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1、信号与系统的时域分析信号与系统的时域分析l信号的自变量变换信号的自变量变换(自变量变换的综合应用自变量变换的综合应用:时移时移+尺度变换尺度变换+时间反转时间反转)l基本的连续和离散时间信号基本的连续和离散时间信号(离散时间信号的周期性问题离散时间信号的周期性问题)l系统的基本性质系统的基本性质(重点掌握线性、时不变性、因果性和稳定性；掌握从时域的角度分析重点掌握线性、时不变性、因果性和稳定性；掌握从时域的角度分析LTI系统的因果性和稳定性）系统的因果性和稳定性）l信号的时域分解及卷积算法信号的时域分解及卷积算法(掌握信号的单位冲激函数表示，利用掌握信号的单位冲激函数表示，利用LTI系统的性质
2、导出卷积公式，系统的性质导出卷积公式，掌握卷积运算）掌握卷积运算）l因果因果LTI系统的数学模型系统的数学模型（系统的微分方程、差分方程表示，初始松弛条件，（系统的微分方程、差分方程表示，初始松弛条件，FIR和和IIR系统的概念）系统的概念）信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析lLTI系统的特征函数与特征值系统的特征函数与特征值(掌握特征值与特征函数的概念，复指数信号是掌握特征值与特征函数的概念，复指数信号是LTI系统的特征函数的系统的特征函数的证明方法证明方法)l信号的频域分析信号的频域分析(周期信号的傅立叶级数表示，离散周期信号傅立叶级数系数的特点，周期信号的傅立叶级数表示，离散周期信
3、号傅立叶级数系数的特点，连续时间信号的傅立叶变换连续时间信号的傅立叶变换)l系统的频域分析系统的频域分析(由微分方程求解稳定由微分方程求解稳定LTI系统的频率响应函数系统的频率响应函数,从频域的角度分析系统从频域的角度分析系统对信号的作用对信号的作用)l信号的采样与恢复信号的采样与恢复(采样信号的频谱采样信号的频谱,采样信号无失真恢复的条件采样信号无失真恢复的条件)信号与系统的复频域分析信号与系统的复频域分析ls变换和变换和z变换变换(掌握变换的定义掌握变换的定义,收敛域的确定收敛域的确定,收敛域性质收敛域性质,变换基本性质变换基本性质,基本变换对基本变换对以及反变换的求解以及反变换的求解)l
4、用用s变换和变换和z变换分析变换分析LTI系统系统(由微分方程和差分方程求解系统函数由微分方程和差分方程求解系统函数,系统稳定性和因果性的判断系统稳定性和因果性的判断)l由零极点图对傅里叶变换进行几何求解由零极点图对傅里叶变换进行几何求解(在保持系统幅频特性不变的情况下在保持系统幅频特性不变的情况下,如何改变系统的极点如何改变系统的极点,使之满足因使之满足因果稳定的条件果稳定的条件?由零极点图确定系统的幅频特性由零极点图确定系统的幅频特性)l因果因果LTI系统的方框图表示系统的方框图表示(直接型直接型,级联型级联型,并联型并联型)l单边单边s变换和变换和z变换变换(s变换微分性质和变换微分性质
5、和z变换时间延迟性质的推导变换时间延迟性质的推导,具有非零初始条件的具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解系统零输入响应和零状态响应的求解)l信号的自变量变换信号的自变量变换时移时移:时间反转时间反转:时间尺度变换时间尺度变换:1 3tf(t)1f(2t)0.5 1.5t1信号与系统的时域分析信号与系统的时域分析信号自变量变换综合应用信号自变量变换综合应用 压缩压缩平移平移反折反折方法一：方法一：平移平移 x(t+2)压缩压缩 x(2t+2)反折反折 x(-2t+2)由由x(t)绘出绘出 x(-2t+2)l基本的连续和离散时间信号基本的连续和离散时间信号指数信号指数信号特征函
6、数特征函数:、特征函数特征函数:、指数信号和正弦信号的关系指数信号和正弦信号的关系欧拉公式欧拉公式正弦信号用同周期复指数信号表示正弦信号用同周期复指数信号表示指数信号的周期性问题指数信号的周期性问题是周期的，基波周期为T0单位阶跃信号和单位冲激信号单位阶跃信号和单位冲激信号掌握单位阶跃信号和单位冲激信号的关系，单位冲激信号的掌握单位阶跃信号和单位冲激信号的关系，单位冲激信号的采样性质和筛选性质。采样性质和筛选性质。l系统的基本性质系统的基本性质时不变性时不变性若系统特性不随时间而改变若系统特性不随时间而改变,则该系统就是则该系统就是时不变时不变的。的。齐次性：若 x(t)y(t),则 ax(t
7、)ay(t)可加性：若x1(t)y1(t),x2(t)y2(t),则 x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)线性线性因果性因果性一个系统，在任何时刻的输出只决定于一个系统，在任何时刻的输出只决定于现在现在以及以及过去过去的输入，的输入，则称该系统为则称该系统为因果系统因果系统稳定性稳定性一个一个稳定系统稳定系统，若其输入是有界的，则系统的输出也必须，若其输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的。（对是有界的。（对任意任意一个有界的输入一个有界的输入,输出有界）输出有界）LTILTI系统满足因果性的充要条件是：系统满足因果性的充要条件是：LTILTI系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件
8、是：l信号的时域分解及卷积算法信号的时域分解及卷积算法信号的时域分解信号的时域分解卷积和、卷积积分公式的导出卷积和、卷积积分公式的导出从信号的时域分解及系统的线性性和时不变性着手导出从信号的时域分解及系统的线性性和时不变性着手导出卷积公式。卷积公式。卷积运算卷积运算通过练习熟悉卷积运算通过练习熟悉卷积运算 即：即：p卷积和公式的导出：卷积和公式的导出：时间序列可表示为：由线性系统的可加性可得：即：即：p卷积积分公式的导出：卷积积分公式的导出：时间信号可表示为：由线性系统的可加性可得：卷积运算卷积运算（第一部分重点要求掌握的内容）（第一部分重点要求掌握的内容）分段法计算卷积积分的步骤：分段法计算
9、卷积积分的步骤：换元：换元：t 换成换成 ；反折：将反折：将h()波形反折为波形反折为h(-)；扫描：移动扫描：移动h(t-),t0右移；右移；分时段：确定积分段；分时段：确定积分段；定积分函数和积分限；定积分函数和积分限；计算积分值；计算积分值；分段法计算卷积和的步骤与卷积积分相似分段法计算卷积和的步骤与卷积积分相似利用卷积性质在某些情况下可以简化卷积计算。利用卷积性质在某些情况下可以简化卷积计算。l因果因果LTI系统的数学模型系统的数学模型连续因果连续因果LTI系统系统线性常系数线性常系数微分方程微分方程+初始松弛条件初始松弛条件离散因果离散因果LTI系统系统线性常系数线性常系数差分方程差
10、分方程+初始松弛条件初始松弛条件一个连续时间线性系统一个连续时间线性系统,满足因果性的满足因果性的充分必要条件充分必要条件是是:对任何对任何t0和任意的输入和任意的输入x(t),若若tt0,x(t)=0,则对应的则对应的输出输出y(t)在在tt0也必定为零也必定为零.初始松弛条件初始松弛条件(initial rest)信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析lLTI系统的特征函数与特征值系统的特征函数与特征值(掌握特征值与特征函数的概念，复指数信号是掌握特征值与特征函数的概念，复指数信号是LTI系统的特征函数的系统的特征函数的证明方法证明方法)l信号的频域分析信号的频域分析(周期信号的傅立叶级
11、数表示，离散周期信号傅立叶级数系数的特点，周期信号的傅立叶级数表示，离散周期信号傅立叶级数系数的特点，连续时间信号的傅立叶变换连续时间信号的傅立叶变换)l系统的频域分析系统的频域分析(由微分方程求解稳定由微分方程求解稳定LTI系统的频率响应函数系统的频率响应函数,从频域的角度分析系统从频域的角度分析系统对信号的作用对信号的作用)l信号的采样与恢复信号的采样与恢复(采样信号的频谱采样信号的频谱,采样信号无失真恢复的条件采样信号无失真恢复的条件)lLTI系统的特征函数与特征值系统的特征函数与特征值一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数乘以输入，一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数乘以输入
12、，则称该信号为系统的则称该信号为系统的特征函数特征函数。而幅度因子（常数）称为。而幅度因子（常数）称为系统的系统的特征值特征值。LTI系统系统LTI系统的特征函数系统的特征函数证明：证明：假定积分收敛假定积分收敛复指数信号是复指数信号是LTI系统的特征函数，对于某一给定系统的特征函数，对于某一给定的复数的复数s，常数，常数H(s)就是与特征函数就是与特征函数est对应的系统对应的系统的特征值。的特征值。证明思路：证明思路：用卷积公式，写成h(t)*x(t)的形式，注意积分公式里边t是常量，把est提到积分公式外面。证明：证明：假定求和收敛假定求和收敛证明思路：证明思路：用卷积公式，写成hn*x
13、n的形式，注意求和公式里边n是常量，把zn提到求和公式外面。复指数信号是复指数信号是LTI系统的特征函数，对于某一给定系统的特征函数，对于某一给定的复数的复数z，常数，常数H(z)就是与特征函数就是与特征函数zn对应的系统的对应的系统的特征值。特征值。l信号的频域分析信号的频域分析周期信号的傅立叶级数表示：周期信号的傅立叶级数表示：物理含义：物理含义：周期信号可以分解为不同频率复指数信号之和周期信号可以分解为不同频率复指数信号之和,系数系数ak称为称为信号的傅里叶级数系数或频谱系数信号的傅里叶级数系数或频谱系数.周期信号的傅里叶级数系数的确定周期信号的傅里叶级数系数的确定傅里叶变换傅里叶变换傅
14、里叶反变换傅里叶反变换连续时间非周期信号的傅立叶变换关系连续时间非周期信号的傅立叶变换关系连续时间周期信号的傅立叶变换与傅立叶级数系数的关系连续时间周期信号的傅立叶变换与傅立叶级数系数的关系信号频谱的物理意义信号频谱的物理意义连续时间信号傅立叶变换性质连续时间信号傅立叶变换性质pp 时移特性时移特性时移特性时移特性信号信号信号信号延时了延时了延时了延时了t t0 0 秒秒秒秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相并不会改变其频谱的幅度，但是使其相并不会改变其频谱的幅度，但是使其相并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了位变化了位变化了位变化了 -t t0 0，信号的时移信号的时移,对应频谱的相移
15、对应频谱的相移pp 频移特性频移特性频移特性频移特性信号信号信号信号 x x (t)(t)乘以乘以乘以乘以 ,等效于其频谱等效于其频谱等效于其频谱等效于其频谱 X(j X(j )沿频率轴右移沿频率轴右移沿频率轴右移沿频率轴右移 0 0pp 共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性当当 为实信号时为实信号时,信号的频谱共轭对称信号的频谱共轭对称pp 微分与积分性质微分与积分性质微分与积分性质微分与积分性质重点掌握微分性质重点掌握微分性质pp 时间与频率的尺度变换时间与频率的尺度变换时间与频率的尺度变换时间与频率的尺度变换当信号为实信号且为偶信号时当信号为实信号且为偶信号时
16、,信号的频谱是实信号且为偶信号。信号的频谱是实信号且为偶信号。当信号为实信号且为奇信号时当信号为实信号且为奇信号时,信号的频谱是纯虚信号且为奇信号。信号的频谱是纯虚信号且为奇信号。pp 频域微分性质频域微分性质频域微分性质频域微分性质pp卷积性质卷积性质卷积性质卷积性质时域的卷积，对应于频域的相乘时域的卷积，对应于频域的相乘pp相乘性质相乘性质相乘性质相乘性质时域的相乘，对应于频域的卷积时域的相乘，对应于频域的卷积pp帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理基本的傅立叶变换对基本的傅立叶变换对l系统的频域分析系统的频域分析由微分方程求解由微分方程求解稳定稳定LTI系统系统的频率响应函数
17、的频率响应函数推导思路：对方程两边求傅立叶变换，利用傅立叶变换的微分性质和线性性推导思路：对方程两边求傅立叶变换，利用傅立叶变换的微分性质和线性性从频域的角度求解由线性常系数微分方程表征的稳定从频域的角度求解由线性常系数微分方程表征的稳定LTI系统系统解题思路：由微分方程求解解题思路：由微分方程求解 然后利用部分分式法将然后利用部分分式法将 展开成低阶的形式，并求其反变换得到展开成低阶的形式，并求其反变换得到y(t)LTI系统对输入信号的作用就是通过系统的频率响应函数改变系统对输入信号的作用就是通过系统的频率响应函数改变信号中每一个频率分量的复振幅。信号中每一个频率分量的复振幅。LTI系统对输
18、入信号频谱模的改变是将其乘以系统频率响应的系统对输入信号频谱模的改变是将其乘以系统频率响应的模，对输入信号频谱相位的改变是在它的基础上附加系统频率模，对输入信号频谱相位的改变是在它的基础上附加系统频率响应的相位。响应的相位。从频域的角度分析系统对信号的作用从频域的角度分析系统对信号的作用l采样定理采样定理采样信号的频谱采样信号的频谱采样函数是基波周期为T的信号，记采样函数的基波角频率为由傅立叶变换的相乘性质可得采样定理采样定理信号与系统的复频域分析信号与系统的复频域分析ls变换和变换和z变换变换(掌握变换的定义掌握变换的定义,收敛域的确定收敛域的确定,收敛域性质收敛域性质,变换基本性质变换基本
19、性质,基本变换对基本变换对以及反变换的求解以及反变换的求解)l用用s变换和变换和z变换分析变换分析LTI系统系统(由微分方程和差分方程求解系统函数由微分方程和差分方程求解系统函数,系统稳定性和因果性的判断系统稳定性和因果性的判断)l由零极点图对傅里叶变换进行几何求解由零极点图对傅里叶变换进行几何求解(在保持系统幅频特性不变的情况下在保持系统幅频特性不变的情况下,如何改变系统的极点如何改变系统的极点,使之满足因使之满足因果稳定的条件果稳定的条件?由零极点图确定系统的幅频特性由零极点图确定系统的幅频特性)l因果因果LTI系统的方框图表示系统的方框图表示(直接型直接型,级联型级联型,并联型并联型)l
20、单边单边s变换和变换和z变换变换(s变换微分性质和变换微分性质和z变换时间延迟性质的推导变换时间延迟性质的推导,具有非零初始条件的具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解系统零输入响应和零状态响应的求解)ls变换和变换和z变换变换其中s为复变量，一般表示为+j的形式。s变换和变换和z变换的定义变换的定义其中z为复变量，一般表示为rejw的形式。s变换和变换和z变换与傅立叶变换的关系变换与傅立叶变换的关系s变换和变换和z变换收敛域变换收敛域ROC的概念的概念使得变换定义式积分（求和）收敛的s（z）值的取值范围，称为变换的收敛域s变换和变换和z变换的收敛域性质变换的收敛域性质p左边
21、信号（序列）、右边信号（序列）、双边信号（序列）收敛域的特点。p若xn是因果序列，则z变换的收敛域包括|z|=p若变换求和公式包含z的负幂次项，则ROC不包含原点|z|=0；若变换求和公式包含z的正幂次项，则ROC不包含无限远点|z|=s变换和变换和z变换的性质变换的性质pp 时移特性时移特性时移特性时移特性（原点或无限远点可能要加上或除掉）pp 共轭性质共轭性质共轭性质共轭性质即实函数的s变换零极点成对出现(实轴上的零极点除外).同理实函数的z变换零极点也有相同的性质由此导出差分方程 系统函数系统的方框图表示的单位延迟系统pp 卷积性质卷积性质卷积性质卷积性质则若则若pp 时域微分时域微分时
22、域微分时域微分由此导出微分方程 系统函数,系统频率响应函数pp 时域积分时域积分时域积分时域积分系统的方框图表示的积分器pp s s s s域微分域微分域微分域微分pp z z z z域微分域微分域微分域微分主要应用主要应用:求反变换求反变换pp 初值与终值定理初值与终值定理初值与终值定理初值与终值定理对于因果序列 ,基本的基本的s变换对和变换对和z变换对变换对s反变换和反变换和z反变换的求解反变换的求解p部分分式法当当X(s)X(z)是有理的是有理的,首先用部分分式展开成首先用部分分式展开成低次分式之和，低次分式之和，结合结合ROC求各低次分式的反变换的叠加等于求各低次分式的反变换的叠加等于
23、x(t)xn.p幂级数法由定义式可以看出,X(z)是z的正幂和负幂的一个幂级数,幂级数的系数就是序列xn的值.可用长除法将X(z)展开为z的正幂和负幂的线性组合，展开时要考虑变换的收敛域（暂定不做考试要求）l用用s变换和变换和z变换分析变换分析LTI系统系统由微分方程和差分方程求解系统函数由微分方程和差分方程求解系统函数从从s域的角度求解常系数微分方程表征的因果域的角度求解常系数微分方程表征的因果LTI系统系统解题思路：由微分方程求解解题思路：由微分方程求解 ,由因果性确定由因果性确定ROC 然后利用部分分式法将然后利用部分分式法将 展开成低阶的形式，并求其反变换得到展开成低阶的形式，并求其反
24、变换得到y(t)系统稳定性和因果性的判断系统稳定性和因果性的判断对于一个具有有理系统函数的连续时间对于一个具有有理系统函数的连续时间LTI系统来说，系统的系统来说，系统的因果性等效于系统函数的因果性等效于系统函数的ROC位于最右边极点的右半平面位于最右边极点的右半平面。当且仅当系统函数的当且仅当系统函数的ROC包含包含j 轴轴时，连续时间时，连续时间LTI系统稳定。系统稳定。当且仅当当且仅当H(s)的的全部极点位于全部极点位于s平面的左半平面平面的左半平面时，也即全部极时，也即全部极点都有负的实部时，一个具有有理系统函数的因果系统才是稳点都有负的实部时，一个具有有理系统函数的因果系统才是稳定的
25、。定的。一个具有有理系统函数的离散时间一个具有有理系统函数的离散时间LTI系统，当且仅当它的系统系统，当且仅当它的系统函数函数ROC位于最外层极点的外边位于最外层极点的外边,且且H(z)表示成表示成z的多项式之比的多项式之比时其时其分子的阶次不能大于分母的阶次分子的阶次不能大于分母的阶次，该系统才是因果的。，该系统才是因果的。当且仅当系统函数的当且仅当系统函数的ROC包含单位圆包含单位圆时，离散时间时，离散时间LTI系统稳定。系统稳定。一个具有有理系统函数的离散时间因果一个具有有理系统函数的离散时间因果LTI系统，当且仅当系统，当且仅当H(z)的的全部极点位于单位圆内全部极点位于单位圆内时，也
26、即全部极点的模均小于时，也即全部极点的模均小于1时，系时，系统就是稳定的。统就是稳定的。l由零极点图对傅里叶变换进行几何求解由零极点图对傅里叶变换进行几何求解s变换和变换和z变换与傅立叶变换的关系变换与傅立叶变换的关系由零极点图确定系统的幅频特性由零极点图确定系统的幅频特性全通系统,零点向量与极点向量长度相等全通系统,XOa1/a在保持系统幅频特性不变的情况下在保持系统幅频特性不变的情况下,如何改变系统的极点如何改变系统的极点,使之满足因果稳定的条件使之满足因果稳定的条件?对于连续时间对于连续时间LTI系统系统,将将H(s)右半平面的极点关于右半平面的极点关于j 轴对称轴对称转移到左半平面转移
27、到左半平面.对于离散时间对于离散时间LTI系统系统,将将H(z)单位圆外的极点在原点和极点单位圆外的极点在原点和极点的连线上的连线上,转移单位圆内转移单位圆内.若原来极点距离原点长度为若原来极点距离原点长度为a,则新则新极点距离原点的长度为极点距离原点的长度为1/a,系统函数再乘上系数系统函数再乘上系数1/a.l因果因果LTI系统的方框图表示系统的方框图表示直接型直接型如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式?+直接型直接型如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式?l单边单边s变换和变换和z变换变换引入单边引入单边引入单边
28、引入单边s s变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有非零初始条件非零初始条件非零初始条件非零初始条件，由线性常系数微分方程描述的由线性常系数微分方程描述的由线性常系数微分方程描述的由线性常系数微分方程描述的因果系统因果系统因果系统因果系统;引入单边引入单边引入单边引入单边z z变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有变换的一个主要应用是分析具有非零初始条件非零初始条件非零初始条件非零初始条件，由线性常系数差分方程描述的由线性常系数差分方程描述的由线性常系数差分方程描述的由线性常
29、系数差分方程描述的因果系统因果系统因果系统因果系统。s变换微分性质和变换微分性质和z变换时间延迟性质的推导变换时间延迟性质的推导证明：证明：证明：证明：分部积分法分部积分法做变量替换做变量替换令m=n-1证明证明:将将n=0从求和公式中分解出来从求和公式中分解出来具有非零初始条件的具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解系统零输入响应和零状态响应的求解(见实例见实例)例例9.38零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应一连续时间因果系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)满足微分方程：当，系统的初始状态为：时，利用单边拉氏变换，求系统的零状态响应例例例例10.37方程两边作单边z变换:零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应考试题型选择与填空题（五题共10分）简答与证明（七题35分）计算题（四题55分）评分与改卷工作公平、公正和高效四名研究生同时改卷（两名本课程助教）打乱次序，匿名改卷，流水线作业方式两位任课教师监督与复核成绩评定按照CDIO教学大纲中的要求进行成绩评定：平时成绩（10%）+作业（20%）+实验（10%）+期末（60%）=总成绩.认真复习准备迎接考试预祝大家取得好成绩！