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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念2样本空间、随机大事1大事间的关系 A B 就称大事 B 包含大事 A,指大事 A发生必定导致大事 B发生A B x x A 或 x B 称为大事 A 与大事 B 的和大事,指当且仅当A,B 中至少有一个发生时,大事 A B 发生A B x x A 且 x B 称为大事 A与大事 B 的积大事, 指当 A,B 同时发生时,大事 A B 发生AB x x A 且 x B 称为大事 A 与大事 B 的差大事,指当且仅当A 发生、 B不发生时,大事 A B 发生A B,就称大事 A 与 B
2、是互不相容的,或互斥的,指大事 A 与大事B 不能同时发生,基本领件是两两互不相容的ABS 且AB,就称大事 A 与大事 B互为逆大事,又称大事A与大事 B 互为对立大事2运算规章交换律ABBAABBABCA BC结合律AB CABCA安排律A（BC）ABACABCABAC徳摩根律ABAABBAB3频率与概率定义在相同的条件下,进行了n An 次试验,在这n 次试验中,大事A 发生的次数n 称为事件 A 发生的 频数 ,比值n称为大事 A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验, S是它的样本空间, 对于 E 的每一大事 称为大事的概率1概率P A满意以下条件：S A 0PA1（1）非负性 ：对
3、于每一个大事（2）规范性 ：对于必定大事P S 1A 给予一个实数, 记为 P（A）,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）可列可加性 ：设A 1,A 2,An学习必备精品学问点有PnA knPA k（ n 可是两两互不相容的大事,以取）k1k12概率的一些重要性质：（i ）P0nnPA k（ n 可以取）（ii ）如A 1,A 2,A n是两两互不相容的大事,就有PA k（iii）设 A,B 是两个大事如AB,就PBAk1k1PBPAP BPA ,（iv ）对于任意大事A,PA 1BPAB（v）PA1PA （逆
4、大事的概率）（vi ）对于任意大事A, B有PAB PAP4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个大事发生的可能性相同如事 件A包 含k个 基 本 事件 , 即Ae i 1e i2e ki, 里i1,i,2,ik是,12,n 中某k 个不同的数,就有kkA包 含 的 基 本 事 件 数P Aj1Pe ijnS 中 基 本 事 件 的 总 数5条件概率（1）定义：设A,B 是两个大事,且P A0,称PB|APAB为大事 A 发生的条PA 件下大事 B 发生的 条件概率名师归纳总结 （2）条件概率符合概率定义中的三个条件第 2 页,共 11 页 21；非负性
5、：对于某一大事B,有PB|A0；规范性：对于必定大事S,PS|A13可 列 可 加 性 ： 设B 1B 2,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 就 有PBiAPBiAi1i1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）乘法定理设PA 0学习必备精品学问点BPA|B称为乘法公式,就有PABPn（4）全概率公式：PAkiPBiPA|B iBk1贝叶斯公式：PB|A iPBkPA|n|BiPBiPA16独立性定义定理一定理二其次章设 A, B 是两大事,假如满意等式PABPAPB,就称大事A,B 相互独立设 A, B 是两大事,且P A0,如 A,B 相
6、互独立,就P B|A PB如大事 A和 B 相互独立,就以下各对大事也相互独立：A与B,A与B,A与B随机变量及其分布1 随机变量定义X设随机试验的样本空间为Se.XXe是定义在样本空间S 上的实值单值函数,称Xe为随机变量2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P Xx kp k满意如下两个条件（1）pk0,（ 2）k1P =1 2 三种重要的离散型随机变量（1）设k分布p量X只能取0与1两 个 值,它的分布律是随机 变P Xkp（1-1-）k,k0 1,（0p1,就称 X 听从以 p 为参数的分布或
7、两点分布；（2）伯努利试验、二项分布名师归纳总结 设试验 E只有两个可能结果： A与PAp（0p1,第 3 页,共 11 页A ,就称 E为伯努利试验 . 设- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时1-p学习必备精品学问点n 重伯努利试验；P A. 将 E独立重复的进行n 次,就称这一串重复的独立试验为npPXknpkqn-k,k0,1,2,n满意条件 （1）p k0,（2）kP =1 留意到k1k qn-k是二项式（pqn）的绽开式中显现pk的那一项,我们称随机变量X 听从参数为kn,p 的二项分布；（3）泊松分布P X设 随 机 变 量kX 所 有
8、可 能 取 的 值 为0,1,2 , 而 取 各 个 值 的 概 率 为kke-,0 ,1,2,其中0 是常数,就称X 听从参数为的泊松分布记为k.X（）3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数FxPXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数FxPXx, 具 有 以 下 性 质 1 Fx是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0FxF1（3）FxFx ,即Fx 是右连续的1,且F0 ,0 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量,X 的分布函数F（x）,存在非负可积函数fx,使对于任意函数x 有F xxf（t）dt就称 x 为连续性随机变量,其中
9、函数fx称为 X 的-概率密度函数,简称概率密度1 概率密度f x 具有以下性质,满意（1）fx f,02-fx dx1；,F xfx（3）P x 1Xx2x 2fx dx；（4）如x 在点 x 处连续,就有x 12, 三种重要的连续型随机变量名师归纳总结 1匀称分布XX 具有概率密度fxb1a 0,axb,就成 X 在区间 a,b 上服第 4 页,共 11 页如连续性随机变量-从匀称分布 . 记为U（a,b）,其他- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2指数分布学习必备精品学问点如连续性随机变量X 的概率密度为fx1e-x,x.0其中0 为常数,就称X听
10、从参数为的指数分布；0,其他（3）正态分布如 连 续 型 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为fx 1ex）2x,22,2其中,（0 为 常 数 , 就 称 服 从 参 数 为的正态分布或高斯分布,记为XN（,2）特殊,当0,1时称随机变量X 听从标准正态分布5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X 具有概率密度fxx,随x机,又设函数g x到处可导且恒有为g, x0,就Y=gX是连续型变量,其概率密度fYy fXh yh,y,y0,其他第三章多维随机变量1 二维随机变量定义 设 E是一个随机试验,它的样本空间是 S e. X Xe 和 Y Ye 是定义在 S上的随机变量,称 X Xe 为随
11、机变量,由它们构成的一个向量（X, Y）叫做二维随机变量设 （ X , Y ） 是 二 维 随 机 变 量 , 对 于 任 意 实 数 x , y , 二 元 函 数F（x,y）PX x Y y 记成 PX x,Y y 称为二维随机变量（X,Y）的分布函数假如二维随机变量 （X,Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,就称（ X,Y）是离散型的随机变量；我们称PXxi,Yyjp ij,i,j2,1,为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律；名师归纳总结 对于二维随机变量 （X,Y）的分布函数F（x,y）,假如存在非负可积函数f（x,y）,第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选
12、学习资料 - - - - - - - - - 使对于任意x,y 有F（x,y）y-学习必备,精品学问点xf（uv）dudv,就称（X,Y）是连续性的随机变量,-函数 f（x,y）称为随机变量 （X,Y）的概率密度, 或称为随机变量2 边缘分布X和 Y 的联合概率密度；二维随机变量（X, Y）作为一个整体,具有分布函数 F（x,y）. 而 X 和 Y 都是随机变量, 各自也有分布函数,将他们分别记为 FX（x , F（y）,依次称为二维随机变量（X,Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数；分别称ippijPXxi,i,12,pji1pijPYdxyi,j,1 2,j1ippj为（ X,Y）关于
13、 X 和关于 Y的 边缘分布律；fYyf Xxfx ,y）dyf Yyfx ,y）分别称f X x ,为 X,Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度 ；3 条件分布定义 设（ X,Y）是二维离散型随机变量,对于固定的 j ,如 P Y jy ,0P X x i , Y y j p ij就称 P X x i Y y j , i ,1 2 , 为在 Y jy 条件下P Y y j p jP X x i , Y y j p ij随机变量 X 的条件分布律, 同样 P Y y j X X i , j 2,1 ,P X x i p i为在 X ix 条件下随机变量 X 的条件分布律；设二维离散型随机变
14、量（X,Y）的概率密度为 f x , y ,（X,Y）关于 Y的边缘概率密f x , y 度为 fY y ,如对于固定的 y,fY y 0,就称 为在 Y=y 的条件下 X的条件概率密f Y y f x , y 度,记为 f X Y x y =f Y y 4 相互独立的随机变量名师归纳总结 定义 设F（x,y）及F Xx,F Yy分别是二维离散型随机变量（X,Y）的分布函第 6 页,共 11 页x ,Yy P Xx PYy,即数及边缘分布函数. 如对于全部x,y 有P X- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F x ,y F Xx F Yy,就称随机变量学
15、习必备精品学问点X和 Y 是相互独立的；对于二维正态随机变量（X,Y）,X 和 Y 相互独立的充要条件是参数05 两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y的分布设 X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度 f x , y . 就 Z=X+Y仍为连续性随机变量,其概率密度为 f X Y z f z y , y）dy 或 f X Y z f x , z x）dx又如 X 和 Y 相互独立,设（X,Y）关于 X,Y 的边缘密度分别为 f X x , f Y y 就f X Y z f X z y）f（y dy 和 f X Y z f X x）f Y z x dx 这两个公式称为f , f Y 的卷积
16、公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布名师归纳总结 2,ZY的分布、ZXY 的分布第 7 页,共 11 页X设X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度fx,y,就ZY,ZXYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYXz xfx ,xz dxf XYz 1fx ,z dx又如 X 和 Y相互独立,设（X,Y）关于 X,Y 的边缘密度分别为xxfXx ,fYy就可化为fYXz fXx fYxz dxfXYz 1fXx fYzdxxx3MmaxX,Y及NminX,Y 的分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FXx,F Yy 由于Mmax X,Y不大于
17、z 等价于 X和 Y都不大于 z 故有PMzPXz,Yz又由于 X 和 Y 相互独立,得到Mmax X,Y的分布函数为Fmaxz FXz F Yz NminX,Y 的分布函数为F minz 11FXz 1F Yz 第四章随机变量的数字特点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点1数学期望定义 设离散型随机变量 X的分布律为 P X x k p k,k=1,2 , 如级数 x kp k 肯定k 1收敛,就称级数 x k p k 的和为随机变量 X 的数学期望,记为 E X ,即 E X x kp kk 1 i设连续型随机变量 X 的概率密度
18、为 f x ,如积分 xf x dx 肯定收敛,就称积分xf x dx 的值为随机变量 X 的数学期望,记为 E X ,即 E X xf x dx定理 设 Y 是随机变量 X的函数 Y= g X g 是连续函数 （i ）假如 X是 离散型随机变量,它的分布律为 P X x k p k,k=1,2 , 如 g x kp kk 1肯定收敛就有 E Y E g X g x kp kk 1（ii ）假如 X 是连续型随机变量,它的分概率密度为 f x ,如 g x f x dx 肯定收敛就有 E Y E g X g x f x dx数学期望的几个重要性质1 设 C是常数,就有ECCCXCEXY；2 设
19、 X是随机变量, C是常数,就有E3 设 X,Y 是两个随机变量,就有EXYEXE4 设 X,Y是相互独立的随机变量,就有EXYEXEY2 方差定义设 X是一个随机变量, 如EX2EX2存在,就称EXEX2为 X的方差,记为 D（ x）即 D（x）=E XEX,在应用上仍引入量Dx,记为x ,称为标准差或均方差；DXEXEX2EX2EX2方差的几个重要性质名师归纳总结 1 设 C是常数,就有DC0 ,第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设 X是随机变量, C是常数,就有学习必备精品学问点,DXCDXDCXC2DX3 设 X,Y
20、 是两个随机变量,就有DXYDXDYX2EX-EXY-EY特别,如 X,Y 相互独立,就有DXYDXD YEX14D X0的充要条件是X以概率 1 取常数 EX ,即P 切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望E X2,就对于任意正数,不等式2PX-2成立3 协方差及相关系数定义量E XEXYEY称为随机变量X 与 Y 的协方差为CovX,Y,即CovX,YEXEXYEYEXYEXE Y而XYCovX,Y）称为随机变量X和 Y的相关系数DXDY对于任意两个随机变量X 和 Y,DX_YDXDY2CovX,Y协方差具有下述性质1CovX,YCov Y,X,CovaX,bYabCovX,YYabx
21、 12Cov X1X2,YCov X1,YCov X2,YP 定理 1 XY1XY1的充要条件是,存在常数a,b 使 2 当XY0 时,称 X和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表名师归纳总结 分布0参数1PP X分布律或概率密度,k0 1,n,数学方差p第 9 页,共 11 页期望两点分pkpk 1p1kpp 1布二项式0n11XkCkpk1p nk,k0 ,1,npnp 1ppn分布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 泊松分0PX学习必备精品学问点0 ,1,2 ,kke,k布k.几何分0p1PXk1p k1p,k,1,2a1b1p2布pp2匀称分ab
22、fxb1,axb,2ba0a布12,其他指数分0fx,x021ex布0,其他正态分0fx 1x22e22布2第五章大数定律与中心极限定理1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1,X2 是相互独立,听从统一分布的随机变量序列,并n具有数学期望 E X k k ,1 2 , . 作前 n 个变量的算术平均 1 X k,就对于任意n k 11 n0,有 lim n P n k 1 X k 1定义 设 Y 1 , Y 2 , Y n 是一个随机变量序列,a 是一个常数,如对于任意正数,有plim n P Y n a 1,就称序列 Y 1 , Y 2 , Y n 依概率收敛于 a,记为 Y n a
23、伯努利大数定理 设 f A 是 n 次独立重复试验中大事 A 发生的次数, p 是大事 A 在每次试验f n f n中发生的概率, 就对于任意正数0,有 lim n P n p 1 或 lim n P n p 02 中心极限定理名师归纳总结 定理一（ 独立同分布的中心极限定理Xi）设随机变量X1,X2,Xn相互独立,听从同一第 10 页,共 11 页分布,且具有数学期望和方差E,DXk2（ k=1,2 , ）,就随机变量之和- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - inXk标准化变量,Y nkn1Xk学习必备1精品学问点nXkn,nE Xk1ki1DnknXk1名师归纳总结 定理二（ 李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,Xn 相互独立,它们具有数学期望）第 11 页,共 11 页和方差EXkk,DXkn2k20 ,k,12记Bn2k定理三（ 棣莫弗 - 拉普拉斯定理）设随机变量nn,12,k1听从参数为n,p0p1的二项分布,就对任意x ,有lim nP n1npx x1et22dtxnpp2- - - - - - -