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1、精品_精品资料_高中数学竞赛讲义八平面对量一、基础学问定义 1既有大小又有方向的量,称为向量.画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模. 向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示.书中用黑体表示向量, 如 a. |a|表示向量的模, 模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的.零向量和零不同,模为1 的向量称为单位向量.定义 2方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量,规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律.定理 1向量的运算,加法满意平行四边形法规,减法满意三角形法就.加法和减法都满意交换律和结合律.定理 2非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实
2、数0,使得 a=f定理 3 平面对量的基本定理,假设平面内的向量 a, b 不共线,就对同一平面内任意向是 c,存在唯独一对实数 x, y,使得 c=xa+yb ,其中 a, b 称为一组基底.定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴, y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯独一组实数 x, y ,使得 c=xi+yi ,就 x, y 叫做 c 坐标.定义 4 向量的数量积,假设非零向量 a, b 的夹角为 ,就 a, b 的数量积记作ab=|a|b|cos=|a| |b|cos,也称内积,其中 |b|cos叫做 b 在 a 上的投
3、影注：投影可能为负值.定理 4 平面对量的坐标运算：假设 a=x 1, y1, b=x 2, y2 ,1 a+b=x 1+x 2, y1+y2 , a-b=x 1-x 2, y 1-y 2,2 a= 1, xy1, a b+c=a b+a c,3 ab=x 1x 2+y 1y2, cosa, b=a, b0, 4. a/bx 1y2=x 2 y1 , abx1x2+y 1 y2=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 5假设点 P 是直线 P1P2 上异于 p1 ,p2 的一点,就存在唯独实数 ,使,叫 P 分所成的比,假设O 为平面内任意一点,就.由此可得假设 P1,P,P
4、2 的坐标分别为 x 1, y1, x, y, x 2 , y2,就定义 6设 F 是坐标平面内的一个图形, 将 F 上全部的点根据向量a=h, k 的方向, 平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移. 设 px, y 是 F 上任意一点, 平移到上对应的点为,就称为平移公式.定理 5对于任意向量 a=x 1, y1 , b=x 2, y2, |a b| |a|b|,并且 |a+b| |a|+|b|.【证明】 由于|a|2|b|2-|ab|2=-x 1x2+y 1y 2 2=x 1y 2-x 2y120,又|ab| 0,|a| |b|,0所以 |a| |b| |ab|.由向量的三角形法就及
5、直线段最短定理可得|a+b| |a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广.1对 n 维向量, a=x 1, x2, ,xn, b=y 1, y2 , , yn,同样有 |a b| |a| |b|,化简即为柯西不等式：x 1y1+x 2y 2+ +xnyn20,又 |ab| 0, |a|b|,0所以 |a| |b| |ab|.由向量的三角形法就及直线段最短定理可得|a+b| |a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广.1对 n 维向量, a=x 1, x 2, ,xn, b=y 1, y 2, , y n,同样有 |a b| |a| |b|,化简即为柯西不等式：x 1y1+x 2y 2+ +
6、xnyn2.2对于任意 n 个向量, a1, a2, ,an,有| a1, a2, ,an | 1| |a+|a2|+ +|an|.二、方向与例题1. 向量定义和运算法就的运用.例 1设 O 是正 n 边形 A 1A 2 A n 的中心,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【证明】记,假设,就将正 n 边形绕中心 O 旋转后与原正 n 边形重合,所以不变,这不行能,所以例 2给定 ABC ,求证： G 是 ABC 重心的充要条件是【证明】必要性.如下图,设各边中点分别为D, E, F,延长 AD 至 P,使 DP=GD ,就又由于 BC 与 GP 相互平分,所以 BPCG 为
7、平行四边形,所以BGPC,所以所以充分性.假设,延长 AG 交 BC 于 D ,使 GP=AG ,连结 CP,就由于,就,所以 GBCP,所以 AG 平分 BC.同理 BG 平分 CA .所以 G 为重心.例 3在凸四边形ABCD中, P 和 Q 分别为对角线BD和 AC的中点,求证：AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ2.【证明】如下图,结结BQ , QD .由于,所以=又由于同理,由,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.得证.2. 证利用定理2 证明共线.例 4 ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G.求证： O,G,H 为共线, 且 O
8、G：GH=1 ：2.【证明】第一=其次设 BO 交外接圆于另一点E,就连结 CE 后得 CE又 AHBC ,所以 AH/CE .又 EAAB , CHAB ,所以 AHCE 为平行四边形.所以所以,所以,所以与共线,所以 O,G,H 共线.所以 OG： GH=1 ：2.3利用数量积证明垂直.例 5给定非零向量 a, b. 求证： |a+b|=|a-b|的充要条件是 ab.【证明】 |a+b|=|a-b|a+b 2=a-b 2a2+2a b+b2=a2-2a b+b 2a b=0ab.例 6已知 ABC 内接于 O,AB=AC ,D 为 AB 中点, E 为 ACD 重心. 求证： OE CD
9、.【证明】设,就,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又,所以a b-c.由于 |a|2 =|b|2=|c|2 =|OH|2又由于 AB=AC , OB=OC ,所以 OA 为 BC 的中垂线.所以 ab-c=0.所以 OECD .4向量的坐标运算.例 7已知四边形 ABCD 是正方形, BE/AC ,AC=CE ,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证： AF=AE .【证明】 如下图,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形边长为 1,就 A ,B 坐标分别为 -1, 1和 0,1,设 E 点的坐标为 x, y,就=x,y-1,由于,所以
10、-x-y-1=0.又由于,所以 x 2+y 2=2.由,解得所以设,就.由和共线得所以,即 F,所以=4+,所以 AF=AE .三、基础训练题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 以下命题中正确的选项是 . a=b 的充要条件是|a|=|b|,且a/b .a b c=acb.假设 a b=ac,就 b=c.假设 a, b 不共线,就xa+yb=ma+nb 的充要条件是 x=m, y=n .假设,且 a, b 共线, 就 A,B,C,D 共线. a=8, 1在 b=-3, 4 上的投影为 -4.2. 已知正六边形ABCDEF ,在以下表达式中：.与,相等的有.3已知 a=y-x,
11、 b=2x-y, |a|=|b|=1, a b=0 ,就|x|+|y|=.4. 设 s, t 为非零实数, a, b 为单位向量, 假设 |sa+tb|=|ta-sb|,就 a 和 b 的夹角为.5. 已知 a, b 不共线,=a+kb,=la+b ,就“ kl-1=0 ”是“ M ,N,P 共线”的 条件 .6. 在 ABC 中, M 是 AC 中点, N 是 AB 的三等分点,且, BM 与 CN 交于 D ,假设,就 =.7. 已知不共线,点 C 分所成的比为 2,就 .8已知=b, ab=|a-b|=2 ,当 AOB 面积最大时, a 与 b 的夹角为.9. 把函数 y=2x 2-4x
12、+5 的图象按向量a 平移后得到 y=2x 2 的图象, c=1, -1,假设,cb=4 ,就 b 的坐标为.10. 将向量 a=2, 1绕原点按逆时针方向旋转得到向量 b,就 b 的坐标为.11. 在 Rt BAC 中,已知 BC=a ,假设长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,试问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.12. 在四边形 ABCD 中,假如 ab=b c=cd=d a, 试判定四边形ABCD 的外形.四、高考水平训练题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 点 O是平面上肯定点,A , B , C 是此平面上不共线的三个点,动点P 满意就点 P 的轨
13、迹肯定通过ABC 的心.2. 在 ABC 中,且 a b1kR ,就 k 的取值范畴是.4. 平面内四点 A ,B ,C,D 满意,就的取值有个.5. 已知 A 1A 2A 3A 4A 5 是半径为 r 的 O 内接正五边形, P 为 O 上任意一点,就取值的集合是.6O 为 ABC 所在平面内一点, A ,B ,C 为 ABC的角, 假设 sinA +sinB +sinC,就点 O 为 ABC的心.7对于非零向量 a, b,“ |a|是=|b“| a”+ba-b”的 条件 .8在 ABC中,又 c b： ba： ac=1 ： 2：3,就 ABC三边长之比 |a|： |b|： |c|=.9.
14、已知 P 为 ABC 内一点,且,CP 交 AB 于 D ,求证：10. 已知 ABC 的垂心为 H, HBC , HCA , HAB 的外心分别为 O1, O2,O3,令,求证： 12p=b+c-a . 2 H 为 O1 O2O3 的外心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设坐标平面上全部向量的集合为V , a=a1, a2 为 V 中的一个单位向量,已知从V到的变换 T,由 Tx=-x+2x aax V 确定,1对于 V 的任意两个向量x, y, 求证： Tx Ty=x y.2对于 V 的任意向量 x,运算 TTx-x .3设 u=1, 0 .,假设,求 a.六、联赛
15、二试水平训练题1. 已知 A , B 为两条定直线 AX , BY 上的定点, P 和 R 为射线 AX 上两点, Q 和 S 为射线 BY上的两点,为定比, M , N , T 分别为线段AB , PQ, RS 上的点,为另肯定比,试问M, N, T 三点的位置关系如何？证明你的结论.2. 已知 AC , CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点M , N 分别内分 AC , CE, 使得 AM ： AC=CN ： CE=r ,假如 B ,M , N 三点共线,求 r.3. 在矩形 ABCD 的外接圆的弧AB 上取一个不同于顶点A , B 的点 M ,点 P, Q, R, S 是 M
16、 分别在直线 AD , AB , BC,CD 上的射影,求证：直线PQ 与 RS 相互垂直.4. 在 ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点, D 在 B 和 F 之间, F 是 AC 的中点, G是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH： HG.5是否存在四个平面对量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？6. 已知点 O 在凸多边形 A 1A 2 A n 内,考虑全部的A iOA j,这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的自然数,求证：其中至少有n-1 个不是锐角.7. 如图,在 ABC 中, O 为外心,三条高 AD ,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M , FD 和 AC 交于点 N,求证： 1OBDF, OCDE, 2OHMN .8. 平面上两个正三角形A1 B1C1 和 A 2B2C2,字母排列次序一样, 过平面上一点O 作,求证 ABC 为正三角形.9. 在平面上给出和为的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证：|a|+|b|+|c|+|d| |a+d|+|b+d|+|c+d|.可编辑资料 - - - 欢迎下载