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1、word概率论与数理统计第一章概率论的根本概念.样本空间、随机事件1 .事件间的关系AuB 如此称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生 AuB=x|x A或x B称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A, B中至少有一个发生时，事件B发生AcB=x|x A且x B称为事件A与事件B的积事件，指当A, B同时发生时，事件AcB发生A B = x|x e A且x右B称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A3发生Ac3 =(|),如此称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，根本领件是两两互不相容的4。3 二 $且4门5 =(|),如此称事
2、件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2 .运算规如此 交换律Au B = 3d A ArB = BrA结合律(AuB)uC = Au(BuC)(A c 8)C = A(8 cC)分配律 A u (Be C) =(A u B)n(A u C)A c (5 u C) = (A c 8)( A c C)德摩根律AuB = Ac B A o B = AuB.频率与概率定义在一样的条件下，进展了 n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数 称为事件 AA发生的频数，比值。称为事件A发生的频率A概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为PA， 称为事件的
3、概率1 概率P(A)满足如下条件：1非负性：对于每一个事件aOwp(a)4 12规X性：对于必然事件SP(S) = 11 /IIword布均 匀 分 布ab,ax or / 一 Je, X0f(X)= 90，其他X.002正 态 分 布Q 01( TAf(x) = -e- 2a2 4G日c 2第五章大数定律与中心极限定理1.大数定律弱大数定理辛欣大数定理设X X是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并1,2具有数学期望(X) = N(Z = L2, ).作前n个变量的算术平均x ,如此对于任意k k=T8 0,有IimPb X _日8 = 1n k一8M ,k=l定义 设丫，丫， y是一个随
4、机变量序列，a是一个常数，假如对于任意正数匕 有12lim P|y - 6/| 812n伯努利大数定理设/是n次独立重复试验中事件A发生的次数，P是事件A在每次试验A中发生的概率，如此对于任意正数 0 ,有中发生的概率，如此对于任意正数 0 ,有limP(/?oo-P8L-p 8 =0 n,x相互独立，服从同一2中心极限定理定理一独立同分布的中心极限定理 设随机变量X ,X12分布，且具有数学期望和方差E(x )=mD(X ) = 02 k=1,2,，如此随机变量之和 ik10/11定理二李雅普诺夫定理设随机变量x ,x , ,x相互独立，它们具有数学期望 12n和方差 E(X) = R ,D
5、(X ) = o20,Z=i,2 记B2=2 k kk knkk=定理三棣英弗-拉普拉斯定理设随机变量n ( = 12 )服从参数为,( P(A)iv对于任意事件A, P(A) 。，称P(B | 4)= 上幽为事件a发生的条 P(A)件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B,有口8|A)202。规X性：对于必然事件S, P(S A)=13可列可加性：设B产，是两两互不相容的事件，如此有 12尸(3)= p(3 a)ii/=1i=l乘法定理 设P(A)O,如此有P(A5) = P仍)P(A I 8)称为乘法公式2/11word(4)全概率公式：P
6、(A) = P(B)P( AB) / /=!贝叶斯公式:P(R 小 P(B)P(AB)| A) =kkkn. P(B)P(AB)7/=16.独立性定义 设A, B是两事件，如果满足等式尸(48)=尸(，)尸(8),如此称事件A,B相互独JL定理一 设A, B是两事件，且尸(4)0,假如A, B相互独立，如此?(B|A) =Mb)定理二假如事件A和B相互独立，如此如下各对事件也相互独立：A与B, A与B, A与8第二章随机变量与其分布1随机变量定义 设随机试验的样本空间为S = e.X = X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X = X(e)为随机变量2离散性随机变量与其分布律.离散随
7、机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量尸(X=x ) = p满足如下两个条件1p20,2口二1 k kkkk=l1 .三种重要的离散型随机变量S - 1)分布设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 P(X = k) = pk(l-p)i-k, k = 0,1 (0 p 1),如此称X服从以p为参数的( 一 1)分布或 两点分布。2伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与A P(A) = p (0 p 0是常数，如此称X服从参数为入的泊松分布 k!记为X兀(入)3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，x是
8、任意实数，函数F(x) = PX W x, -oox cc称为X的分布函数分布函数尸(X) = RX X),具有以下性质尸(x)是一个不减函数 20 F(x) 0,(2) f(x)dx= 1 ； -003尸(x XX ) =1与 f(x)dx；4假如 f(x)在点X 处连续,如此有F,(x)= f(x)I 2 X2,三种重要的连续型随机变量均匀分布1, ax b假如连续性随机变量X具有概率密度f(x) = 0其中e 0为常数，如此假如连续性随机变量X的概率密度为f(x) =鼠Q ，其他称x服从参数为。的指数分布。X 的 概 率 密 度 为3正态分布假 如 连 续 型 随 机 变 量4/11wo
9、rd(-)2f(X) . C 2c2 ,-8X00,J2 g其中pi, o(o0)为常数，那么称X服从参数为pi, o的正态分布或高斯分布，记为XN (出02)特别，当|Ll =。，O = 1时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理 设随机变量X具有概率密度/(X),-8X8,又设函数g(x)处处可导且恒有 xg,(x)O ,如此 Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为f 3刈 a y Pr I 0 ，其他第三章多维随机变量1二维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S = e. X = X(e)和Y = Y(e)是定义在s上的随机变量，称X = X(e)为随机变量
10、，由它们构成的一个向量X, Y叫做二维随机变量设X , Y是二维随机变量，对于任意实数x , y ,二元函数 F (x, y) = P(X x) n (Y y)记成PX x, Y i = 1,2, p p =PY=y j = 1,2, iyi；ijij=li=lP P为X, Y关于X和关于Y的边缘分布律。f(%)=卜 /(X, y) dyf (y)=5 /(X, y) dx 分别称 f (x) , / (y)为 X, Y 关 x eY _gX yJ，于X和关于Y的边缘概率密度。 3条件分布定义 设X, 丫是二维离散型随机变量，对于固定的j,假如PF=y 0, j如此称 PX = x y = y
11、 =修=，丫 =W: Pq = 1,2,为在y = y 条件 i j PY =y pjJ)下随机变量X的条件分布律，同样PY=y X = X =邛/_%= Pij,j = lZ 为在X = x条件下随机变量x7 iPX = x ii1的条件分布律。设二维离散型随机变量X, Y的概率密度为/(% y) , X, Y关于丫的边缘概率密度为/ (y),假如对于固定的y, 7 (y)o,如此称为在y=y的条件下x的条件概 y丫f (y)Y率密度，记为/ (x y)二/(兀v)xly /Jy) 4相互独立的随机变量定义 设F (x, y)与F (x), F (y)分别是二维离散型随机变量X, Y的分布函
12、 XY数与边缘分布函数,假如对于所有X, V有尸X = x,Y = y= PX xPY y,即F=F (x)F (y), 如此称随机变量X和Y是相互独立的。 X Y对于二维正态随机变量X, Y，X和Y相互独立的充要条件是参数P=05两个随机变量的函数的分布1, Z-X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度/(x, M .如此Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为/(z) = J/(z-x y) dy氮于(z) = J/(x,z-x) dxx+丫 -oox+y 个又假如X和Y相互独立，设X, Y关于X, Y的边缘密度分别为f (x),f y)如此 X Y6/11wordf
13、 (Z)y)y)y和/)/*)覃z -皿这两个公式称为-00(z-f厅的卷积公式 X Y有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布V2, z=_6勺分布、z=xr6勺分布， Xx+y-00Y设区丫)是二维连续型随机变量，它具有概率密度/(x, y),如此z =歹，z = xy A仍为连续性随机变量其概率密度分别为f f (z)=p xf(x,xz)dx f (2)=18上/(1,二)公又假如*和丫 相互独立，设X, 丫X-xy_8 N X关于X, Y的边缘密度分别为(y)如此可化为 X Yf ,=5 / Mf (xz)cbcf (z)=5 1/ / (-)dxX 田 X yXY .
14、小 X y x3M = maxX, Y及N = minX,K的分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为尸(x),F)由于X YM=maxX, Y)不大于z等价于X和Y都不大于z故有PM z= PX z,Y 成立 23协方差与相关系数定义 量Ex-E（x）y E（y）称为随机变量x与丫的协方差为Cw（x,y）,即Cov(X.Y) = E(X- E(X)(Y- E(K) = E(XY) - E(X)E(Y)Cov（X9 Y） ，而P =称为随机变量X和Y的相关系数XY Jd（x）7VJ+ +对于任意两个随机变量X和Y, D（X F） = D（X） + Q（y）2Cov（X,Y）协方差具有下述性质1 Cov(X.Y) = Cov(y,X), Cov(aX.bY) = abCov(X.Y) 2cMX +X ,Y) = Cov(X 9Y) + Cov(X，丫)1212定理 1 |P |41XY2 |p |=1的充要条件是，存在常数a,b使Py = + = lXY当 P =0时，称X疗口 Y不相关 XY附：几种常用的概率分布表分 布参数分布律或概率密度数学 期望方差两 点 分 布0 p 1 0 /? oX k 九 p(x=k)=# = 0,1,2,kXX几 何 分0pP(X = k)=(l-p)k7p,k = 12,1P1 -p P29/ 11