《考研数学复习资料 2005年数学三考研试题与答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学复习资料 2005年数学三考研试题与答案.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2005 年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim2+xxxx=.（2）微分方程0=+yyx满足初始条件2)1(=y的特解为_.（3）设二元函数)1ln()1(yxxezyx+=+，则=)0,1(dz_.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),1,2(aa，),1,2,3(a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则a=_.（5）从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从X,2,1中任取一个数，记为Y,则2=YP=_
2、.（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件0=X与1=+YX相互独立，则a=，b=.二、选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数axxxxf+=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.（8）设dyxID+=221cos,dyxID+=)cos(222,dyxID+=2223)cos(,其中1),(22+=yxyxD，则(A)123III.（B）321III.(C)312III.(D)213I
3、II.（9）设,2,1,0=nan若=1nna发散，=11)1(nnna收敛，则下列结论正确的是(A)=112nna收敛，=12nna发散.（B）=12nna收敛，=112nna发散.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(C)(1212=+nnnaa收敛.(D)(1212=nnnaa收敛.（10）设xxxxfcossin)(+=,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）f(0)是极大值，)2(f也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(f也是极小值.（11）以下四个命题
4、中，正确的是(A)若)(xf在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若)(xf在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（C）若)(xf在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(xf在（0，1）内有界.（12）设矩阵 A=33)(ija满足TAA=*，其中*A是 A 的伴随矩阵，TA为 A的转置矩阵.若131211,aaa为三个相等的正数，则11a为(A)33.(B)3.(C)31.(D)3.（13）设21,是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21+A线性无关的充分必要条件是(A)
5、01=.(B)02=.(C)01.(D)02.（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2N，其中2,均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值)(20cmx=，样本标准差)(1cms=，则的置信度为 0.90的置信区间是(A).16(4120),16(4120(05.005.0tt+(B).16(4120),16(4120(1.01.0tt+(C).15(4120),15(4120(05.005.0tt+(D).15(4120),15(4120(1.01.0tt+三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 8 分）欢迎您
6、阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！求：（I）(X,Y)的边缘概率密度)(),(yfxfYX；（II）YXZ=2的概率密度).(zfZ(III).2121XYP（23）（本题满分13 分）设)2(,21nXXXn为来自总体N(0,2)的简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1,niXXYii=求：（I）iY的方差niDYi,2,1,=；（II）1Y与nY的协方差).,(1nYYCov（III）若21)(nYYc+是2的无偏估计量，求常数c.欢迎您阅读
7、并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2005 年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim2+xxxx=2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim2+xxxx=.212lim2=+xxxx（2）微分方程0=+yyx满足初始条件2)1(=y的特解为2=xy.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)(=xy，积分得Cxy=，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(yxxezyx+
8、=+，则=)0,1(dzdyeedx)2(2+.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln(yxeexzyxyx+=+,yxxeyzyx+=+11,于是=)0,1(dzdyeedx)2(2+.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),1,2(aa，),1,2,3(a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则a=21.【分析】四个4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有=1234123121112aaa0)12)(1(=aa,得21,1=aa，但题设1a，故.21=a（5）从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从X,2,1中任取一个数，记为Y
9、,则2=YP=4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】2=YP=121=XYPXP+222=XYPXP欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！+323=XYPXP+424=XYPXP=.4813)4131210(41=+（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件0=X与1=+YX相互独立，则a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确
10、定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件0=X与1=+YX相互独立，于是有101,0=+=+=YXPXPYXXP，即a=)(4.0(baa+,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数axxxxf+=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】121
11、86)(2+=xxxf=)2)(1(6xx，知可能极值点为x=1,x=2，且afaf=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设dyxID+=221cos,dyxID+=)cos(222,dyxID+=2223)cos(,其中1),(22+=yxyxD，则(A)123III.（B）321III.(C)312III.(D)213III.A【分析】关键在于比较22yx+、22yx+与222)(yx+在区域1),(22+=yxyxD上的大小.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【详解】在区域1),(
12、22+=yxyxD上，有1022+yx，从而有2212yx+22yx+0)(222+yx由于cosx在)2,0(上为单调减函数，于是22cos0yx+)cos(22yx+222)cos(yx+因此+dyxD22cosnan若=1nna发散，=11)1(nnna收敛，则下列结论正确的是(A)=112nna收敛，=12nna发散.（B）=12nna收敛，=112nna发散.(C)(1212=+nnnaa收敛.(D)(1212=nnnaa收敛.D【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取nan1=，则=1nna发散，=11)1(nnna收敛，但=112nna与=12nna均发散，排除(A),
13、(B)选项，且)(1212=+nnnaa发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212=nnnaa的部分和数列极限存在.（10）设xxxxfcossin)(+=,下列命题中正确的是(B)f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）f(0)是极大值，)2(f也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(f也是极小值.B【分析】先求出)(),(xfxf，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】xxxxxxxfcossincossin)(=+=，显然0)2(,0)0(=ff，又xxxxfsincos)(=，且02)2(,01)0(=ff，故f(0)是
14、极小值，)2(f是极大值，应选(B).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(xf在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若)(xf在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C）若)(xf在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(xf在（0，1）内有界.C【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设 f(x)=x1,则 f(x)及21)(xxf=均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B)
15、;又xxf=)(在（0，1）内有界，但xxf21)(=在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵A=33)(ija满足TAA=*，其中*A是 A 的伴随矩阵，TA为 A 的转置矩阵.若131211,aaa为三个相等的正数，则11a为(A)33.(B)3.(C)31.(D)3.A【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.*EAAAAA=.【详解】由TAA=*及EAAAAA=*，有3,2,1,=jiAaijij，其中ijA为ija的代数余子式，且032=AAAEAAAT或1=A而03211131312121111=+=aAaAaAaA，于是1=A，且
16、.3311=a故正确选项为(A).（13）设21,是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21+A线性无关的充分必要条件是(A)01=.(B)02=.(C)01.(D)02.D【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211=+Akk，则欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！022211211=+kkk，0)(2221121=+kkk.由于21,线性无关，于是有=+.0,022121kkk当02时，显然有0,021=kk，此时1，)(21+A线性无关；反过来，
17、若1，)(21+A线性无关，则必然有02(,否则，1与)(21+A=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于=+=+21212211121101,)(,A，可见1，)(21+A线性无关的充要条件是.001221=故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2N，其中2,均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值)(20cmx=，样本标准差)(1cms=，则的置信度为 0.90的置信区间是(A).16(4120),16(4120(05.005.0tt+(B).16(4120),16(4120(1.01.0tt+(C).15(4120),15(4120(05.005.0tt+
18、(D).15(4120),15(4120(1.01.0tt+C【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(ntnsx【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(ntnsx，故的置信度为 0.90 的置信区间是)1(1),1(1(22+ntnxntnx，即).15(4120),15(4120(05.005.0tt+故应选(C).三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 8 分）求).111(lim0 xexxx+【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除
19、！我们将竭诚为您提供优质的文档！【详解】)1(1lim)111(lim200 xxxxxexexxxex+=+=2201limxexxxx+=xexxx221lim0+=.2322lim0=+xxe（16）（本题满分8 分）设 f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(yxyfxyfyxg+=，求.222222ygyxgx【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得)()(2yxfxyfxyxg+=，)(1)()(242322yxfyyxfxyxyfxyxg+=，)()()(1yxfyxyxfxyfxyg+=，)()()()(13222222yxfyxyxfyxyxf
20、yxxyfxyg+=，所以222222ygyxgx=)()()(2222yxfyxyxfxyxyfxy+)()(222yxfyxxyfxy =).(2xyfxy（17）（本题满分9 分）计算二重积分dyxD+122，其中10,10),(=yxyxD.【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【详解】记),(,1),(221DyxyxyxD+=，),(,1),(222DyxyxyxD+=，于是dyxD+122=+1)1(22Ddxdyyx+2)1(22Ddxdyy
21、x=20210)1(rdrrd+Ddxdyyx)1(22+1)1(22Ddxdyyx=8+20102210210)1()1(rdrrddyyxdx=.314（18）（本题满分9 分）求幂级数=+12)1121(nnxn在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设=+=12)1121()(nnxnxS，=+=121121)(nnxnxS，=122)(nnxxS，则)()()(21xSxSxS=，).1,1(x由于=122)(nnxxS=221xx，)1,1(,1)(22121=xxx
22、xxxSnn,因此+=xxxxdtttxxS022111ln211)(，又由于0)0(1=S，故.0,1,0,11ln211)(1=+=xxxxxxS欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！所以)()()(21xSxSxS=.0,1,0,1111ln212=YCACBYYXCACBooAYXTTTTT故CACBT1为正定矩阵.（22）（本题满分13 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他xyxyxf=求：（I）(X,Y)的边缘概率密度)(),(yfxfYX；（II）YXZ=2的概率密度).(zfZ(III)
23、.2121XYP【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I）关于X 的边缘概率密度)(xfX=+dyyxf),(=.,10,0,20其他xdyx=.,10,0,2其他xx关于Y 的边缘概率密度)(yfY=+dxyxf),(=.,20,0,12其他ydxy=.,20,0,21其他yy（II）令2)(zYXPzZPzFZ=，1）当0z时，02)(=zYXPzFZ；2）当20z时，2)(zYXPzFZ=241zz;欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权
24、请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3)当2z时，.12)(=zYXPzFZ即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2=zzzzzzFZ故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他nXXXn为来自总体N(0,2)的简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1,niXXYii=求：（I）iY的方差niDYi,2,1,=；（II）1Y与nY的协方差).,(1nYYCov（III）若21)(nYYc+是2的无偏估计量，求常数c.【分析】先将iY表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y与nY的协方差),(1nYYCov，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期
25、望的运算性质；估计21)(nYYc+，利用其数学期望等于2确定c 即可.【详解】由题设，知)2(,21nXXXn相互独立，且),2,1(,02niDXEXii=，.0=XE（I）=nijjiiiXnXnDXXDDY1)11()(=+nijjiDXnDXn221)11(=.1)1(1)1(222222nnnnnn=+欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（II）)(),(111nnnEYYEYYEYYCov=)()(11XXXXEYYEnn=)(211XXXXXXXEnn+=211)(2)(XEXXEXXEn+=22121)(20XEXDXXXEnnjj+=.112222nnn=+（III）)()(121nnYYcDYYcE+=+=),(2121nYYCovDYDYc+=222)2(2211=+cnnnnnnnc，故.)2(2=nnc