空间两条直线的位置关系（二）.doc

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1、高二 年级 数学 教学案（2010年9月 9日）周次2课题空间两条直线的位置关系（二）第课时授课形式新授主编审核教学目标1理解异面直线的概念，了解异面直线的判定2理解异面直线所成角的概念。3能根据异面直线所成角的定义，求出异面直线所成的角。重点难点1异面直线的概念，异面直线所成的角。2异面直线所成角的计算。课堂结构一、自主探究1异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做。 （2）特点：既不，也不。2空间两条直线的位置关系 （1）相交在同一平面内，有且只有 公共点； （2）平行在同一平面内， 公共点； （3）异面不同在 一个平面内， 公共点3异面直线的判定 （1）定义法：由定义判定两

2、直线永远不可能在同一平面内，常用反证法 （2）定理：过一点与一点的直线与平面内不经过该点的直线是 。4两条异面直线所成的角 （1）定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线，相交直线ab所成的(或) 叫做异面直线a、b所成的角。 （2）范围：。 5两异面直线的垂直 如果两条异面直线所成角是，则称这两条异面直线互相。二、重点剖析（一）异面直线的概念 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（1）对异面直线定义的理解： “不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性，“不同在任”也可以理解为

3、“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”；还可以理解为“将经过其中一条直线的平面旋转，旋转任何位置的平面都不可能经过另一条直线。”不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线如右图(1)，在长方体ABCD-A1BlClD1中，A1Dl A1BlClD1，BC 平面ABCD，但A1Dl与BC的位置关系是平行，而不是异面。又如右图(2)：平面平面l，但a、b并不是异面直线？也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线 (2)异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如

4、下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。（二）异面直线的判定1异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 2定理的证明如右图，已知，求证；直线AB和a是异面直线， 判定两条直线为异面直线的常用方法有：(1)定义法：不同在任一平面内的两条直线 (2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线 (3)推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 (4)反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假

5、设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，（三）异面直线所成的角 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，b /b，直线a和b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角如下图所示注意：(1)异面直线所成角的范围是090； (2)为了求异面直线a，b所成的角，可以在空间中任取一点O，过O分别作直线aa，b /b，再通过解三角形，求出a，b所成的角，但是，为了简便，点O常常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线的某些特殊点，例如“端点”或“中点”处； (3)我们规定：两条平行直线

6、所成的角为0角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0，90； 特别地，若两异面直线所成角为90，则称两异面直线互相垂直； (4)求异面直线所成角的一般步骤是： 构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角 证明 证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角， 计算通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求中所构造的角的大小，结论假如所构造的角的大小为，若090，则即为所求异面直线所成角的大小；若90180，则180即为所求。三、例题讲解 例1、异面直线是指_ 空间中两条不相交的直线； 分别位于两个不同平面内的两条直线； 平

7、面内的一条直线与平面外的一条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线 变式训练：一个正方体中共有对异面直线例2、如图，已知平面，直线直线，求证：直线a和b是异面直线变式训练：如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，Aa，Ba，C6，Dc，求证AD与BC为异面直线 例3、在正方体ACl中，E，F分别是A1B1，B1Cl的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小。 变式训练：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BCAD2EF，求直线EF与直线AD所成的角。规律总结：(1)求异面直线所成角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位

8、置，则依赖于特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所有相关条件和解题目标紧密地联系起来，如本例选取了F 构造异面直线所成角的常用方法有： 过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点），作另一条直线的平行线，使异面直线所成角转化为相交直线所成的角（空间问题转化为平面问题）； 当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； 通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线 (2)在解立体几何中的计算题时，要体现“作”“证”“算”三个过程“作”就是作图，作出有关图形要写出作图的过程；“证”是证明，证明所作图形即为所求；“算”是指定量求

9、解，在求异面直线所成角时，也要体现这三步，特别要指出哪一个角为异面直线所成的角四、归纳小结1异面直线的判定定理2异面直线所成角的定义及求法靖江市第二中学 高二 年级 数学 教学案（2010年9月 12日）周次3课题直线与平面的位置关系（一）第课时授课形式新授主编朱靖峰审核教学目标1了解空间中直线与平面的位置关，掌握直线和平面各种位置关系的图形的画法2掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能较灵活地运用它们解决有关问题。重点难点空间直线与平面的位置关系用图形表达直线与平面的位置关系课堂结构一、自主探究1一条直线和一个平面的位置关系： (1)直线在平面内； (2)直线和平面相交； (3)直线和平

10、面平行。2直线与平面平行的判定定理 语言叙述：，那么这条直线和这个平面平行该定理常表述为：“线线平行，则线面平行” 符号语言：若，且/，则。3该定理的作用：，用该定理判断直线a和平面平行时，必须具备三个条件：；，三个条件缺一不可4直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行简称为“”。 (2)符号语言：若_，则lm。 (3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：；，这三个条件是缺一不可的条件二、重点剖析（一）直线与平面的位置关系（1）直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行

11、。（2）直线与平面位置关系的分类注意：（1）这三种位置关系用文字、图形和符号表示如下表： (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号来表示a和这两种情形 (3)直线与平面位置关系的图形画法： 画直线a在平面内时，表示直线的直线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；在画直线a与平面相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； 画直线与平面平行时，

12、最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。（二）直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。注意：（1）定理的理解直线和平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为； 用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： 直线a在平面外，即；直线b在平面内，即；直线a，b平行，即ab，这三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，结论就不一定成立了。（2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要

13、在平面内找出一条直线与已知直线平行即可。 （三）直线与平面平行的性质定理 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 用符号表示为：若a/，则a/b，即“线面平行，则线线平行”。 注意：（1）这个性质定理可以看做直线与直线平行的判定定理，用该定理判定直线。与6平行时，必须具备三个条件：直线a和平面平行，即a/;平面和相交，即=b;直线a在平面内，即以上三个条件缺一不可. (2)定理的作用 线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的判定转化为线面平行的判定，因此，我们要证明（或判定）两条直线平行时，若直线证明难以成功，此时，不妨考虑转化为证

14、明（或判定）线面平行的问题 (3)直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论 (4)线面平行的其他性质： 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面； 若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，则此直线在这个平面内。三、例题讲解 例1、下列命题中正确的命题的个数为。 如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的 任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平画

15、平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。 变式训练：下列说法中正确的是。 直线l平行于平面内无数条直线，则l/； 若直线a在平面外，则a/; 若直线a/b，直线，则a/; 若直线a/b，直线，那么直线a就平行于平面内的无数条直线。例2、如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN/平面AA1B1B。变式训练：已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行。例3、过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1/E

16、E1。变式训练：ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP/GH。四、归纳小结1空间中直线与平面的位置关系2直线与平面平行的判定定理和性质定理 靖江市第二中学 高二 年级 数学 教学案（2010年9月 13 日）周次3课题直线与平面的位置关系（二）第课时授课形式新授主编朱靖峰审核教学目标1理解直线与平面垂直的定义，并能画图表示。2掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。3掌握判定直线和平面垂直的方法，并能进行初步应用。重点难点直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理。利用线面垂直的判定定理和性质定理解题。课堂

17、结构一、自主探究1直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的 ，我们就说直线a与平面互相垂直。2过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，同样， 。3从平面外一点引平面的垂线， ，叫做这个点到这个平面的距离4直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的 ，那么这条直线垂直于这个平面。 (2)符号语言：若 ， ， ， ，则。5直线和平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线 ，那么这两条直线平行，即垂直于同一个平面的两条直线平行。 (2)符号语言：已知直线a，b和平面，若 , ，那么a/b。二、重点剖析（一）直线与平面垂直的概念 直线与平面垂直的定义：如果一条直

18、线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足. 注意：(1)若直线a与平面互相垂直，记作 (2)直线和平面垂直的概念是利用直线和直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直，有了这样的定义就可判定线面垂直，即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线。(3)直线与平面的无数条直线垂直时，直线与平面不一定垂直，因为这无数条直线有可能互相平行。 (4)画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的

19、平行四边形一边垂直，如下图所示，（二）直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。简记为：“线线垂直，则线面垂直。”注意：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。 (2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面； 命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直的特征，因此也就不一定得出这一

20、直线垂直于这个平面这一结论。 (3)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。 (4)其他判定直线和平面垂直的方法：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。（三）直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。注意：直线与平面垂直还有如下性质：(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。(3)若于A，AP，则。三、例题讲解例

21、1、给出以下结论： 若直线a垂直平面内的无穷多条直线，则直线a垂直平面；无论直线a与平面是否垂直，a总垂直平面内的无穷多条直线；若直线a垂直平面内的两条直线，则直线a垂直平面；若直线a垂直平面内的所有直线，则直线a垂直平面其中正确的结论为。（写出序号即可）例2、如右图，已知空间四边形ABCD的边BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。变式训练：如右图，已知P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是AC的垂心，求证：PH平面ABC。例3、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F，（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AGSD。变式训练：如右图，正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：OO1平面ABCD。四、归纳小结1线面垂直的有关概念2线面垂直的判定定理和性质定理3线面垂直，线线垂直的判定方法