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1、精品_精品资料_数学解题方法技巧一、换元法“换元”的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,敏捷运用换元法解题,有助于数量关系明朗化, 变繁为简,化难为易,给出简便、奇妙的解答.在解题过程中,把题中某一式子如 fx ,作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x,用新变量 t 的式子如 gt 替换, 即通过令 fx=y 或 x=gt 进行变量代换, 得到结构简洁便于求解的新解题方法, 通常称为换元法或变量代换法.用换元法解题,关键在于依据问题的结构特点,挑选能以简驭繁,化难为易的代换 fx=y 或 x=gt .就换元的详细形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换,
2、三角式代换,反三角式代换,复变量代换等,宜在解题实践中不断总结体会,把握有关的技巧.例如,用于求解代数问题的三角代换,在详细设计时,宜遵循以下原就： （ 1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质. （2）力求削减变量的个数,使问题结构简洁化. （ 3）便于借助已知三角公式,建立变量间的内在联系.只有全面考虑以上原就,才能谋取恰当的三角代换.换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简运算,恒等式、条件等式或不等式的证明,方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解,函数表达式、定义域、值域或最值的推求, 以及解析几何中的坐标替换,一般方程与参数方程、极坐标方程的互化
3、等问题中,都有着广泛的应用.例1分解因式： x 2-x-3x 2-x-5-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2 在实数集上解方程：3 14x3 14x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3 设 sinx+siny=1 ,求 cosx+cosy 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例4 设 x,y R,且 xy21 ,求函数 fx,y=x 2+2xy+y 2+x+2y 的最小值和最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4二、消元法对于含有多个变数的问题, 有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式）,
4、通过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题方法,通常称为消元法,又称消去法.消元法是解方程组的基本方法,在推证条件等式和把参数方程化成一般方程等问题中,也有着重要的应用.用消元法解题,具有较强的技巧性,经常需要依据题目的特点,敏捷挑选合适的消元方法.45例1解方程组：1x1y1x+1=yx-y-z=6例 2解方程组：y-z-x=0z-x-y= -12例 3、设 a,b,c 均为不等于 1 的正数,如ax=by=cz1110xyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： abc=1三、待定系数法可编辑资料 - - - 欢
5、迎下载精品_精品资料_依据肯定规律,先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程）,其中含有如干尚待确定的未知系数的值,从而得到问题的解.这种解题方法,通常称为待定系数法.其中尚待确定的未知系数,称为待定系数.确定待定系数的值,有两种常用方法：比较系数法和特殊值法.一、比较系数法比较系数法,是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数,得到关于待定系数的如干关系式（通常是多元方程组） ,由此求得待定系数的值.比较系数法的理论依据,是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等, 即 a0x n+a1x n-1+ +anb0xn+b1x n-1+ +b n 的充分必要条件是
6、a0=b 0,a1=b1,an=bn .二、特殊值法特殊值法,是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式,由左右两边数值相等得到关于待定系数的如干关系式,由此求得待定系数的值.特殊值法的理论依据,是表达式恒等的定义：两个表达式恒等,是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母,恒等式左右两边的值总是相等的.待定系数法是一种常用的数学方法,主要用于处理涉及多项式恒等变形问题,如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等.例1设二次函数的图象通过点A （-1 ,0）,B （ 7, 0）, C（3, -8）,求此二次函数的解析式.例2以 x-1 的幂表示多
7、项式x3-x 2+2x+2 .例3分解因式： 6x2+xy-2y 2+x+10y-12.四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a0 的判别式 =b2 -4ac 具有以下性质：0,当且仅当方程有两个不相等的实数根0,当且仅当方程有两个相等的实数根.0,当且仅当方程没有实数根.对于二次函数y=ax 2+bx+ca0 它的判别式 =b2-4ac 具有以下性质：0,当且仅当抛物线与x 轴有两个公共点.0,当且仅当抛物线与x 轴有一个公共点.0,当且仅当抛物线与x 轴没有公共点.利用判别式是中学数学的一种重要方法,在探求某些实变数之间的关系,争论方程的根和函数的性质, 证明不等式,以及争论圆
8、锥曲线与直线的关系等方面,都有着广泛的应用.在详细运用判别式时,中的系数都可以是含有参数的代数式.例1已知关于 x 的二次方程 x2+px+q=0 有两正根求证：对于一切实数 r 0,方程 qx 2+p-2rqx+1-p=0 也必有两正根.例2、x,y,zR, a R+,且x+y+z=a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2221 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x +y+z =a2试确定 x,y,z 的取值范畴.xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3、已知 a,x 为实数, |a|0 ）（1） 写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数
9、的定义域.（2） 求鱼群年增长量的最大值.例 4：某公司有资金 100 万元,董事会打算全部投资到甲、乙两工厂,投资甲厂可获得的利润为投资额的16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20%.投资乙厂可获得的利润由公式M=5x19 M 为利润额, x 为投资额,单位均为万元 确定,问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公司如何安排 100 万元资金投资这两个工厂,使获得利润最大？最大利润是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作业：1、 设 x 的二次方程 x2-2x+lg2a2-a=0 有一正根和一负根,求a 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
10、_精品资料_2、（ 1994 年高考题）在测量某物理的过程中,因仪器和观看的误差,使得n 次测量分别得到 a1,a2, , an 共 n 个数据.我们规定所测物理量的“正确近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小,依此规定,从a1 ,a2 , an,推出的 a 的值.3、 塑料厂销售科方案出售一种塑料鞋,经营人员不是仅仅依据估量的生产成原来确定塑料鞋的销售价格, 而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查,看看在不同的价格下会进多少货.通过一番调查,确定的需求关系是 p=-750x+15000 （ p 为零售商进货的总数量, x 为每双鞋的出厂价） , 并求得工厂生产
11、塑料鞋固定成本是 7000 元,估量生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4 元,为了获得最大利润, 工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400 米 3 ,深为 6 米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a 元,池底每平方米粉的造价为 2a 元,就如何建造才能使总造价为最小.4、 某一信托公司,考虑投资1600 万元建造一座涉外宾馆.经猜测,该宾馆建成后,每年年底可获利600万元,假设银行每年复利计息,利率为10%.如需要在三年内收回全部投资,每年至少应当收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法解答数学题,需要多方面的信息.数学中的各种试验,经常能给人以有益的信息,为分析问
12、题和解决问题供应必要的依据.用试验法处理数学问题时, 必需从问题的实际情形动身,结合有关的数学学问,恰当挑选试验的对象和范畴.在制定试验方案时,要全面考虑试验的各种可能情形,不能有所遗漏.在实施试验方案时,要讲究试验技巧,充分利用各次试验所供应的信息,以缩小试验范畴,削减试验次数,尽快找出原题的解答. 任何试验都和观看相联系.观看依靠于试验,试验离不开观看.因此,要用好试验法,必需勤于观看,善于观看,有目的、有方案、有条理的进行观看.例 1：在正整数集 N+上解方程： xy+3x-5y=3例 2、已知方程 x2+m+1x+2m-1=0 的两个根都是整数,求m 的整数值.例 3、求全部的实数 k
13、,使得方程 kx2+k+1x+k-1=0的根都是整数 .八、分类法分类法是数学中的一种基本方法,对于提高解题才能,进展思维的缜密性,具有非常重要的意义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不少数学问题,在解题过程中,经常需要借助规律中的分类规章,把题设条件所确定的集合,分成如干个便于争论的非空真子集,然后在各个非空真子集内进行求解,直到获得完满的结果.这种把规律分类思想移植到数学中来,用以指导解题的方法,通常称为分类或分域法.用分类法解题,大体包含以下几个步骤：第一步：依据题设条件,明确分类的对象,确定需要分类的集合A .其次步：寻求恰当的分类依据,依据分类的规章,把集合A 分为如
14、干个便于求解的非空真子集A1, A 2,An;第三步：在子集 A 1,A 2, An 内逐类争论. 第四步：综合子集内的解答,归纳结论.以上四个步骤是相互联系的,寻求分类的依据,是其中的一项关键性的工作.从总体上说,分类的主要依据有：分类表达的定义、定理、公式、法就,具有分类争论位置关系的几何图形,题目中含有某些特殊的或隐含的分类争论条件等.在实际解题时,仅凭这些仍不够,仍需要有较强的分类意识,需要思维的敏捷2lg 2 x性和缜密性,特殊要善于挖掘题中隐含的分类条件.例 1：求方程的实数解,其中alg xa为实参数.例 2： ABC 中, AD BC 于点 D,M 是 BC 的中点,且 B=2
15、 C.求证： DM= 1 AB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-|2例 3：解方程： 2|x+2|x+1-1|=2x+1+1九、数形结合法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数形结合,是争论数学的一个基本观点,对于沟通代数、三角与几何的内在联系,具有重要的指导意义.懂得并把握数形结合法,有助于增强人们的数学素养,提高分析问题和解决问题的才能.数和形这两个基本概念,是数学的两块基石. 数学就是环绕这两个概念进展起来的.在数学进展的进程中,数和形经常结合在一起,在内容上相互联系,在方法上相互渗透,在肯定条件下可以相互转化.数形结合的基本思想,是在争论问题的过程中,留意
16、把数和形结合起来考察,斟酌问题的详细情形, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简洁化,抽象问题详细化,化难为易,获得简便易行的胜利方案.中学数学中,数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角学问,通过对数量关系的争论, 去处理几何图形问题.二是运用几何学问,通过对图形性质的争论,去解决数量关系的问题.就详细方法而论,前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等.后者常用的方法主要是图解法.x例：方程 sinx=解的个数为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、1B、2C、3D、4例：已知实数 x,y 满意 3x+
17、4y-1=0 ,求 x1 2 y22的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例：设 x R,求x2 x17x8x80 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例：对每个实数x,记 -x,x2 ,x+2 三者中的最大者为 Fx ,求 Fx及 Fx的最小值.例：假如方程 |x2-4x+3|=px 有四个不同的实数根,求p 的取值范畴十、反证法与同一法反证法和同一法是间接证明的两种方法,在解题中有着广泛的应用.（一）反证法是一种重要的证明方法.这里主要争论反证法的规律原理、解题步骤和适用范畴.可编辑资料 - -
18、- 欢迎下载精品_精品资料_反证法的解题步骤：第一步：反设.假设命题结论不成立,即假设原结论的反面为真.其次步：归谬.由反设和已知条件动身,经过一系列正确的规律推理,得出冲突结果.这里所说的冲突结果,通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式冲突,与已知条件冲突,与暂时假设冲突, 以及自相冲突等各种情形.第三步：存真.由冲突结果,确定反设不真,从而确定原结论成立.反证法的三个步骤是相互联系的.反设是前提,归谬是关键,存真是目的.只有正确的作出反设,合乎规律的进行推导,才能间接的证出原题.例 1：已知 A 1, A 2,An是凸 n 边形的 nn3个内角.求证：这 n 个内角中至多有3 个内角是锐角.例 2：设平面 平面 ,直线 l平面 =A .求证：直线 l 与平面 相交.例 3：求证：方程x=qsinx+a0q0.2、 已知 , （ 0, 2 ）,且 sin +=2sin .求证： 3、 在梯形 ABCD 中, E 为一腰 BC 上的一点,已知 AED 的面积是梯形 ABCD 的面积的一半,求证：CE=EB可编辑资料 - - - 欢迎下载