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1、高一数学上册函数的基本性质知识点总结沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像学问点沪教版 高一数学上册幂函数的性质与图像学问点沪教版 定义:形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大
2、于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0,+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：解除了为0与负数两种可能
3、，即对于x0，则a可以是随意实数;解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数;解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只
4、有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况.可以看到：(1)全部的图形都通过(1，1)这点。(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。(6)明显幂函数无界。 高一数学函数的性质学问点总结 高一数学函数的性质学问点总结 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，假如对
5、于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 假如对于区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 留意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）图象的特点 假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A
6、)定义法： 1任取x1，x2D，且x12； 2作差f(x1)f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即推断差f(x1)f(x2)的正负）； 5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性亲密相关，其规律：“同增异减” 留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数
7、（2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义推断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称； 2确定f(x)与f(x)的关系； 3作出相应结论：若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数 留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依
8、据定义判定;(2)由f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的推断函数的最大（小）值： 假如函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=
9、f(x)在x=b处有最大值f(b)； 假如函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： 2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数，若，则= 5.求下列函数的值域： (3)(4) 6.已知函数，求函数，的解析式 7.已知函数满意，则=。 8.设是R上的奇函数，且当时,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： 10.推断函数的单调性并证明你的结论 11.设函数推断它的奇偶性并且求证： 高一数学上册学问点汇总：函数的性质 高一数学上册学问点
10、汇总：函数的性质 函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：留意定义是相对与某个详细的区间而言。 判定方法有：定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：定义：留意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。 判别方法：定义法，图像法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的随意x满意：f(x+T)=f(x),则T为函
11、数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的随意x满意：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式 平移变换y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b 留意：()有系数，要先提取系数。如：把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象。 ()会结合向量的平移，理解根据向量(m，n)平移的意义。 对称变换y=f(x)y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)y=-f(x),关于x轴对称 y=f(x)y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将
12、y轴右边部分关于y轴对称。(留意：它是一个偶函数) 伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)详细参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称 高一数学学问点：不等式的基本性质 高一数学学问点：不等式的基本性质 不等式的基本性质学问点1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。可以结合函数单调性的证明这个熟识的学问背景，来相识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后，为推断差的符号，须要
13、分解因式，以便运用实数运算的符号法则。如证明y=x3为单增函数，设x1,x2isin;(-infin;,+infin;),x1)2+x22再由(x1+)2+x220,x1-x20,可得f(x1)2.不等式的性质：不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：(1)abb(2)ab,bcac(传递性)(3)aba+cb+c(cisin;R)(4)c0时，abacbcc0时，abac运算性质有：(1)ab,cda+cb+d。(2)ab0,cd0acbd。(3)agt,中学历史;b0anbn(nisin;N,n1)。(4)ab0(nisin;N,n1)。应留意，上述性质中
14、，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件动身施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)依据给定的不等式条件，利用不等式的性质，推断不等式能否成立。(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，推断实数值的大小。(3)利用不等式的性质，推断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页