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1、学习必备 欢迎下载 一道中考压轴题多解研究 袁培雄 题（20XX 年南宁课改实验区）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上。6 OC,10 OA。（1）如图 1，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作B 点。求 B 点的坐标；（2）求折痕 CM 所在直线的解析式；（3）作AB/G B交 CM 于点 G。若抛物线m x61y2 过点 G，求抛物线的解析式，并判断以原点 O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点 G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。这道中考压轴题是几何与函数综
2、合题，试题把矩形 OABC 置于直角坐标系之中，用翻折方法将矩形的一边同一直角变化位置，且令其折痕与抛物线m x61y2 相交于点 G，从而求折痕 CM 所在直线与过点 G 的抛物线的解析式。从答案看，求折痕 CM 所在直线的解析式用的是 C、M两点坐标；求抛物线m x61y2 的解析式用的是 G 点坐标。从图看，若设折痕 CM 的延长线与 x 轴的交点为 N（如图 1），则折痕 CM 所在的直线上就有 C、G、M、N四个点的坐标可求，故折痕 CM 所在的直线解析式有六种解法。由此可见，点 G 坐标在后两问求解中具有关键性作用，所以点 G 坐标的几何解法就颇有研究必要。（1）求点 B的坐标；解
3、：如图 1，因为M CB Rt 是CBM Rt 折叠而来的。所以CBM Rt M CB Rt，所以10 CB CB。在 COB Rt 中，64 6 10 CO CB OB2 2 2 2 2。学习必备 欢迎下载 所以 8 OB（负值舍去）。所以点 B 坐标（8，0）。（2）求折痕 CM 所在直线的解析式：首先求 C、M、G、N 四点坐标；易知点 C 坐标（0，6）。求点 M 坐标：解法 1：如图 1。因为CBM Rt M CB Rt，所以x AM,BM M B 设 则x 6 BM M B。又2 8 10 OB OA A B，在AM B Rt 中，)38,10(M38AM,38x,x 2)x 6(
4、,AM A B M B2 2 22 2 2坐标 所以点所以 解得所以 解法 2：如图 1。因为M CB 180 A MB O CB，又 90 CBM M CB，所以 90 A MB O CB。又 90 O CB OCB，所以A MB OCB。又 90 AM B COB，所以AM B Rt COB Rt。所以A BCOAM OB，为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线
5、的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以 26AM8，所以38AM。所以点 M 坐标（10，38）。求点 G 坐标：解法 1：如图 1。因为 COB Rt AM B Rt（已证），所以6210M B,COA B CBM B 所以，所以310M B 因为BA/GB，所以 CMB
6、 GM B。因为CBM Rt M CB Rt，所以CMB CMB，所以 CMB GM B，所以310M B G B，所以点 G 坐标)310,8(。解法 2：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为CBM Rt M CB Rt，所以BCM CM B。因为N B/CB，所以NM B BCM，为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析
7、式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以 NM B CM B，所以N B C B。因为 90 G NB M CB，所以G NB Rt M CB Rt，所以M B G B 因为310M B（已解），所以310G B，所以点 G 坐标)310,8(。解法 3：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为10 C B
8、 N B（已证），所以8 2 10 A B N B AN。又38AM（已解），因为 GB/MA，所以ANN BAMG B，所以81038G B，所以310G B。所以点 G 坐标（8，310）。解法 4：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为38AM,6 CO AB，所以310386 AM AB BM。因为N B/CB,10 CB N B，为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在
9、直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以 BCM NG B。又CBM G NB，所以CBM G NB，所以310BM G B。所以点 G 坐标（8，310）。解法 5：如图 2，延长 CB交 BA 的延长线于 D。因为AD/CO，所以 DAB COB，所以A
10、 B OBADCO，所以28AD6，所以23AD。在2 2 2AD A B D B,AD B Rt 中，所以2 2 2)23(2 D B，所以)(25D B 负值舍去，为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研
11、究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以 10 D B CB CD 22525，6252338AD MA DM。因为DM/G B，所以CDM G CB，所以,22510625G B,CD CBDMG B 所以 所以310G B。所以点 G 坐标)310,8(。解法 6：如图 3，延长 BG 交 CB 于 D。因为310BM,8 OB CD，因为BM/DG，所以CBM CDG，所以108310DG,CBCDBMDG 所以，所以，38DG
12、。为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中
13、所以解得所以学习必备 欢迎下载 所以 310386 DG D B G B，所以点 G 坐标（8，310）。解法 7：设点 G 坐标（8,a），则3106 831a。所以点 G 坐标（8，310）。求点 N 坐标。解法 1：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。由求点 G 的坐标解 3 知，AN=8，所以18 8 10 AN OA ON，所以点 N 坐标（18，0）解法 2：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为,BC/AN所以BCM ANM。所以BMAMBCAN，所以3103810AN，所以8 AN。所以18 8 10 AN OA ON。所以点 N 坐标（18，0）解法 3：如图 1，
14、延长 CM 交 x 轴于 N。因为OC/AM，所以OCN AMN，所以AMOCANON，所以AM OCOCOAON，所以386610ON，所以18 ON。所以点 N 坐标（18，0）。为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的
15、几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 其次，求折痕 CM 所在直线的解析式：设折痕 CM 所在直线的解析式为 b kx y。解法 1：由 C（0，6），M（10，38）两点组成方程组：b k 1038,b k 0 6 解得 6 b,31k。所以6 x31y。解法 2：由 G（8，310），M（10，38）两点组成方程组：,b k 1038,b k 8310 解得 6 b,31k 所以6 x31y。解法 3：由 M（10，
16、38），N（8，0）两点组成方程组：,b k 18 0,b k 1038 解得 6 b,31k。所以6 x31y。解法 4：由 C（0，6），N（18，0）两点组成方程组：,b k 18 0,b k 0 6 解得 6 b31k。所以6 x31y。所以折痕 CM 所在直线的解析式为 为原点点在轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点
17、坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以学习必备 欢迎下载 6 x31y。其余两种解法留给读者。（3）求过点 G 抛物线m x61y2 的解析式：解：由上面解法知点 G 坐标（8，310）。因为m 8613102，所以322m，所以322x61y2。除交点 G 外，另有交点为点 G 关于 y 轴的对称点 G，其点 G 坐标（8，310）为原点点在
18、轴上点在轴上如图在上取一点使得沿翻折后点落在轴上记作点求点的坐标求折痕所在直线的解析式作交于点若抛物线过点求抛物线的解析式并判断以原点为圆心为半径的圆与抛物线除交点外是否还有交点若有请直接写出 角变化位置且令其折痕与抛物线相交于点从求折痕所在直线与过点的抛物线的解析式从答案看求折痕所在直线的解析式用的是两点坐标求抛物线的解析式用的是点坐标从图看若设折痕的延长线与轴的交点为如图则折痕所在的直线上 点坐标的几何解法就颇有研究必要求点的坐标解如图因为是折叠来的所以所以在中学习必备欢迎下载所以负值舍去所以点坐标求折痕所在直线的解析式首先求四点坐标易知点坐标求点坐标解法如图因为所以设则又在中所以解得所以