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1、高三数学排列1高三数学教案：排列、组合与概率教学设计 第六部分排列、组合与概率 47、解排列组合应用题是首先要明确须要完成的事务是什么，其次要分清完成该事务是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简洁地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要留意“特别元素、特别位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特别元素特别照看，特别位置特别考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特殊提示：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏. 举例对于问题：从3位男同学，5位女
2、同学这8位同学中选出3人参与学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有种选法，所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误缘由，并给出正确的解法. 分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的为A、B，再选的为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复. 正确解法有两种：方法一：（分类探讨）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有种不同选法，3位都为女同学有种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有种不同的选法.方法二
3、：（去杂法）8位同学中选出3人不满意条件和选法为3男与2男1女.全部选法为，则满意题义的选法为：. 48、简洁地说：事务A的概率是含有事务A的“个体数”与满意条件的事务的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题事实上是排列、组合问题的简洁应用. 举例定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合的真子集可以作为A的“孙集”的概率是. 分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义“真子集的真子集”.元素为个的集合的真子集有个，其真子集的元素最多有个.有个元素的集合的真子集最多有个元素.所以有个元素的集合的“孙集”事实上是原集合中的小于等于 08届高三数学轨迹问题1 1.常见的轨迹:
4、(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某肯定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满意的条件等式;(3)化简方程
5、;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最终补漏和去掉增多的点. 高三数学数列问题的题型与方法1 1能敏捷地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2能娴熟地求一些特别数列的通项和前项的和；3使学生系统驾驭解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，敏捷地运用数列学问和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探究性问题，进一步培育学生阅读理解和创新实力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的实力5在解综合题的实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思想方法的相识，沟通各类学问的联系，形成更完整的学问网络，提高分析问题和解
6、决问题的实力6培育学生擅长分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想探讨数列问题的自觉性、培育学生主动探究的精神和科学理性的思维方法 排列一、排列问题常见类型对于有限制条件的排列问题，要留意总结以下几种类型的问题的思索方法.1.某些元素不能排或必需排在某一位置的问题.（1）先排特别元素或特别位置，然后再排其他元素或位置.（2）先不考虑限制条件，求出全部的排列数，然后减去不符合条件的排列数，即间接法.2.某些元素要求相邻的问题，常用“捆绑”的方法，先看成一个元素.3.某些元素要求不相邻的问题，常用“插空”的方法.二、参考例题例15男5女共10个同学排成一行
7、.（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？（5）男生甲与男生乙中间必需排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？解：（1）将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A种排法.又5名女生内部可有A种排法，所以共有AA=86400种排法.（2）男生自己排，女生也自己排，然而相间插入（此时有2种插法），所以女生与男生相间共有2AA=28800种排法.（3）女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙.任取其中5个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有AA=86400种.（4
8、）干脆分类较困难，可用间接法.即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A-AA=3542400.（5）先支配2个女生排在男生甲、乙之间，有A种方法；又甲、乙之间还有A种排法.这样就有AA种排法.然后把他们4人看成一个元素（相当于一个男生），再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有A种排法.最终再将余下的2个男生、3个女生排在其间，有A种排法.故总排法为AAAA=57600种.例2用0，1，2，9十个数字可组成多少个没有重复数字的（1）五位奇数？（2）大于30000的五位偶数？解：（1）要得到五位奇数，末位应从1、3、5、7、9五个数字中取，
9、有A种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有A种不同的支配方法.因此由分步计数原理共有5A=13440个没有重复数字的五位奇数.（2）要得偶数，末位应从0、2、4、6、8中选取，而要得比30000大的五位偶数，可分两类：末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法.其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法，所以共有2A种不怜悯况.末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中
10、选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3A种不怜悯况.由分类计数原理，共有2A+3A=10752个比30000大的无重复数字的五位偶数.备课资料解排列问题的常用技巧解排列问题，首先必需仔细审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，敏捷运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要留意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似困难的问题迎刃而解.（一）特别元素的“优先支配法”对于特别元素的排列组合问题，一般应先考虑特别元素，再考虑其他元素.例1用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复数字的两位数，其中偶数共有_个.A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数都是偶数，故末尾数字
11、必需是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特别”元素，应优先支配.按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：0排末尾时，有A个；0不排末尾时，有AAA个，由分类加法计数原理，共有偶数30个.答案：B（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应留意既不能多减也不能少减，例如在例1中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列A个，排好后发觉0不能排在首位，而且3、1不能排在末尾，这两种不符合题意的排法要除去，故有30个偶数.（三）合理分类与精确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重
12、不漏.例2五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站其次个位置，那么不同的站法有A.120种B.96种C.78种D.72种分析：由题意，可先支配甲，并按其进行分类探讨：若甲在其次个位置上，则剩下的四人可自由支配，有A种方法；若甲在第三或第四个位置上，则依据分步计数原理，不同站法有AAA种站法.再依据分类计数原理，不同站法共有A+AAA=78种.（四）相邻问题用“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列.答案：C例37人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？分析：先把甲、乙、
13、丙三人“捆绑”起来看作是一个元素，与其余4人共5个元素作全排列，有A种排法，而后对甲、乙、丙三人进行全排列，再利用分步计数原理可得AA种不同排法.答案：AA.（五）不相邻问题用“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.例4在例3中，若要求甲、乙、丙三人不相邻，则又有多少种不同的排法？分析：先让其余4人站好，有A种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有A种方法，这样共有AA种不同的排法.答案：AA.（六）依次固定问题用“除法”对于某几个元素依次肯定的排列问题，可先把这几个元素与
14、其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例5五人排队甲在乙前面的排法有几种？分析：若不考虑限制条件，则有A种排法，而甲、乙之间排法有A种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有种.答案：.（七）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特别要求，可实行统一排成一排的方法来处理.例67人坐两排座位，第一排坐3人，其次排坐4人，则有_种排法.分析：7个人，可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，故不同的坐法有A种.答案：A.（八）试验题中附加条件增多，干脆解决困难时，用试验逐步找寻规律有时也是行之有效的方法.例7将数字
15、1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义.由于附加条件较多，解法较为困难，可用试验法逐步解决.第一方格内可填2或3或4.如填2，则其次方格内可填1或3或4.若其次方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格填3.若其次方格填3，则第三方格应填4，第四方格应填1.同理，若其次方格填4，则第三、四方格应分别填3.因而第一方格填2共有3种方法.同理，第一格填3或4也各有3种，所以共有9种方法，选B.答案：B（九）探究对状况困难、不易发觉其规律的问题须要细致分析，探究出其中规律，
16、再予以解决.例8从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有A.50B.100C.1275D.2500分析：此题数字较多，状况也不一样，须要分析摸索其规律.为便利，两个加数中以较小的数为被加数，因为1+100=101100,1为被加数的有1种；同理，2为被加数的有2种；49为被加数有49种；50为被加数的有50种，但51为被加数只有49种，52为被加数只有48种；，99为被加数的只有1种.故不同的取法共有（1+2+50）+（49+48+1）=2500种.答案：D（十）消序例9有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到
17、高排列，有多少种排法？分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A1=840种.答案：840种.（十一）住店法解决“允许重复排列问题”要留意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理干脆求解的方法称为“住店法”.例10七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有A.75B.57C.AD.C分析：因同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.答案：A对此类问题
18、，常有怀疑：为什么不以五项冠军作为五家“店”呢？因为几个学生不能同时夺得同一冠军，即冠军不能重复，则马上使这种怀疑烟消云散.（十二）对应例11在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场竞赛失败要退出竞赛），最终产生一名冠军，问要实行几场竞赛？分析：要产生一名冠军，需淘汰掉冠军以外的全部其他选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名选手，必需进行一场竞赛；反之，每竞赛一场恰淘汰一名选手，两者之间一一对应，故马上可得竞赛场次99次.答案：99场.（十三）特征分析探讨有约束条件的排数问题，需紧扣题目所供应的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解.例12由1，2，3，4，5，6六个数可组成多少个无重复且是6
19、的倍数的五位数？分析数字特征：6的倍数的数既是2的倍数，又是3的倍数.其中3的倍数又满意“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征.把6个数分成4组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数.因此可分成两类探讨：第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有A，然后其余四个数字在其他数位上全排列有A,所以N1=AA;其次类：由1，2，3，4，5作数码，依上法有N2=AA,故N=N1+N2=120（个）.答案：120个.以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略.这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存、相互为用的.有时解决某一问题时要综合运用几种求解策
20、略.备课资料一、用比例法解排列问题有些排列应用题，可以依据每个元素出现的机会占整个问题的比例，干脆求得问题的解.例1A、B、C、D、E五人站成一排，假如B必需站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有_种.分析：若没有限制条件，则五人的全排列有A=120种不同排法，而A在B右边与B在A右边各占，所以B在A右边的排法共有A=60种.例2七个人并排站成一行，假如甲、乙两人必需不相邻，那么不同排法种数为_.分析：若没有限制条件，则七人的全排列有A种，而甲、乙两人不相邻排法占7人排法随意数的.因此所求排法有A=3600(种).例3由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50
21、000的偶数共有_.分析：全排列为A.由题意知：满意条件的五位数的个位上出现2或4的可能性为.在余下的四个数字中，万位上出现满意条件的数字的可能性为.故满意条件的五位数共有A=36(个).例4由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字，且1与2不相邻的五位数的个数为_.分析：1与2不相邻占这5个数字全排列的，因此所求共有A=72（个）.例5从6个运动员中选出4个参与4100米接力赛，假如甲、乙两人都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？分析：若不受条件限制，其参赛方案有A种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是甲、乙以外的其余4人.因而，这四人在第一棒中出现的可能性为.故所
22、求参赛方案有A=240种.二、“机会均等问题”例析例1用0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的个位数字小于十位数字的五位数有多少个？分析：由这六个数字组成无重复数字的全部五位数有A-A=600个，又因为个位数字小于十位数字的数与个位数字大于十位数字的数一样多，所以个位数字小于十位数字的数有6002=300个，这是一个机会（出现次数）均等问题.例2A、B、C、D、E这五个人排成一排，假如B必需站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法种数为多少？分析一：在全部的排列中，B在A的右边与B在A的左边的排法总数是一样的，5个人排成一排的总数为A种，故B在A右边的不同排法为A2=60种.分析二：
23、（供老师参考）可先排C、D、E，其中连两头共有4个空，再插空，又可分两类，A、B各插一个空，选两个空C，另一类A、B相邻插一个空C.故可有A（C+C）=60种不同排法种数.例3用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序肯定，有多少种不同的七位数？分析一：七个数占七个位置，只须要七个位置中选取4个排1，3，5，7即可，此时，2，4，6自然按规定的次序排在剩下的三个位置上，故有A=840种.分析二：事实上这也是一种机会均等问题，2，4，6次序不定时，有A=6种可能，2，4，6次序肯定时，只有其中一种排法，是全部排法种数的，即,故2，4，6次序肯定的七位数有=840（个）
24、.例4用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若1，3，5，7的次序肯定，有多少种七位数？分析一：七个数占七个位置，只需在七个位置中选3个排2，4，6即可，有A=210种.分析二：1，3，5，7次序不定有A=24种不同排法，故1，3，5，7次序肯定只占七位总数的次机会，故有=210个.规律总结：任取n个不同的元素排成一排，其中m(mn)个元素次序肯定时，不同的排法总数有种不同排法.第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页