2022年高中数学竞赛几何专题从调和点列到圆到极线 .docx

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1、精品_精品资料_从交比到调和点列到 Apollonius圆到极线极点2022 年 10 月 17 日终止的 2022 年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图 1,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点不是边 BC 的中点,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M 求证：假设 OK MN ,就 ABDC 四点共圆AOCKBDMN图 1此题颇有难度,参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”,其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”,此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜.本文拟系 统的介绍交比、 调和点列、 完全

2、四边形、 Apollonius圆、极线等射影几何的重要概念及应用, 抽丝剥茧、 溯本求源, 揭示此类问题的来龙去脉,并在文中给出上题的一种简洁明白的直接证明.学问介绍定义 1线束和点列的交比：如图 2,共点于 O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC / BC ADBD称为线束 OA 、OC、OB 、OD 或点列 ACBD 的交比.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1线束的交比与所截直线无关.ODBAC图 2证明：本文用 ABC 表示 ABC 面积,就AC / BC AOC / BOCADBD AOD BOD可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_CO sinAOC / CO sinCOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DO sinAODDO sinBOD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin sinAOC AOD/ sin sinCOB BOD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而可知线束交比与所截直线无关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 2调和线束与调和点列：交比为 -1,即ACBCADBD的线束称为调和线束,点列称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调和点列. 明显调和线束与调和点列是等价的,即调和线束被任意直线截

4、得的四点均为调和点列,反之,调和点列对任意一点的线束为调和线束.定理 2调和点列常见形式： O 为 CD 中点211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 ADABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 OC 2OB * OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 、 AC*AD=AB*AO(4) 、 AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得,从略.定理 3始终线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行由定义即得,证略定义 3完全四边形： 如图 3,凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为

5、完全四边形ABCDEF ,AC 、BD 、EF 称为其对角线一般的四条直线即交成完全四边形2 .定理 4 完全四边形对角线相互调和分割.即AGCH 、BGDI 、EHFI 分别构成调和点列.ABGDCEIHF图 3分析：只需证EHFI 为调和点列,其余可类似证得,也可由线束的交比不变性得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一：面积法HEIF AEC BDF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_HFIE AFC BDE AEC ACD BDF BEF ACD AFC BEF BDE 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ECAD DCAFCDAFECAD

6、1 ,即 HEIE .HFIF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EH证法二： 由 Ceva 定理HFHEIEFDABDABE1 ,由 Menelaus 定理得到 EIIFFDABDABE1,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_HFIF,即 EHFI 为调和点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 5完全四边形 ABCDEF 中,四个三角形AED 、ABF 、 EBC 、FDC 的外接圆共点,称为完全四边形的密克Miquel 点.证明：设出两圆交点,证它在其余圆上即可.PCBDAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 4定义 4阿波罗尼

7、斯 Apollonius 圆：到两定点 A 、B 距离之比为定值 k k0且k1的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的轨迹为圆,称为Apollonius圆,为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决 2 注： 当 k=1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆.ACADAP证明：如图 4 由 AP=kPB ,就在 AB 直线上有两点 C、D 满意, 故 PC、BCBDBPPD 分别为 APB 的内外角平分线,就CP DP,即 P 点的轨迹为以CD 为直径的圆 OO 为CD 中点 .注：解析法亦可证得明显图 4 中 ACBD 为调和点列.定理 6在图 4 中,当且仅

8、当 PB AB 时, AP 为圆 O 的切线.证明：当 PB AB 时 APC= BPC= CDP 故 AP 为圆 O 的切线,反之亦然.定理 7Apollonius 圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1. PC或 PD为 APB 内外角平分线2. CPPD3.ACBD构成调和点列证略定义 5反演：设 A 为 Or平面上点, B 在射线 OA上,且满意OA*OB=r*r,就称 A 、B 以 O 为基圆互为反演点.定理 8图 4 中,以 Apollonius 圆为基圆, AB 互为反演点. 由定理 22即得.定义 6极线与极点 ：设 A 、 B 关于 Or互为反演点,过B 做

9、 OA 的垂线 l 称为 A 点对圆 O 的极线. A 点称为 l 的极点. 3定理 9 当 A 点在 O 外时, A 的极线为 A 的切点弦.由定理 6 即得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACPQBOD图 5定理 10假设 A 的极线为 l,过 A 的圆的割线 ACD 交 l 于 B 点,就 ACBD 为调和点列.证明：如图 5,设 A 的切点弦为 PQ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCQPCBDQPDCPCQAPACAC DPDQADAQAD即 ACBD 为调和点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2定理 11配极定理 ：如图 6,

10、假设 A 点的极线通过另一点D,就 D 点的极线也通过A.一般的称 A 、D 互为 共轭点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一：几何法,作AF OD 于 F,就 DFGA共圆,得 OF*OD= OG*OA =知 AF 即为 D 的极线.OI,由定义 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AHDBJCGFOI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 6证法二： 解析法, 设圆 O 为单位圆, Ax1, y1 , Dx2, y2 ,A 的极线方程为xx1yy11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_由 D 在其上,得x2 x1y2y11,就 A 在 xx2yy21 上,即 A 在 D 的极线上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 12在图 6 中,假设 A、D 共轭,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ADA的幂+D 的幂（对圆 O）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：AD 2AG 2 +DG 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AG 2 +BG 2 +DG 2BG 2 =A 的幂 +D的幂 对圆O定义 7调和四边形： 对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形.因圆上任意一点对此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_四点的线束为调和线束,故以此命名 定理 13图 5 中 PDQC 为调和四边形.证明：由定理9 的证明过程即得.例题选讲例 1如图 7,过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB,OP 与圆和 AB 分别交于 I、M ,DE 为过M 的任意弦.求证：I 为 PDE 内心.2022 年中国西部数学奥林匹克分析：其本质明显为Apollonius 圆.证明：由定理6 知圆 O 为 P、M 的 Apollonius圆,就 DI 、EI 分别为 PDE 的内角平分线, 即 I 为 PDE 内心.PIAEBMD O图 7例 2如图 8, ABC 中, AD BC,H 为 AD 上任一点,就 AD

13、F= ADE1994 年加拿大数学奥林匹克试题AFLEHBDCK图 8证明：对完全四边形AFHEBC ,由定理 4 知 FLEK 为调和点列.又 AD BC ,由定理 7 得ADF= ADE .ABGDCE JHFI图 9例 3如图 9,完全四边形 ABCDEF 中, GJ EF 与 J,就 BJA= DJC2022 年中国国家集训队选拔考试题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由定理4 及定理 7 有 BJG= DJG 且 AJG= CJG,就 BJA= DJC.AFQDEXI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B图 1021DPYC可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品_精品资料_例 4已知：如图 10, ABC 内角平分线 BE、CF 交于 I,过 I 做 IQ EF 交 BC 于 P,且IP=2IQ .求证： BAC=60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：做 AX EF 交 BC 于 Y ,由定理 4 知 AD ID 为调和点列, 故IQD IDIPI,AXD ADAYA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又IP=2IQ, 就AX=XY, 即EF为AY中 垂 线 , 由 正 弦 定 理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CFFYFACFsinFYCsin1sin2sinFAC,就 AFYC 共圆,同理

15、 AEYB 共圆,故 BYF= BAC=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CYE= EYF,故 BAC=60 .PCA EBGFOD图 9例 5如图 11,P 为圆 O 外一点, PA、PB 为圆 O 的两条切线. PCD 为任意一条割线,CF平行 PA 且交 AB 于 E.求证： CE=EF 2022 国家集训队培训题证明：由定理10 及定理 3 即得.例 6如图 12,PAB 、PCD 为圆 O 割线, AD 交 BC 于 E,AC 交 BD 于 F,就 EF 为 P 的极线.1997 年 CMO 试题等价表述证法一：作 AEB 外接圆交 PE 于 M ,就 PE*PM=PA

16、*PB=PC*PD,故 CDME共圆其实P为三圆根心且 M 为 PAECBD 密克点,从而 BMD= BAE+ BCD= BOD , BOMD共圆 . OMT= OMB+ BMT= ODB+ BAE=90 故 M为 ST中 点 , PS*PT=PA*PB=PE*PM ,由定理 23知 E 在 P 极线上,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PASCEMODBT图 10PACWTSUEOVDB图 11AUBVTW证法二：如图13,设 PS、PT 为圆 O 切线.在 ABT中,可以得到*UBVTWAASsinASTBD sinBDATC sin

17、TCBASBDTCPSPBPCBSsinBSTDT sinTDAAC sinACBBSACDTPBPCPT1由塞瓦定理逆定理知ST、AD 、BC 三线共点于 E,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线.至此,点 P 在圆 O 外时,我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义：1、过 P 反演点做的 OP 的垂线.2、过 P 任意作割线 PAB ,AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线.3、P 对圆 O 的切点弦.4、过 P 任意做两条割线PAB 、PCD, AD 、BC 交点与 AC 、BD 交点的连线. 注：切线为割线特别情形,故3、 4 是统一的 例 7ABC内切圆 I 分别

18、切 BC、AB于 D 、F,AD 、CF 分别交 I 于 G、H .求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DFGHFGDH3 2022 年东南数学奥林匹克 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AGFEIHCB D图 12证明：如图 14,由定理 13 知 GFDE 为调和四边形,据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE, 同 理 HF*DE=2DH*EF相 乘 得GD*FH=4DH*FG又 由 托 勒 密 定 理 GD*FH=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DH*FG+FD*GH,代入即得DFGH3 FGDH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

19、料_AHEGKIFBDCJ图 13例 8已知：如图15, ABC 内切圆切 BC 于 D , AD 交圆于 E,作 CF=CD , CF 交 BE 于G.求证： GF=FC2022 年国家队选拔证明：设另两切点为H、I, HI 交 BD 于 J,连 JE.由定理 10 知 AEKD为调和点列,由定理 11 知 AD 的极点在 HI 上,又 AD 极点在 BD 上,故 J 为 AD 极点.就 JE 为切线, BDCJ 为调和点列,由 CF=CD 且 JD=JE 知 CF/JE,由定理 3 知 GF=FC .注：例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列例 9如图 16,圆内接完全四边形ABCDEF

20、 中 AC 交 BD 于 G,就 EFGO 构成垂心组即任意一点是其余三点的垂心 .证明：据例 6 知 EG, FG 共轭,由定理12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG2FG2E的幂G的幂-F 的幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_G的幂=E的幂F的幂=EO2FO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 OG EF,其余垂直同理可证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOBGDCEPF图 14注： EFG 称为极线三角形.此题结论美丽深刻,初版于1929 年的4 已有介绍,它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius

21、圆、垂心组等几何中的核心内容.本文开头提到的 2022 年联赛题为此题的逆命题,熟识上述内容的情形下,采纳参考答案的反证法在情理之中：如图1,设 D 不在圆 O 上,令 AD 交圆 O 于 E,CE 交 AB 于 P,BE 交AC 于 Q.由例 9 得 PQ/MN .由定理 4 得 MN 、AD 调和分割 BC,同理 PQ 亦然,就 PQ/MN/BC ,从而 K 为 BC 中点,冲突；故 ABCD 共圆.其实此题也可直接证明,如下：如图17,由例 3 得 1= 2.又 K 不是 BC 中点,类似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 证明可得 OBJC 共圆. MJB= NJC

22、= 12BOC = BAC ,由定理 5 得 J 为 ABDCMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_密克点,就 BDM= BJM= BAN 故 ABDC 共圆.AOCBKDM1 2JN图 15以例 9 为背景的赛题层出不穷,再举几例,以飨读者.例 10 ADE 中,过 AD 的圆 O 与 AE 、DE 分别交于 B、C,BD 交 AC 于 G,直线 OG 与ADE 外接圆交于 P.求证： PBD 、 PAC 共内心 2022 年泰国数学奥林匹克分析：此题明显为密克点、Apollonius 圆、极线及例 9 等深刻结论的简洁组合.证明：如图 16,由定理 5 及例 9 知 PG 互

23、为反演点,据定理8 知圆 O 为 PG 的 Apollonius圆,由例 1 知 PBD 与 PAC 共内心.例 11 ABC 中, D 在边 BC 上且使得 DAC= ABC ,圆 O 通过 BD 且分别交 AB 、AD于 E、 F, DE 交 BF 于 G, M 为 AG 中点,求证： CM AO 2022 年国家队选拔可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEMKGFOBLDJC图 16证明：如图 18,设 EF 交 BC 于 J.由定理 3 得 AKGL为调和点列,由定理24有LJLKLGJCKAGMLK*GM=LG*KA,又 CAD=ABD= JFD 故 EJ/CA ,就即

24、 JG/CM 而由例 9 有 JG OA ,故 CM AO .例 9 中 OGEF 对圆外切四边形亦然.例 12如图 19,设圆 O 的外切四边形 ABCD 对边交于 EF, AC交 B D交于 G,就 OGEF.2022 年土耳其国家队选拔AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E图 17ODBGBCD CFEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设四边切点为ABCD , AC 交 BD 于 G,AB 交 CD 于 E, AD 交 BC 于 F,由例 6 知BD 、AC 极点 E、F在 EF 上,就 G与 G 重合,由例 9,即得 OG EF.AMIFEODLH

25、CGB图 18例 13如图 20, ABCD 为圆 O 的外切四边形, OE AC 于 E,就 BEC= DEC2022 年协作题夏令营测试题 分析：由定理7 知垂直证等角必为调和点列.证明：如图 20,做出帮助线,由例12 知 FI、GH 、BD 共点于 M ,且为 AC 的极点,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OE 也过 M ,且 BLDM构成调和点列,由定理7 得 BEC= DEC .最终我们看一道伊朗题及其推广例 14 ABC 内切圆 I 切 BC 于 D,AD 交 I 于 K .BK 、CK 交 I 于 E、F,求证： BF、AD 、CE 三线共点.2022 年伊

26、朗国家队选拔考试题分析：此题一般思路为Ceva 定理运算,运算量较大.而且有人将其推广为对AD 上任意一点 K ,都有本结论成立如图21.推广题难度极大,网络上有人用软件大量运算获证,也有高手通过复杂的运算得证5 .其实从调和点列、极线角度看此题结论明显,对推广题证明如下：AKMEINFBDCJ图 19证明：如图 21,设另两个切点 MN 交 BC 于 J,由例 8 得 BDCJ 为调和点列,故对 AD 上 K点,由定理 1 知 EF 必过 J 点.由定理 4 对完全四边形 BEFCJK 必有 CE、BF、AK 共点.练习 ：1 H 是锐角 ABC 的垂心,以 BC 为直径作圆,自 A 作切线

27、 AS 、AT.求证： S、 H、T 三点共线.1996CMO 试题提示：此题为例 6 特例2 求证在完全四边形ABCDEF 中,过 AC 、BD 交点做 AB 平行线被 CD 、EF 平分.提示：由定理4 及定理 3 即得3 ABC 中, AD BC, H 为 AD 上一点, BH 、CH 分别交对边于E、F, EF 交 AD 于 K , 任意做过 K 的直线与 CF、CE、 CD交于 M、N、Q,都有 MDF= NDE.2022 年保加利亚数学 奥林匹克提示：由例 2 及定理 4 类比例 3 即得.4 设以 O 为圆心的圆经过ABC 的两个顶点 A、C,且与边 AB 、BC 分别交于两个不同的点 K 和 N,又 ABC 和 KBN 的外接圆交于点B 及另一点 M ,求证： OMB 为直角.第22 届 IMO 提示：由定理3 及例 9 即得可编辑资料 - - - 欢迎下载