《2022年高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点2010 年 10 月 17 日结束的2010 年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形ABC 的外心为O，K 是边 BC 上一点不是边BC 的中点，D 是线段 AK 延长线上一点，直线BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M求证：假设OK MN ，则 ABDC 四点共圆KNMOABCD图 1 此题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、 调和点列、 完全四边形、 Apollonius 圆
2、、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、 溯本求源， 揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。知识介绍定义 1 线束和点列的交比：如图2，共点于O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比/ACBCADBD称为线束 OA 、OC、OB、OD 或点列 ACBD 的交比 。 1 定理 1线束的交比与所截直线无关。BCOAD图 2 证明：本文用 ABC 表示 ABC 面积，则 / ACBCAOCBOCAODBODADBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页sinsin/sinsinsinsin/s
3、insinCOAOCCOCOBDOAODDOBODAOCCOBAODBOD从而可知线束交比与所截直线无关。定义 2调和线束与调和点列：交比为 -1，即ACBCADBD的线束称为调和线束，点列称为调和点列。 显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。定理 2调和点列常见形式： O 为 CD 中点1 、211DCAABA2 、2*OCOB OA(3)、 AC*AD=AB*AO (4)、 AB*OD=AC*BD 证明：由基本关系式变形即得，从略。定理 3一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行由定义即得，证略定义3
4、完全四边形：如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF ，AC 、BD、EF 称为其对角线一般的四条直线即交成完全四边形2 。定理 4 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH 、BGDI 、EHFI 分别构成调和点列。GIHCAEDBF图 3 分析：只需证EHFI 为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。证法一：面积法 HEIFAECBDFHFIEAFCBDE AECACDBDFBEFACDAFCBEFBDE1ECAD DCAFCDAF ECAD，即HEIEHFIF。证法二： 由 Ceva 定理1BEABDAFDHFEH，由 Menelaus 定理得
5、到1BEABDAFDIFEI，故HEIEHFIF，即 EHFI 为调和点列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页定理 5完全四边形ABCDEF 中，四个三角形AED 、ABF、 EBC、FDC 的外接圆共点，称为完全四边形的密克Miquel 点。证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。OCDABP图 4 定义 4 阿波罗尼斯 Apollonius 圆 ：到两定点A、B 距离之比为定值k01kk且的点的轨迹为圆，称为Apollonius圆，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决2注：当 k=1 时轨迹为AB
6、中垂线也可看成半径为无穷大的圆。证明：如图4 由 AP=kPB ，则在 AB 直线上有两点C、D 满足,ACADAPBCBDBP故 PC、PD 分别为 APB 的内外角平分线，则CPDP，即 P 点的轨迹为以CD 为直径的圆O(O 为CD 中点 )。 注：解析法亦可证得显然图 4 中 ACBD 为调和点列。定理 6 在图 4 中，当且仅当PBAB 时， AP 为圆 O 的切线。证明：当 PBAB 时 APC=BPC=CDP 故 AP 为圆 O 的切线，反之亦然。定理 7Apollonius 圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1.PC或 PD为 APB 内外角平分线2. CP
7、PD 3.ACBD 构成调和点列证略定义 5 反演 ：设 A 为 Or平面上点， B 在射线 OA 上，且满足OA*OB=r*r，则称 A、B 以 O 为基圆互为反演点。定理 8 图 4 中，以 Apollonius 圆为基圆， AB 互为反演点。 由定理 22即得。定义 6 极线与极点 ：设 A、 B 关于 Or互为反演点，过B 做 OA 的垂线 l 称为 A 点对圆 O 的极线； A 点称为 l 的极点。 3 定理 9 当 A 点在 O 外时， A 的极线为A 的切点弦。由定理 6 即得。 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
8、，共 11 页BQCPOAD图 5定理 10假设 A 的极线为l，过 A 的圆的割线ACD 交 l 于 B 点，则 ACBD 为调和点列。证明：如图5，设 A 的切点弦为PQ，则BCQPCCPCQAPACACBDQPDDPDQADAQAD即 ACBD 为调和点列。定理 11 配极定理 ：如图 6，假设 A 点的极线通过另一点D，则 D 点的极线也通过A。一般的称 A、D 互为 共轭点 。证法一：几何法，作AFOD 于 F，则 DFGA 共圆，得 OF*OD= OG*OA =2OI，由定义6知 AF 即为 D 的极线。GFJIHCBOAD图 6 证法二： 解析法， 设圆 O 为单位圆， A11,
9、x y, D 22,xy ，A 的极线方程为111xxyy，由 D 在其上，得21211x xy y，则 A 在221xxyy上，即 A 在 D 的极线上。定理 12 在图 6 中，假设A、D 共轭，则22222222ADA+DODG +DG(G +BG )+(DGBG )=A+DOAAA的幂的幂（对圆）证明：的幂的幂 ( 对圆)定义7 调和四边形：对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。因圆上任意一点对此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页四点的线束为调和线束，故以此命名定理 13图 5 中 PDQC 为调和四边形
10、。证明：由定理9 的证明过程即得。例题选讲例 1如图 7，过圆 O 外一点 P 作其切线PA、PB，OP 与圆和 AB 分别交于I、M ，DE 为过M 的任意弦。求证：I 为 PDE 内心。 2001 年中国西部数学奥林匹克分析：其本质显然为Apollonius 圆。证明：由定理6 知圆 O 为 P、M 的 Apollonius 圆，则 DI 、EI 分别为 PDE 的内角平分线，即 I 为 PDE 内心。IDMABOPE图 7 例 2如图 8，ABC 中，AD BC，H 为 AD 上任一点，则ADF= ADE1994 年加拿大数学奥林匹克试题LKEFDABCH图 8 证明：对完全四边形AFH
11、EBC ，由定理4 知 FLEK 为调和点列。又AD BC，由定理7 得ADF= ADE 。JGIHCAEDBF图 9 例 3如图 9，完全四边形ABCDEF 中， GJEF与 J，则 BJA= DJC2002 年中国国家集训队选拔考试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页证明：由定理4 及定理 7 有 BJG=DJG 且 AJG= CJG，则 BJA= DJC。21PDYQDIXEFABC图 10 例 4 已知：如图10， ABC 内角平分线BE、CF 交于 I，过 I 做 IQEF 交 BC 于 P，且IP=2I
12、Q 。求证： BAC=60 证明：做 AX EF 交 BC 于 Y， 由定理 4 知 AD ID 为调和点列， 故IQD IDIPIAXD ADAYA，又IP=2IQ，则AX=XY，即EF为AY中垂线，由正弦定理12CFFYFACFsinFYCsinsinsinFAC， 则 AFYC 共圆，同理 AEYB 共圆，故 BYF= BAC=CYE= EYF，故 BAC=60 。EFGCABOPD图 9 例 5如图 11，P 为圆 O 外一点， PA、PB 为圆 O 的两条切线。 PCD 为任意一条割线，CF平行 PA 且交 AB 于 E。求证： CE=EF2006 国家集训队培训题证明：由定理10
13、及定理 3 即得。例 6如图 12，PAB、PCD 为圆 O 割线， AD 交 BC 于 E，AC 交 BD 于 F，则 EF 为 P的极线。 1997 年 CMO 试题等价表述证法一：作AEB 外接圆交PE 于 M，则 PE*PM=PA*PB=PC*PD，故 CDME 共圆其实P为三圆根心且M 为 PAECBD 密克点，从而 BMD= BAE+ BCD= BOD ，BOMD共圆 。 OMT= OMB+ BMT= ODB+ BAE=90 故M为ST中 点 ， PS*PT= PA*PB=PE*PM ，由定理23知 E 在 P 极线上，同理F 亦然，故EF 为 P 的极线。精选学习资料 - - -
14、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页STMECAOPBD图 10 WVUTSECAOPBD图 11 证法二：如图13，设PS、PT 为圆O 切线。在 ABT中，可以得到*AUBVTWUBVTWAsinsinsinsinsinsinASAST BDBDA TCTCBBSBST DTTDAACACB1ASBDTCPSPBPCBSACDTPB PCPT由塞瓦定理逆定理知ST、AD 、BC 三线共点于E，同理 F亦然，故EF 为 P 的极线。至此，点 P 在圆 O 外时，我们得到了P点极线的四种常见的等价定义：1、过 P 反演点做的OP 的垂线。2
15、、过 P 任意作割线PAB，AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。3、P 对圆 O 的切点弦。4、过 P任意做两条割线PAB、PCD， AD、BC 交点与 AC 、BD 交点的连线。(注：切线为割线特殊情形，故3、 4 是统一的 ) 例 7ABC内切圆I 分别切BC、AB 于 D、F，AD 、CF 分别交I 于 G、H。求证：3DFGHFGDH(2010 年东南数学奥林匹克) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页HGCBAIFDE图 12 证明：如图14，由定理13 知 GFDE 为调和四边形，据托勒
16、密定理有GD*EF=2FG*DE ，同 理HF*DE=2DH*EF相 乘 得GD*FH= 4DH*FG又 由 托 勒 密 定 理GD*FH= DH*FG+FD*GH，代入即得3DFGHFGDHFGJKECABHDI图 13 例 8 已知：如图15， ABC 内切圆切 BC 于 D，AD 交圆于 E，作 CF=CD， CF 交 BE 于G。求证： GF=FC2008 年国家队选拔证明：设另两切点为H、I，HI 交 BD 于 J，连 JE。由定理10 知 AEKD 为调和点列，由定理 11 知 AD 的极点在 HI 上，又 AD 极点在 BD 上，故 J 为 AD 极点；则 JE 为切线， BDC
17、J为调和点列，由CF=CD 且 JD=JE 知 CF/JE，由定理3 知 GF=FC。注：例8 中 BDCJ 为一组常见调和点列例 9如图 16，圆内接完全四边形ABCDEF 中 AC 交 BD 于 G，则 EFGO 构成垂心组即任意一点是其余三点的垂心。证明：据例6 知 EG，FG 共轭，由定理122222(EGFGEGGEFEOFO的幂的幂)-(F 的幂的幂)= 的幂的幂=则 OG EF，其余垂直同理可证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页PGFEOABDC图 14 注： EFG 称为极线三角形。此题结论优美深
18、刻，初版于1929 年的 4 已有介绍，它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius 圆、垂心组等几何中的核心内容。本文开头提到的2010 年联赛题为此题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的反证法在情理之中：如图1，设 D 不在圆 O 上，令 AD 交圆 O 于 E，CE 交 AB 于 P，BE 交AC 于 Q。 由例 9 得 PQ/MN ； 由定理 4得 MN 、 AD 调和分割 BC， 同理 PQ亦然，则 PQ/MN/BC ，从而 K 为 BC 中点，矛盾！故ABCD 共圆。其实此题也可直接证明，如下：如图17，由例 3 得 1=2；又 K 不是 BC 中点，
19、类似例 4 证明可得OBJC 共圆； MJB= NJC=12BOC=BAC ，由定理5 得 J 为 ABDCMN密克点，则 BDM= BJM= BAN 故 ABDC 共圆。21JKNMOABCD图 15 以例 9 为背景的赛题层出不穷，再举几例，以飨读者。例 10ADE 中，过 AD 的圆 O 与 AE、DE 分别交于B、C，BD 交 AC 于 G，直线 OG 与ADE 外接圆交于P。求证： PBD、 PAC 共内心 2004 年泰国数学奥林匹克分析：此题显然为密克点、Apollonius 圆、极线及例9 等深刻结论的简单组合。证明：如图16，由定理5 及例 9 知 PG 互为反演点，据定理8
20、 知圆 O 为 PG 的 Apollonius圆，由例1 知 PBD 与 PAC 共内心。例 11ABC 中， D 在边 BC 上且使得 DAC= ABC ，圆 O 通过 BD 且分别交AB 、AD于 E、F，DE 交 BF 于 G， M 为 AG 中点，求证： CM AO 2009 年国家队选拔精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页KLJMGCAOBDEF图 16 证明：如图18，设EF 交 BC 于 J。由定理3 得 AKGL为调和点列，由定理24有LK*GM=LG*KA，又 CAD=ABD= JFD 故 EJ/C
21、A，则LJLKLGJCKAGM即 JG/CM 而由例 9 有 JGOA ，故 CMAO。例 9 中 OGEF 对圆外切四边形亦然。例 12如图 19，设圆 O 的外切四边形A BC D 对边交于E F ，A C 交 B D 交于 G ，则OG E F 。 2009 年土耳其国家队选拔BDAECFGFEOABDC图 17 证明：设四边切点为ABCD ，AC 交 BD 于 G，AB 交 CD 于 E， AD 交 BC 于 F，由例 6 知BD、AC 极点 E 、F 在 EF 上，则 G 与 G 重合，由例9，即得 OG E F 。LHMBDECAOFGI图 18 例 13如图 20，ABCD 为圆
22、 O 的外切四边形，OEAC 于 E，则 BEC=DEC(2006 年协作题夏令营测试题) 分析：由定理7 知垂直证等角必为调和点列。证明：如图20，做出辅助线，由例12 知 FI、GH、BD 共点于 M，且为 AC 的极点，从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页OE 也过 M，且 BLDM构成调和点列，由定理7 得 BEC=DEC。最后我们看一道伊朗题及其推广例 14ABC 内切圆 I 切 BC 于 D，AD 交 I 于 K。BK、CK 交 I 于 E、F，求证： BF、AD 、CE 三线共点。2002 年伊朗
23、国家队选拔考试题分析：此题一般思路为Ceva 定理计算，计算量较大。而且有人将其推广为对AD 上任意一点 K，都有本结论成立如图21 。推广题难度极大，网络上有人用软件大量计算获证，也有高手通过复杂的计算得证5 。其实从调和点列、极线角度看此题结论显然，对推广题证明如下：FEJCBAIMDNK图 19 证明：如图21，设另两个切点MN 交 BC 于 J，由例 8得 BDCJ 为调和点列，故对AD 上 K点，由定理1 知 EF 必过 J 点；由定理4 对完全四边形BEFCJK 必有CE、BF、AK 共点。练习 ：1 H 是锐角 ABC 的垂心，以BC 为直径作圆，自A 作切线 AS、AT。求证：
24、 S、 H、T 三点共线。1996CMO 试题提示：此题为例6 特例2 求证在完全四边形ABCDEF 中，过 AC 、BD 交点做 AB 平行线被CD、EF 平分。提示：由定理4 及定理 3 即得3 ABC 中， AD BC ，H 为 AD 上一点， BH 、CH 分别交对边于E、F，EF 交 AD 于 K，任意做过K的直线与CF、CE 、 CD交于 M 、N、Q ，都有 MDF= NDE 。 2003 年保加利亚数学奥林匹克提示：由例2 及定理 4 类比例 3即得。4 设以 O 为圆心的圆经过ABC 的两个顶点A、C，且与边 AB 、BC 分别交于两个不同的点 K 和 N，又 ABC 和 KBN 的外接圆交于点B 及另一点M，求证： OMB 为直角。第22 届 IMO 提示：由定理3 及例 9 即得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页