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1、一道中考压轴题多解研究袁培雄OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上。（1）如图1，在AB上取一点M，使得沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B点。求B点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的解析式；（3）作交CM于点G。若抛物线过点G，求抛物线的解析式，并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。这道中考压轴题是几何与函数综合题，试题把矩形OABC置于直角坐标系之中，用翻折方法将矩形的一边同一直角变化位置，且令其折痕与抛物线相交于点G，从而求折痕CM所在直线与过点G的抛物线的解析式。从答案看，求折痕CM
2、所在直线的解析式用的是C、M两点坐标；求抛物线的解析式用的是G点坐标。从图看，若设折痕CM的延长线与x轴的交点为N（如图1），则折痕CM所在的直线上就有C、G、M、N四个点的坐标可求，故折痕CM所在的直线解析式有六种解法。由此可见，点G坐标在后两问求解中具有关键性作用，所以点G坐标的几何解法就颇有研究必要。（1）求点的坐标；解：如图1，因为是折叠而来的。所以，所以。在中，。所以（负值舍去）。所以点B坐标（8，0）。（2）求折痕CM所在直线的解析式：首先求C、M、G、N四点坐标；易知点C坐标（0，6）。求点M坐标：解法1：如图1。因为，所以则。又，在中，解法2：如图1。因为，又，所以。又，所以。
3、又，所以。所以，所以，所以。所以点M坐标（10，）。求点G坐标：解法1：如图1。因为（已证），所以，所以因为，所以。因为，所以，所以，所以，所以点G坐标。解法2：如图1，延长CM交x轴于N。因为，所以。因为，所以，所以，所以。因为，所以，所以因为（已解），所以，所以点G坐标。解法3：如图1，延长CM交x轴于N。因为（已证），所以。又（已解），因为，所以，所以，所以。所以点G坐标（8，）。解法4：如图1，延长CM交x轴于N。因为，所以。因为，所以。又，所以，所以。所以点G坐标（8，）。解法5：如图2，延长交BA的延长线于D。因为，所以，所以，所以，所以。在，所以，所以，所以，。因为，所以，所以所
4、以。所以点G坐标。解法6：如图3，延长BG交CB于D。因为，因为，所以，所以，所以，。所以，所以点G坐标（8，）。解法7：设点G坐标（8,a），则。所以点G坐标（8，）。求点N坐标。解法1：如图1，延长CM交x轴于N。由求点G的坐标解3知，AN=8，所以，所以点N坐标（18，0）解法2：如图1，延长CM交x轴于N。因为所以。所以，所以，所以。所以。所以点N坐标（18，0）解法3：如图1，延长CM交x轴于N。因为，所以，所以，所以，所以，所以。所以点N坐标（18，0）。其次，求折痕CM所在直线的解析式：设折痕CM所在直线的解析式为。解法1：由C（0，6），M（10，）两点组成方程组： 解得。所以。解法2：由G（8，），M（10，）两点组成方程组： 解得所以。解法3：由M（10，），N（8，0）两点组成方程组： 解得。所以。解法4：由C（0，6），N（18，0）两点组成方程组： 解得。所以。所以折痕CM所在直线的解析式为。其余两种解法留给读者。（3）求过点G抛物线的解析式：解：由上面解法知点G坐标（8，）。因为，所以，所以。除交点G外，另有交点为点G关于y轴的对称点G，其点G坐标（，）年级初中学科数学版本期数内容标题一道中考压轴题多解研究分类索引号分类索引描述辅导与自学主题词一道中考压轴题多解研究栏目名称中考经典供稿老师审稿老师录入常丽霞一校林卉二校审核