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1、#*2017 年北京市高考文科数学试卷逐题解析年北京市高考文科数学试卷逐题解析数数 学（文）学（文） （北京卷北京卷）本试卷共本试卷共 5 页，页，150 分。考试时长分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。卷上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题一、选择题1. 已知全集，集合或，则UR |2Axx 2x UC A A. B. 2,2 , 22, UC. D. 2,2 , 22, U【答案】C【解析】或，|2Ax x 2 =,22,
2、x ，故选.2,2UC A C2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数1iai的取值范围是aA. B. ,1, 1 C. D. 1,+1,+【答案】B【解析】在第二象限.(1)()1 (1)i aiaa i 得.故选.10 10a a 1a B#*3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为sA. 2B. 3 2C. 5 3D.8 5【答案】C【解析】. 成立，.0,1kS3k 1k 2S=21成立，. 成立，. 3k 2k 2+13S=223k 3k 3+152S=33 2不成立，输出.故选.3k 5S3C4.若满足，则的最大值为 , x y3 2x xy yx 2xyA. B. 13C
3、. D. 59【答案】 D【解析】设，则，当该直线过时，2zxy1 22zyx 3,3最大. 当时，取得最大值，故选.z3,3xyz9D#*5.已知函数，则 1( )3( )3xxf x ( )f xA. 是偶函数，且在上是增函数RB. 是奇函数，且在上是增函数RC. 是偶函数，且在上是减函数RD. 是奇函数，且在上是减函数R【答案】B【解析】 且定义域为.11()3( )( )3( )33xxxxfxf x R为奇函数. 在上单调递增，在上单调递减( )f x3xy R1( )3xy R在上单调递增.1( )3xy R在上单调递增，故选.1( )3( )3xxf xRB6.某三棱锥的三视图如
4、图所示，则该三棱锥的体积为A. 60B. 30C. 20D. 10#*【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：SABC，故选.113 5 41032SABCV D7.设为非零向量，则“存在负数，使得 ”是“,m n mn”的0m n A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数，使得，且为非零向量.mn,m n 与方向相反. mn| | cos| | 0m nmnmn “存在负数，使得”是“”的充分条件.mn0m n 若，则，则.0m n | | cos0m nmn cos0，与不一定反向.(, 2mn不一定存在负
5、数，使.故选mn A8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测M3613宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的N8010M N#*是（参考数据：）lg30.48A. B. 33105310C. D. 73109310【答案】D【解析】，两边取对数3613M 8010N 361803 10M N361 36180 803lglglg3lg10361 lg3 809310M N9310M N第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题二、填空题共共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 3 30 0 分分。9.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它
6、们的终xOyOx边关于轴对称.若，则.y1sin3sin【答案】1 3【解析】根据题意得2,kkZ所以1sinsin310.若双曲线的离心率为，则实数.2 21yxm3m 【答案】2#*【解析】根据题意得221,abm且，解得2223abccea2m 11.已知，且，则的取值范围是.0,0xy1xy22xy【答案】1,12 【解析】0,0,1xyxy0,1x 2 2222211(1)221222xyxxxxx 当时，取得最小值为1 2x 22xy1 2当或时，取得最大值为0x 1x 22xy1的取值范围为22xy1,12 12.已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则P221xyA2,0O的最大值
7、为_.AO AP 【答案】 6【解析】点在圆上P221xy设点坐标，满足P00,x y22 001xy#*，2,0AO 002,APxy 002224AO APxx ，011x 26AO AP 的最大值为AO AP 613.能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题, ,a b cabcabc的一组整数的值依次为_., ,a b c【答案】 1, 2, 3 【解析】取分别为不满足，故此命题为假命题, ,a b c1, 2, 3 abc（此题答案不唯一）14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：( i ) 男学生人数多于女学生人数；(ii ) 女学生人数多于教师人数；(iii
8、) 教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为 ，则女学生人数的最大值为_；4 该小组人数的最小值为_.【答案】 6,12【解析】 若教师人数为 人，则男生人数小于 人，则男生人数48最多为 人，女生最多为 人。76若教师人数为 人，则男生人数少于 人，与已知矛盾12若教师人数为 人，则男生人数少于 人，与已知矛盾24#*若教师人数为 人，则男生人数少于 人，则男生为 365人，女生 人。4所以小组人数最小值为人34512三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，小题，共共 8 80 0 分分。解答应写出文字说明，演算步。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。骤或证明过程。15.（本小题 1
9、3 分）已知等差数列和等比数列满足， na nb111ab2410aa. 245b ba（）求的通项公式； na（）求和：.13521nbbbb【解析】（）设公差为，公比为 . nad nbq则，即.243210aaa35a 故，即.3125 14aad 2d .*1212(1)nnNann （）由（）知，即，则，.59a 249b b 24 19b q 23q 为公比为 的等比数列. nbq构成首项为 ，公比为的等比数列.13521,nb b bb123q .1352111 331 1 32nnnbbbb*()nN16.（本小题 13 分）#*已知函数. 3cos 22sin cos3f x
10、xxx（）求的最小正周期； f x（）求证：当时，.,4 4x 1 2f x 【解析】（） 3cos 22sin cos3133 cos2sin2sin22231cos2sin222sin 23f xxxxxxxxxx所以最小正周期.22 2T（）证明：由（）知. sin 23f xx,4 452,366xx 当，即时，取得最小值.236x 4x f x1 2得证. 1 2fx #*17（本小题 13 分）某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比400例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分100数，将数据分成 组：，并整理得到如720,3030,4080,90下频
11、率分布直方图：（I）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概40070率；（II）已知样本中分数小于的学生有 人，试估计总体中分数在区405间内的人数；40,50（III）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小70于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.70【解析】（I）由频率分布直方图得：分数大于等于的频率为分数在和的频率之和，7070,8080,90即，由频率估计概率0.40.20.6分数小于的概率为701 0.60.4#*（II）设样本中分数在区间内的人数为 ，则由频率和为 得40,50x150.1 0.20.40.21100100x解之得5x 总体中分
12、数在区间内的人数为（人）40,50540020100（III）设样本中男生人数为 ，女生人数为ab样本中分数不小于的人数共有（人）700.40.210060分数不小于的人中男生，女生各占人7030样本中男生人数为（人）303060a 女生人数为（人）1006040b 总体中男生和女生的比例为3 2a b#*18（本小题 14 分）如图，在三棱锥中，PABCPAABPABCABBC，为线段的中点，为线段上一点.2PAABBCDACEPC（I）求证：；PABD（II）求证：平面平面；BDE PAC（III）当平面时，求三棱锥的体积./ /PABDEEBCD【解析】（I），PAABPABCABBCB
13、又平面，平面AB ABCBC ABC平面PAABC又平面BD ABCPABD（II）在中，为中点ABCDAC又ABBCBDAC由（I）知，而，平面PABDACPAAPAAC PAC#*平面BDPAC又平面且平面BD PACBD BDE平面平面BDE PAC（III）由题知平面/ /PABDE平面，平面平面PAPACPAC BDEDE/ /PADE平面平面PA ABCDEABC又为中点 为中点DACEPC，112DEPA222 2ACABBC在中，ABC122DCAC且BCBA90ABC45ACB2DBDC112BCDSDBDC11 33E BCDBCDVSDE#*19（本小题 14 分）已知椭
14、圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，C2,0A 2,0Bx离心率为.3 2（）求椭圆的方程；C（）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两DxDxC点，过作的垂线交于点.求证：与的MNDAMBNEBDEBDN面积之比为. 4:5【解析】（） 焦点在 轴上且顶点为x2,02a3 2cea3c 222abc2221bac椭圆的方程为：2 214xy（）设且，则0,0D x022x 0Myy0000,M xyN xy，002AMykxAMDE1AMDEkk #*002DExky 直线:DE0 0 02()xyxxy 002BNykx 直线:BN0022yyxx 由0 0 0002 20 02()(2)
15、214xyxxyyyxxxy 得0000424,555 1|2 1 2 1 2 1 2 4 45 5BDEEBDNNEBDEBDNNExySBDySBD yBD yS SBD yyy 得证#*20（本小题 13 分）已知函数( )cosxf xexx（I）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(0,(0)f（II）求函数在区间上的最大值和最小值.( )f x0,2 【解析】（I）( )cosxf xexx( )cossin1xxfxexex00(0)cos0sin0 10fee 又 0(0)cos00=1fe在点处的切线方程为( )yf x(0,(0)f1y （II）令， ( )( )cossin1xxg xfxexex0,2x( )cossin(cossin )2sinxxxxxg xexexexexex 0,2xsin0x 而0xe ( )0g x 在区间上单调递减( )g x0,2 ( )(0)0g xg( )0fx 在区间上单调递减( )f x0,2 #*当时，有最小值2x( )f x2()cos2222fe 当时，有最大值0x ( )f x0(0)cos001fe