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1、1 高中数学竞赛讲义八平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。 向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 a. |a| 表示向量的模， 模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1 的向量称为单位向量。定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数0，
2、使得 a=f定理 3 平面向量的基本定理，假设平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是 c，存在唯一一对实数x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c，由定理 3 可知存在唯一一组实数x, y ，使得 c=xi+yi ，则 x, y 叫做 c 坐标。定义4 向量的数量积，假设非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作ab=|a|b|cos=|a| |b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做 b 在 a上的投影注：投影可能为负值。定理 4 平
3、面向量的坐标运算：假设a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2 a=( x1, y1), a (b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 定义 5 假设点 P是直线 P1P2上异于 p1， p2的一点，则存在唯一实数 ， 使，叫 P 分所成的比，假设O 为平面内任意一点，则。由此可得假设
4、 P1， P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)， 则定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向， 平移|a|=个单位得到图形， 这一过程叫做平移。 设 p(x, y) 是 F 上任意一点， 平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理 5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a b| |a|b|，并且 |a+b| |a|+|b|.【证明】因为|a|2 |b|2-|a b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20 ， 又|a b| 0, |a| |b| 0，所以 |a|b|
5、 |a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b| |a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1对 n 维向量， a=(x1, x2,xn)， b=(y1, y2, , yn)，同样有 |a b| |a| |b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)20 ，又 |ab| 0, |a|b| 0，所以 |a|b| |a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b| |a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1对 n 维向量， a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有 |a b| |a| |b|，化简即为柯西不等式：(x1y
6、1+x2y2+xnyn)2。2对于任意n 个向量， a1, a2, ,an，有 | a1, a2, ,an| | a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2An的中心，求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 【证明】记，假设，则将正 n 边形绕中心O 旋转后与原正 n 边形重合，所以不变，这不可能，所以例 2 给定 ABC ，求证： G 是 ABC 重心的充要条件是【证明】必要性。如下图，设各边中点分别为D，E，F，延长 AD 至 P，使 DP=
7、GD ，则又因为 BC 与 GP 互相平分，所以 BPCG 为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。假设，延长 AG 交 BC 于 D，使 GP=AG ，连结CP，则因为，则，所以 GBCP，所以 AG 平分 BC。同理 BG 平分 CA。所以 G 为重心。例 3 在凸四边形ABCD中， P 和 Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】如下图，结结BQ，QD。因为，所以=又因为同理，由，可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 。得证。2证利用
8、定理2 证明共线。例 4 ABC 外心为 O，垂心为 H，重心为 G。求证： O，G，H 为共线， 且 OG：GH=1 ：2。【证明】首先=其次设 BO 交外接圆于另一点E，则连结 CE 后得 CE又 AHBC，所以 AH/CE 。又 EAAB，CHAB ，所以 AHCE 为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H 共线。所以 OG：GH=1 ：2。3利用数量积证明垂直。例 5 给定非零向量a, b. 求证： |a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】 |a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例 6 已知 ABC
9、内接于 O，AB=AC ，D 为 AB 中点， E 为 ACD 重心。 求证： OECD。【证明】设，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 又，所以a(b-c). 因为 |a|2=|b|2=|c|2=|OH|2又因为 AB=AC ，OB=OC ，所以 OA 为 BC 的中垂线。所以 a(b-c)=0. 所以 OECD。4向量的坐标运算。例 7 已知四边形ABCD 是正方形， BE/AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点 F，求证： AF=AE 。【证明】如下图，以CD 所在的直线为x 轴，以 C
10、 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为 1，则 A，B 坐标分别为 -1，1和 0，1，设 E 点的坐标为 x, y，则=(x, y-1), ，因为，所以 -x-(y-1)=0.又因为，所以 x2+y2=2.由，解得所以设，则。由和共线得所以，即 F，所以=4+，所以 AF=AE 。三、基础训练题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 1以下命题中正确的选项是_. a=b 的充要条件是|a|=|b|，且a/b；(ab)c=(ac)b；假设ab=ac，则 b=c；假设a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件
11、是x=m, y=n ；假设，且 a, b 共线，则 A，B，C，D 共线；a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影为 -4。2已知正六边形ABCDEF ，在以下表达式中：；与，相等的有 _.3已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a b=0，则 |x|+|y|=_.4 设 s, t 为非零实数， a, b为单位向量， 假设 |sa+tb|=|ta-sb|， 则 a 和 b 的夹角为 _.5 已知 a, b 不共线，=a+kb, =la+b， 则 “kl-1=0 ” 是 “M， N， P 共线”的_条件 .6在 ABC 中， M 是 AC 中点， N 是 AB 的三等分
12、点，且，BM 与 CN 交于 D，假设，则 =_.7已知不共线，点C 分所成的比为2，则_.8 已知=b, a b=|a-b|=2， 当 AOB 面积最大时， a与 b 的夹角为 _.9 把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象， c=(1, -1), 假设，cb=4，则 b 的坐标为 _.10将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则 b 的坐标为 _.11 在 RtBAC 中， 已知 BC=a， 假设长为2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，试问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。12 在四边形 ABCD 中， 如果 a b=b c=
13、c d=d a，试判断四边形ABCD 的形状。四、高考水平训练题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 1点O 是平面上一定点，A， B， C 是此平面上不共线的三个点，动点P 满足则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_心。2在 ABC 中，且 ab1(kR)，则 k 的取值范围是_.4平面内四点A，B，C，D 满足，则的取值有 _个.5已知A1A2A3A4A5是半径为r 的 O 内接正五边形，P 为 O 上任意一点，则取值的集合是_.6O 为 ABC 所在平面内一点，A，B，C 为 ABC 的角， 假设 sinA+si
14、nB +sinC，则点 O 为 ABC 的_心.7对于非零向量a, b, “ |a|=|b|”是“ (a+b)(a-b)”的 _条件 .8在 ABC 中，又 (cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，则ABC 三边长之比 |a|：|b|：|c|=_.9 已知 P为 ABC 内一点，且， CP 交 AB 于 D， 求证：10已知 ABC 的垂心为H， HBC ， HCA ， HAB 的外心分别为O1，O2，O3，令，求证： 12p=b+c-a； 2 H 为 O1O2O3的外心。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 11
15、设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量，已知从V到的变换 T，由 T(x)=-x+2(x a)a(xV) 确定，1对于 V 的任意两个向量x, y, 求证： T(x) T(y)=x y；2对于 V 的任意向量x，计算 TT(x)-x ；3设 u=(1, 0)；，假设，求 a.六、联赛二试水平训练题1已知 A，B 为两条定直线AX ，BY 上的定点， P 和 R 为射线 AX 上两点， Q 和 S 为射线BY 上的两点，为定比， M，N，T 分别为线段AB，PQ，RS 上的点，为另一定比，试问M， N， T 三点的位置关系如何？证明你的结论。2已知 AC ，
16、CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点M，N 分别内分AC ，CE，使得 AM ：AC=CN ：CE=r，如果 B，M，N 三点共线，求r.3在矩形ABCD 的外接圆的弧AB 上取一个不同于顶点A，B 的点 M，点 P，Q，R，S是 M 分别在直线AD ，AB， BC，CD 上的射影，求证：直线PQ 与 RS 互相垂直。4在 ABC 内，设 D 及 E是 BC 的三等分点， D 在 B 和 F 之间， F 是 AC 的中点， G是 AB 的中点，又设H 是线段 EG 和 DF 的交点，求比值EH： HG。5是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
17、6已知点O 在凸多边形A1A2An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j 为 1 至 n 中不同的自然数，求证：其中至少有n-1 个不是锐角。7如图，在 ABC 中， O 为外心，三条高AD ，BE，CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点 N，求证： 1OBDF， OCDE， 2OHMN 。8平面上两个正三角形A1B1C1和 A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O 作，求证 ABC 为正三角形。9在平面上给出和为的向量 a, b, c, d，任何两个不共线，求证：|a|+|b|+|c|+|d| |a+d|+|b+d|+|c+d|.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页