数的乘积仍是连续函数?两个连续函数之商?分母不为零?仍是连续函数?有限个连续函数的复合函数仍是连续函数?由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而构成的?且可由一个式子表示的多元函数称为多元初等函数?例如?槡?等都是二元初等函数?显然?一切多元初等函数在其定义域区域内是连续的?有界闭区域上的二元连续函数有如下性质?证明从略?性质?最大值和最小值定
8、理?设在有界闭区域?上的二元连续函数?在该?应 用 数 学区域上至少可取得最大值和最小值各一次?性质?介值定理?设在有界区域?上的二元连续函数?和?为?上任意两点?则对介于?和?的任何一值?在?中至少存在一点?使得?习题?设函数?求?用不等式表示下列各平面点集?一个顶点在原点?边长为?而且一边在?轴上?的正三角形区域?以?为顶点的梯形闭区域?求下列各函数的定义域?槡?槡?槡?槡?槡?试证?满足关系式?指出下列各函数的间断处?求极限?槡?偏导数和高阶偏导数在前面?我们从一元函数的变化率引入一元函数的导数概念?对于多元函数也有类似的问题?二元函数中把其中一个自变量暂时固定?然后讨论它对另一个自变量
9、的瞬时变化率?实际上就是把多元函数作为一元函数来对待并求其导数?这正是多元函数的偏导数问题?偏导数定义?设二元函数?的定义域为?点?且?在?的一邻域内有定义?把?固定为?而?在?处有增量?相应地函数?也有偏增量?若比值?当?时极限存在?则称此极限为函数?在?处对?的偏导数?记作?第?章?多元函数微积分初步?或?即?同样?我们可以定义函数?在点?处对?的偏导数为?记作?或?如果?在区域?上的每一点?都存在对?或?的偏导数?则对于?内每一点与其偏导数的对应所确定的新函数称为?对?或?的偏导函数?记作?或?或?即?今后在不致混淆的情况下?偏导函数也简称偏导数?显然?函数?在点?处的偏导数就是偏导函数
10、在?处的函数值?既然偏导数实质上可看作一元函数的导数?那么?一元函数求导的方法对于求偏导数完全适用?只要记住对一个自变量求导时?把另一个自变量暂时看作常数就可以了?偏导数的概念可以推广到二元以上的函数?例如?三元函数?对?的偏导数就为?例?求函数?的偏导数?解?例?求?在点?处的偏导数?解?所以?应 用 数 学?例?求函数?槡?的偏导数?解?槡?槡?特别指出?对一元函数来说?是函数的微分?和自变量的微分?之商?而偏导数?图?的记号?是一个整体记号?其中的横线没有相除的意义?二元函数?在点?处的偏导数有下述几何意义?二元函数?表示空间的一曲面?而?就是曲面与平面?的交线?因此?就是曲线?在点?处
11、的切线?对?轴的斜率?同样?是曲面?与平面?的交线?在点?处的切线?对?轴的斜率?如图?所示?对于一元函数而言?可导一定连续?而多元函数在某点的偏导数存在?不一定保证它在该点处连续?例如?函数?在点?处对?和?的偏导数存在?但当?时?的极限不存在?因而此函数在?处不连续?高阶偏导数设函数?在区域?内存在偏导函数?如果这两个偏导函数的偏导数也存在?则称这两个偏导函数的偏导数为函数?的二阶偏导函数?依据对变量求导的次序不同而有下列四个二阶偏导数?记作?第?章?多元函数微积分初步其中?两个偏导数也称为混合偏导数?如果二阶偏导数仍然存在偏导数?则称此偏导数为?的三阶偏导数?一般地?的?阶偏导数的偏导数
12、称为?的?阶偏导数?当?时?阶偏导数统称为高阶偏导数?而?时?即?称为?的一阶偏导数?例?设函数?求二阶偏导数?解?所以?显然?与?这两个二阶混合偏导数在例?中是相等的?这个结论对一般的函数也适用?证明从略?若函数?的二阶混合偏导数?与?在区域?内都连续?那么它们必相等?也就是说求导结果与求导次序无关?习题?求下列各函数的一阶偏导数?槡?为常数?槡?设?槡?槡?证明?设?槡?求?曲线?在点?处的切线与?轴正向所成的倾角是多少?应 用 数 学?求下列函数的二阶偏导数?设?验证?试证?如果?的两个偏导数?及?在?域恒为零?那么?在?域内为常数?全微分前面在一元函数?中?我们曾讨论了用函数增量?的线
13、性主部?近似代替?进一步定义了微分的概念?现在对于二元函数也要讨论类似的问题?定义?如果函数?在点?处的全增量?可表示为?其中?为仅与?及点?有关?而与?无关的常数?槡?则称函数?在点?处可微?并称?为函数?在点?处的全微分?记作?或?即?特别指出?若函数?在?处可微?式?也可表示为?其中?为当?时的无穷小量?证明从略?下面我们推导常数?与函数?在点?处偏导数的关系?若函数?在点?处可微?那么恒有?令?这时?于是?上式两边同除以?再取当?时的极限?得?同理可得?即?这说明了若函数?在点?处可微?那么函数?在点?处的偏导数存在?且函数?在点?处的全微分唯一地表示为?第?章?多元函数微积分初步?又
14、由于自变量的增量等于它的微分?即?因此式?又可记为?其中?又称为函数?对?和?的偏微分?如果函数?在点?处可微?由式?可知?两边取当?时的极限?即有?因此?在点?处一定连续?也就是说可微一定连续?我们知道?一元函数在某点处导数存在和微分存在是等价的?但对于二元函数就不同了?例如?在点?处虽然偏导数都存在?但函数?在?处不连续?因此不可微?也就是说?偏导数存在只是全微分存在的必要条件?但是?如果函数的各个偏导数存在且连续?函数一定可微?证明从略?以上关于二元函数全微分的定义及全微分存在的条件?也可类似地推广到二元以上的多元函数?例如?若函数?可微?有?例?求某函数?在点?的全微分?解?所以?例?
15、求函数?槡?的全微分?解?所以?设函数?在点?处可微?若自变量的增量?很小时?则?应 用 数 学或?例?计算?的近似值?解?设函数?因此?而?因为?所以?习题?求?在?处的全微分?求?在?处?当?时的全增量及全微分?求下列各函数的全微分?槡?求下列近似值?槡?多元复合函数?隐函数的导数?多元复合函数的导数在一元函数的微分法中?复合函数的导数是一个重要内容?对于多元函数也是如此?现在就来讨论二元复合函数的微分法?定理?设函数?在点?处的偏导数存在?而函数?在对应的点?处可微?那么复合函数?在点?处也有一阶偏导数?且?证?给自变量?以增量?相应地?函数?和?对?有偏增量?第?章?多元函数微积分初步
16、由于函数?有连续的偏导数?根据上节中式?可知?其中?是当?时的无穷小量?又因为函数?的偏导数存在?因此它们对?都是连续的?即?时?有?所以?和?也是?时的无穷小量?以?除式?的等号两边?得?两边取当?时的极限?得?同理可得?特别地?设?若复合函数?满足上述定理条件?那么它对?的导数为?称之为?对?的全导数?类似地?可以把定理推广到中间变量和自变量为两个以上的情形?例如?设?复合函数?对?的全导数为?设?复合函数?的偏导数为?设?复合函数?的偏导数为?例?设?且?求?的导数?解?应 用 数 学?例?设?求?解?所以?其中?例?设?求?与?解?由于?而?所以?这里?与?看似形式相同?但它们的含义不
17、相同?为三元函数?把?看作常数后对?的偏导数?而?为二元函数?对自变量?的偏导数?以后为了避免混淆?我们用?与?进行区别?为了简便起见?我们引入下列记号?同理还有?等?第?章?多元函数微积分初步显然?多元复合函数的求导法关健在于区分清楚在函数的结构中哪些是中间变量?哪些是自变量?例?设?求?和?解?设?则?所以?隐函数的求导公式在前面我们已介绍了隐函数的概念?并指出了不经过显化直接由方程?求它所确定的隐函数的导数的方法?但一般地二元方程不一定就能确定一个一元单值函数?我们可以证明?从略?如果函数?有连续的一阶偏导数?且?那么方程?在?的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的函数?由于?左端可以看作
18、是?的一个复合函数?恒等式两边求导后仍然恒等?即得?因此?既然一个二元方程可能确定一个一元隐函数?那么我们可类似地推广?一个三元方程可能确定一个二元隐函数?如果方程?的左端有连续的一阶偏导数?且?那么方程?在?的某一邻域内确定了一个单值可导的二元函数?且?读者自己推导上式?例?设?求?解?设?由于?所以?应 用 数 学?习题?求下列函数的一阶偏导数?槡?设?求?及?求下列函数全导数?设?槡?求?设?求?设?求?设?验证?设?其中?为可导函数?验证?求下列函数的二阶导数?设?求?及?设?求?及?设?求证?多元函数的极值在实际问题中?我们常涉及到求多元函数的最大值和最小值问题?与一元函数类似?多元
19、函数的最大值和最小值也与极值密切相关?因此先讨论多元函数的极值问题?仍着重讨论二元函数?定义?如果函数?在点?的某一去心邻域内的一切点?处?恒有不等式?成立?那么称函数?在?处取得极大值?恒有不等式?成立?那么称函数?在?处取得?第?章?多元函数微积分初步极小值?极大值和极小值统称为极值?使函数取得极值的点?称为极值点?类似地也可定义二元以上的函数的极值?例?函数?在点?处取得极小值?因为对于点?的去心邻域内的点?函数值都为正?而?该函数的图形是顶点在?处且开口朝上的椭圆抛物面?例?函数?在点?处既不取得极大值也不取得极小值?关于多元函数极值问题的判定?下面给出两个结论?定理?设函数?在?处可
20、微?在点?取得极值的必要条件是?证?若?在?处取得极值?那么对于将?取为?关于?的可导函数?也必在?处取得极值?根据一元可导函数取得极值的必要条件?即有?同理可得?凡使?同时成立的点?统称为函数?的驻点?上述驻点的定义和极值的必要条件可推广到二元以上的函数?显然由定理?可知?可微函数的极值点必定是驻点?但函数的驻点不一定是极值点?那么怎样判定一个驻点是否是极值点呢?下面的定理就给了一个判定极值的充分条件?定理?设函数?在点?的某一邻域内有一阶和二阶连续的偏导数?且?令?则?在点?处是否取得极值的条件如下所示?时具有极值?且当?时为极大值?当?时为极小值?时没有极值?时不确定?定理证明从略?根据
21、以上的两个定理?我们归结出求具有二阶连续偏导数的函数?的极值的步骤如下?第一步?求出?的一阶与二阶偏导数?第二步?求出驻点?也就是解方程组?的一切实数解?并确定出驻点处的二阶偏导数值?和?第三步?考察?的符号?由定理?判定极值点?并求出极值?例?求?的极值?解?应 用 数 学使?得?解之得驻点?在驻点?处有?且?因此?在?处取得极小值?在驻点?处有?因此?在点?无极值?与一元函数类似?我们利用函数的极值来求函数的最大值和最小值?我们已知道有界闭区域?上的连续函数必存在最大值和最小值?这时函数的最大值和最小值既可能取在?的内部?也可能取在?的边界上?设函数在?内可微且只有有限个驻点?如果函数的最
22、大值和最小值在?的内部取得?那么这个最大值和最小值也是函数的极大值和极小值?所以欲求函数的最大值和最小值时?可先求出所有驻点处的函数值以及边界上的最大值和最小值?进行比较大小?其中最大的就是最大值?最小的就是最小值?特别在实际问题中?如果知道函数的最大值?或最小值?在区域内部取得?且函数只有一个驻点?那么我们就可以不用判定极值?而肯定该驻点处的函数值就是函数的最大?或小?值?例?求原点到平面?的最短距离?解?设?为该平面上的一点?则?因为?令?联立方程组?解得驻点?所以?最小?槡?例?要用铁板做一个体积为?的有盖长方体水箱?问当长?宽?高各取怎样的尺寸时?才能使用料最省?解?设水箱的长为?宽为
23、?则其高应为?此水箱所用材料的面积为?又因为?令?联立方程组?解得驻点?槡?槡?根据题意?水箱所用材料的最小值一定存在?而函数在?内有唯一驻点?第?章?多元函数微积分初步因此当水箱的长?宽分别为?槡?高为?槡?槡?槡?时?水箱所用的材料最省?习题?求函数?的极值点及极值?求函数?的极值?用铁皮制一个长方体无盖小盒?如果使用的铁皮面积为?问怎样做才能使其容积为最大?求原点到曲面?的最短距离?在半径为?的球内求一个体积最大的内接长方体?多元函数微分法的几何应用?空间曲线的切线与法平面设空间曲线?的参数方程为?其中方程中的三个函数都可导?且导数不同时为零?如图?所示?图?根据切线的概念?我们先求曲线
24、过定点?当?时?的割线方程?给?一增量?相应地有增量?得?邻近一点?因此割线?的对称式方程是?以?除上式的各个分母?得?当?时?即?时?对上式取极限?故得曲线?在点?的切线方程为?其中?为切线的方向数?过切点而与切线垂直的平面称为曲线在该点处的法平面?所以曲线?在点?处的法平面的点法式方程为?应 用 数 学例?求螺旋线?在?处的切线与法平面方程?解?当?时?曲线上所对应的点为?因为?因此?所以?在?处曲线的切线方程为?法平面方程为?曲面的切平面与法线设曲面?的方程为?及曲面上一点?其中函数?图?具有连续的一阶偏导数且偏导数不同时为零?如图?所示?在曲面上过点?作任意一条曲线?假定曲线?的参数方
25、程为?当?时对应于?且?都存在并不全为零?所以曲线?在点?处具有切线?且切线的方向向量?又因为曲线?在曲面?上?所以有?等式两边在?处求导?于是?设向量?显然?其中?只与点?有关?而与所作曲线无关?也就是说?曲面?上过?的所有曲线在?处的切线都与向量?垂直?所以这些切线共面?这个平面就称为曲面在点?处的切平面?是这个切平面的一个法向量?这个切平面方程为?过点?而垂直于切平面的直线为曲面在此点处的法线?法线方程是?特别地?当曲面方程用?表示时?令?则?第?章?多元函数微积分初步?因此曲面?在点?处的切平面方程为?法线方程为?例?求椭球面?在点?处的切平面和法线方程?解?令?则?所以切平面的方程为
26、?即?法线方程为?习题?求曲线在给定点处的切线及法平面方程?在?处?在点?槡?槡?处?在点?处?求下列曲面在给定点处的切平面及法线方程?在点?处?在点?处?求椭球面?上平行于平面?的切平面方程?证明?曲面?的切平面与坐标平面所围成四面体的体积为一常数?二重积分在一元微积分学中?我们知道定积分在实际问题中可以用来计算只与函数和区间有关的?应 用 数 学某些量?即为积分和式的极限?我们把这种和的极限推广到定义在某个区域上的多元函数的情况?便有了重积分的概念?这里只讨论二元函数的二重积分?二重积分的概念例如?有一立体?它的底是?平面上的有界闭区域?它的侧面是以?的边界曲线为准线而母线平行于?轴的柱面
27、?它的顶是曲面?这里?且在?上连续?如图?所示?这种立体称为曲顶柱体?一般地?空间立体的体积总可以化为曲顶柱体体积的代数和?现在我们只讨论曲顶柱体的体积?显然?曲顶柱体体积一般不能直接用底面积?高来计算?但前面我们计算曲边梯形面积的方法?可以用来解决目前的问题?如图?所示?图?图?我们用任一曲线把区域?分成?个小区域?其中?为小区域的面积?以这些小区域的边界曲线为准线?作母线平行于?轴的柱面?这些柱面把原来的曲顶柱体分为?个细条曲顶柱体?设以小区域?为底的细条曲顶柱体的体积为?则原曲顶柱体的体积为?在每个小区域?中任意取一点?那么用以?为底?为高的平顶柱体的体积来近似替代小曲顶柱体体积?即?所
28、以?令?个小区域的直径?指该区域中任意两点间距离的最大值?中的最大值?记作?趋于零?那么上述和的极限便是所求曲顶柱体的体积?即?与上述求曲顶柱体体积的方法相类似?许多实际问题也可这样解决?现在我们抛开这些问题的实际意义?抽象出二重积分的概念?第?章?多元函数微积分初步定义?设函数?为有界闭区域?上的有界函数?把区域?任意分成?个小区域?其中?表示第?个小区域?也表示它的面积?在每个小区域?中任意取一点?作乘积?作和?如果当?无限增大且各小区域的直径中的最大值?时?这个和的极限存在?那么这个极限值就称为函数?在区域?上的二重积分?记作?即?其中?称为被积函数?称为被积表达式?区域?称为积分区域?
29、称为面积元素?与?称为积分变量?在二重积分记号?中?为面积元素?即为小区域的面积?由于对区域?任意划分?如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线来划分区域?那么绝大多数小区域都是矩形?则?因此?在直角坐标系中?也把二重积分记作?其中?为直角坐标系中的面积元素?应当注意?函数?在区域?上的二重积分?的值只与函数?及积分区域?有关?与区域?的划分法和?的取法无关?也与积分变量用何字母表示无关?这里指出?若函数?在区域?上连续?那么?在?上的二重积分必然存在?以后对于我们所研究的二重积分?总假定其被积函数在积分区域上连续?不再每次加以说明?由二重积分的定义可见?当?时?的几何意义就是曲顶柱体体积?当?
30、时?就是柱体体积的负值?当?在?上有正有负时?那么二重积分?就是?面上方的柱体体积与?面下方柱体体积的负值的代数和?二重积分的性质由二重积分的定义可以看到?二重积分与定积分有类似的性质?证明从略?性质?被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面?即?为常数?性质?函数和?或差?的二重积分等于各个函数的二重积分的和?或差?例如?性质?如果闭区域?被有限条曲线分为有限个部分区域?那么在?上的二重积分等?应 用 数 学于在各部分区域上的二重积分的和?例如?当?分为两个区域?和?有?性质?如果在区域?上?为?的面积?那么?性质?如果在区域?上?那么?性质?设?分别是?在区域?上的最大值和最小值?是?的
31、面积?则有?性质?设?在闭区域?上连续?是?的面积?则在?上至少存在一点?使得?二重积分的计算根据二重积分的几何意义?用平行截面面积已知的立体体积来计算以?为曲顶?以区域?为底的曲顶柱体的体积?导出化二重积分为二次定积分的公式?设?且在?上连续?积分区域?由不等式组?来表示?如图?所示?其中?在?上连续?图?按照二重积分的几何意义?的值等于以?为底?以曲面?为顶的?图?曲顶柱体体积?如图?所示?下面我们用定积分应用中的计算?平行截面面积为已知的立体体积?的方法来计算曲顶柱体体积?在区间?中任取一点?用垂直于?轴的平面?去截曲顶柱体?截面是一个以区间?为底?曲线?为曲边的曲边梯形面?如图?所示?
32、它的面积为?第?章?多元函数微积分初步一般地?过区间?上任一点?用垂直于?轴的平面截曲顶柱体所得截面的面积为?它是关于?的函数?积分时把?看作常数?于是?按照?已知平行截面面积求立体体积?的方法?可知所求曲顶柱体的体积为?所以有?这就是说?要计算二重积分?可化为两次对一元函数的定积分来计算?即二次积分?上式也可写为?这里对于?上式可成立?类似地?若积分区域?可用不等式?来表示?其中?在?上连续?如图?所示?那么有?就是把二重积分化为先对?再对?的二次积分的公式?若积分区域?既可用不等式?来表示?也可用不等式?来表示?那么有?显然二重积分化为二次积分时?确定积分次序和积分限是关键?它们是由积分区
33、域?的情形确定的?我们讨论如下?若经过区域?内一点平行于?轴?或?轴?的直线与区域?的边界的交点至多为两个?那么区域?称为沿?轴?或?轴?方向的正规区域?图?所示区域为沿?轴方向的正规区域?图?所示区域为沿?轴方向的正规区域?图?如果区域?为沿?轴方向的正规区域?则区域?可用不等式?来表示?其中?为下?上边界曲线函数?二重积分可用公式?化为二次积分?应 用 数 学?如果区域?为沿?轴方向的正规区域?则区域?可用不等式?来表示?其中?为左?右边界的曲线函数?二重积分可用公式?图?化为二次积分?如果区域?既为沿?轴方向的正规区域?又为沿?轴方向的正规区域?此时既可用公式?又可用公式?化二重积分为二
34、次积分?如果区域?既非沿?轴方向的正规区域?又非沿?轴方向的正规区域?那么总可以把它分割为几块沿?轴?或?轴?方向的正规区域?例如?在图?中?把?可分成三个部分区域?利用二重积分的性质?区域?上的二重积分就等于三个部分区域上二重积分之和?例?计算?其中区域?是由直线?及?所围成的三角形区域?解法?如图?所示?图?因此?解法?如图?所示?因此?图?上例中?两种二次积分的计算量一样?但有些二次积分的积分次序不一样?会使难易程度相差很大?甚至积不出来?此时必须选择适当的积分次序?例?求?其中?是由?及?所围成的区域?如图?所示?解?在这里?先对?后对?积分会积不出来?因此?第?章?多元函数微积分初步
35、?例?计算?其中?是由抛物线?及直线?所围成的区域?解?如图?所示?如果在这里先对?后对?积分?则必须把?划为部分区域和?因此先对?后对?积分?例?计算?其中?同上例?解?先对?后对?积分?对?的积分积不出来?因此先对?后对?积分?故?划分为?和?之和?如图?所示?槡?槡?槡?图?图?应 用 数 学有些二重积分?其积分区域的边界曲线用极坐标表示比较方便?我们可以考虑在极坐标?图?系中计算二重积分?根据二重积分的定义?我们可在极坐标系下求这个极限?在极坐标系下?引过极点的射线和以极点?为圆心的同心圆?把?分成?个小区域?如图?所示?除了含有?的边界点的小区域?略去不计?外?任意小区域的面积?为?
36、在圆周?上任取一点?其中?其直角坐标为?其中?因此?即?这就是二重积分从直角坐标系到极坐标系的变换公式?其中?为在极坐标系中的面积元素?同样?极坐标系中的二重积分也可以化为二次积分来计算?极点在区域?之外?如图?所示?区域?可以用不等式?表示?极坐标系中的二重积分可化为?极点在区域?之内?如图?所示?图?图?第?章?多元函数微积分初步区域?可用不等式?来表示?而二重积分就为?例?其中?是环形区域?解?在直角坐标系中化为二次积分来计算上面的二重积分相当困难?而?可表示为?因此由公式?有?二重积分的应用在定积分的应用中?我们介绍了微元法来确定被积式?这种方法同样可推广到二重积分的应用中?如果所求的
37、某个量?对于区域?而言可以通过分割?求近似值?求和及取极限来求得?则可以用二重积分来计算?其中在每个小区域上的小量?可近似地表示为?那么?就称为所求量?的微元素?记作?以?为被积式?在区域?上的二重积分值?就是所求量?这种方法称为微元法?例?求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体体积?解?设这两个圆柱面的方程分别为?及?利用立体关于坐标面的对称性?该立体体积为第一卦限部分体积?的?倍?如图?所示?图?所求立体在第一卦限部分可以看成是一曲顶柱体?它的底为?面上的四分之一圆?如图?所示?故?槡?它的顶是柱面?槡?于是?槡?应 用 数 学?槡?槡?从而所求立体体积为?例?求球体?与圆柱体?的公共部分
38、的体积?如图?所示?解?由对称性可知?槡?图?其中?为半圆周?槡?及?轴所围成的区域?在极坐标系中?为?于是?槡?槡?另外?由二重积分的性质?可以用来计算区域?的面积?例?试求区域?的面积?其中?为?解?设?的面积为?则?由公式?有?第?章?多元函数微积分初步?习题?在二重积分定义中?能否改成小域面积的最大值?试用二重积分的几何意义?说明下列等式?其中?为?的面积?槡?为以原点为圆心?半径为?的圆?比较?的大小?其中?由圆周?围成?估计?值的范围?其中?是矩形区域?变换下列二次积分的次序?槡?槡?槡?计算下列二重积分?顶点为?及?的梯形域?槡?由?及?所围成?由?所围成?由?所围成?计算由曲面
39、?及?所围成的立体体积?利用极坐标系计算?应 用 数 学?槡?由圆周?及直线?所围成的第一象限区域?计算以?面上的圆形区域?为底?以曲面?为顶的曲顶柱体的体积?曲线积分?对弧长的曲线积分的概念引例?平面曲线的质量?所谓平面曲线的质量?是指平面上细长物体?的质量?如果曲线?上的线密度?是一个常量?则曲线的质量就等于曲线?的长度与?的乘积?图?如果曲线?在?平面上?其线密度?是点?的函数?曲线?的质量就不能用上述的方法来计算?可按下述方法解决?分割用点?将?任意分割成?个子弧段?其长度分别为?如图?所示?替代在每一子弧段上任取一点?则第?个子弧段的质量?求和将?段子弧段的质量的近似值加起来?得曲线
40、弧?质量?的近似值为?取极限当所有子弧段长?趋于零时?上述和式的极限就定义为曲线弧?的质量?则?在数学上?把定义在曲线上的函数作成上述和式的极限抽象为对弧长的曲线积分概念?定义?设?面上的连续曲线?是分段光滑的?且有有限长度?函数?在?上有界?在曲线?上依次插入分点?把?分成?个子弧段?记子弧的长度为?并在上任取一点?如果极限?第?章?多元函数微积分初步?存在?则称此极限为函数?在平面曲线上上对弧长的曲线积分?记作?即?其中?称为被积函数?称为积分表达式?称为积分弧段?如果?是闭曲线?那么上述积分记为?对弧长的曲线积分与定积分很类似?所不同的除被积函数外?主要是积分范围不同?定积分是在数轴上的
41、一个区间?而对弧长的曲线积分是在一段曲线?上?对弧长的曲线积分的性质主要有?性质?设?则?性质?在曲线弧?上与?上的曲线积分相等?即?这就是说?对弧长的曲线积分与路径的方向无关?对弧长的曲线积分的计算法定理?设?在曲线弧?上连续?的参数方程为?其中函数?在?上具有一阶连续导数?且?则曲线积分存在且?槡?此定理证明从略?因为?是正值?所以对弧长的曲线积分的计算公式中应保持积分上限大于积分下限?例?计算?的值?是曲线?槡?图?解?的参数方程是?槡?例?计算?其中?是抛物线?上从点?与点?槡?之间的一段弧?如图?所示?解?将该积分化为对?积分?计算比较方便?曲线?的?应 用 数 学端点的纵坐标为?与
42、槡?槡?槡?因此?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?对坐标的曲线积分的概念引例?变力作功?设质点在?平面内从点?沿曲线弧?移动到点?在移动过程中?该质点受到力?图?的作用?其中函数?在?上连续?要计算在上述过程中变力?所作的功?用?个分点?把曲线?分割成?个有方向的子弧段?记有向弦?在?轴和?轴的投影分别为?和?如图?所示?则?在每一有向子弧段上任取一点?用?代替其上每一点的力?那么在第?个有向子弧段上?力?所作的功可近似地表示为?总的功?为?记?则?在数学上?把定义在有向曲线上的函数作成上述和式的极限抽象为坐标的曲线积分概念?定义?设?为?平面上从点?到点?的一条分段光滑的有向曲线?函数?在?上有
43、界?沿?正方向依次取分点?把?分成?个有向小弧段?设?并记?为所有小弧段长度的最大值?在上任意取一点?如果极限?第?章?多元函数微积分初步?存在?那么这个极限称为函数?在有向弧段?上对坐标?的曲线积分?记为?类似地?如果极限?存在?那么这个极限称为函数?在有向弧段?上对坐标?的曲线积分?记为?这里?叫做被积函数?叫做积分曲线?在应用上常常把上述两个积分结合在一起?即?也可写成?对坐标的曲线积分也称为第二型曲线积分?对坐标的曲线积分有以下两条性质?性质?设点?则?性质?设?是与?方向相反的有向弧段?则?这是因为当弧段的方向改变时?它们在轴上的投影正好改变符号?积分就改变符号?当积分曲线?是一条封
44、闭曲线时?常把?记为中?对于平面闭曲线?一般规定逆时针方向为闭曲线?的正方向?对坐标的曲线积分的计算法定理?设有向曲线?的参数方程为?其中函数?具有一阶连续导数?的起点?与终点?分别对应的参数为?和?当参数单调增加?或减小?由?变?时?点?从点?到?的方向描出曲线?如果函数?在?上连续?则积分存在?且?注意?其中?可以大于?应 用 数 学例?计算?其中?为抛物线?上从点?到点?的一段弧?如图?所示?解法一?将所给曲线积分化为对?的定积分来计算?由于?槡?不是单值函数?所以要把?分为?和?两部分?其中?槡?自?至?槡?自?至?因此?槡?槡?解法二?将所给曲线积分化为对?的定积分来计算?由于?自?
45、到?因此?例?计算?其中?为?半径为?圆心为原点?按逆时针方向绕行的上半圆周?如图?所示?图?图?从点?至点?的直线段?解?取?的参数方程?从?到?进行计算?有?第?章?多元函数微积分初步?的参数方程是?从?变成?所以?从例?看出?虽然两个曲线积分的被积函数相同?起点和终点也相同?但沿不同路径得出的值并不相等?例?计算?其中?为?抛物线?上从?到?的一段弧?抛物线?上从?到?的一段弧?解?可看成以?为参数的方程?则?图?可看成?为参数的方程?则?从例?可知?虽然积分路径不同?但积分结果却可能相同?例?计算?其中?是沿圆周?逆时针方向所形成的曲线?如图?所示?解?的参数方程为?由?到?则?习题?
46、计算?为从点?到点?的直线段?计算?为摆线?计算?是以?和?为顶点的三角形?计算?槡?为圆周?直线?及?轴在第一象限中围成的图形的边界?计算?其中?为由点?到点?的直线段?计算?其中?为曲线?上对应于?从?到?的一段?应 用 数 学?计算?其中?是抛物线?上从点?到点?的一段弧?计算?圆周?逆时针闭路?设一平面力场?求一质点在此力场中沿曲线?从?点到?点所作出的功?曲线积分与路径无关的条件?格林公式格林公式阐明了闭曲线上的曲线积分与二重积分的关系?定理?设区域?是由分段光滑且不自相交的曲线?所围成的连通有界闭区域?函数?及?在?上具有一阶连续偏导数?则有?上式称为格林公式?其中?是闭域?的边界
47、?沿?的积分是按正向取的?所谓?的正向是指这样的方向?当观察者沿此方向前进时?区域?始终在其左侧?如图?所示?证?先证?的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不超过两点的情况?例如区域?由曲线?及直线?围成?如图?所示?图?那么?根据二重积分的计算法?有?另一方面?由曲线积分的性质及计算法?有?第?章?多元函数微积分初步?因此?如果穿过区域?内部且平行于?轴的直线与?的边界曲线的交点不超过两点?那么类似地可以证明?则有?如果区域?不满足以上条件?那么可以在?内引进一条或几条辅助曲线把?分成有限个部分区域?使得每个部分区域都满足上述条件?如图?所示?引进一条辅助线把?分图?成?和?两个部分区域?则
48、?把两个等式相加?注意到相加时沿辅助线的曲线积分相互抵消?使得?这就证明了公式对任何有界闭区域?都成立?下面是关于格林公式的一个简单应用?在公式中取?得?上式左端是区域?面积?的两倍?因此有?例?计算椭圆?的面积?解?用参数方程表示?则椭圆的面积?其中?是椭圆闭域的正向边界?即?例?计算?其中?是圆周?的逆时针方向?应 用 数 学解?令?则?由格林公式得?例?计算?其中?是点?沿?上半圆周到点?的圆弧段?为常数?解?补上直线段?使?为闭曲线?围成半圆区域?可用格林公式?又由?的方程?得?则?平面曲线积分与路径无关的条件一般地讲?曲线积分与积分路径有关?但在一定条件下曲线积分与积分路径无关?与路
49、径无关问题在理论上占有重要地位?所谓曲线积分与路径无关是指?在以始点为?和终点为?的任何曲线上的曲线积分相等?即?其中?和?分别为以?为起始点?为终点的两条曲线?函数?满足什么条件时?曲线积分?与路径无关?下面的定理回答了这个问题?定理?设?为平面单连通开区域?函数?在?内具有连续的一阶偏导数?那么曲线积分?在?内与路径无关的充分必要条件是恒等式?在?内成立?证明从略?例?验证曲线积分?与路径无关?并求其值?第?章?多元函数微积分初步解?所以曲线积分与路径无关?取路径为折线?如图?所示?如果知道了曲线积分与路径无关?那么遇到某一条路径不易积分时?可以改换一条容易积分的路径?例?计算?其中?不包
50、含也不通过原点的闭曲线?如图?所示?以?为起点?为终点的任何有向简单曲线?如图?所示?图?图?解?因为?所以当?时?由于在?围成的单连通域内有?所以?因曲线积分与路径无关?取折线?为积分路径?应 用 数 学习题?利用格公式计算曲线积分?是圆周?的正向闭路?是以?为顶点的三角形正向闭路?是域?的正向连界?利用曲线积分计算下列曲线所围成的图形的面积?椭圆?应用格林公式计算曲线积分?其中?是由点?到点?的上半圆周?其中?是由?到?的曲线?求?的值?使?与路径无关?验证?与路径无关?并求其值?设?连续可微?对任意闭曲线?有?且?求?学习指导?基本要求?理解多元函数?多元函数的极限?多元函数连续?多元函