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1、 5.3 单摆单摆和复摆和复摆 5.3.1 单摆单摆Ol mgT小球受力矩：小球受力矩：根据转动定律根据转动定律:化简得化简得:为振动角位移为振动角位移振幅为振幅为0单摆的振动是单摆的振动是简谐运动简谐运动.结论：结论：11/21/2022 12:16 PM5.3.1 复摆复摆hOCmgJ刚体受力矩：刚体受力矩：根据转动定律根据转动定律:化简得化简得:复复摆的振动是摆的振动是简谐运动简谐运动.结论：结论：为振动角位移为振动角位移振幅为振幅为011/21/2022 5.4 5.4 简谐运动的能量简谐运动的能量振子势能：振子势能：振子动能：振子动能：系统的系统的总能量总能量：取振子在平衡位置时的势
2、能为零取振子在平衡位置时的势能为零,则：则：11/21/2022讨论：讨论：(1)振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变但任一时刻总机械能保持不变.(2)位移最大位移最大,势能最大势能最大,但动能最小但动能最小,在振动曲线的在振动曲线的峰峰 值值;位移为位移为0,势能为势能为0,但动能最大但动能最大,在振动曲线的在振动曲线的 平衡位置平衡位置.11/21/2022 5.5 简谐运动的合成简谐运动的合成5.5.1 同方向、同频率的两个简谐运动的合成同方向、同频率的两个简谐运动的合成1.分振动分振动:2.合振动合振动:11
3、/21/2022讨讨论论:(1)若若 两两 分分 振振 动动 同同 相相,即即 2 1=2k (k=0,1,2,)(2)若若 两两 分分 振振 动动 反反 相相,即即 2 1=(2k+1)k=0,1,2,)当当 A1=A2 时时,A=0.则则 A=A1+A2,两分振动相互两分振动相互加强加强;则则 A=|A1-A2|,两分振动相互两分振动相互减弱减弱;当当 A1=A2 时时,A=2A1.结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐运动仍是简谐运动.11/21/2022旋转矢量法处理简谐运动的合成旋转矢量法处理简谐运动的合成11/21/2022两个同方向同频率简谐运动的合成演示两个同方向同频率简谐运动
4、的合成演示11/21/2022例例:两个同方向的简谐运动曲线两个同方向的简谐运动曲线(如图所示如图所示)(1)合振动的振幅合振动的振幅;(2)合振动的振动方程合振动的振动方程.求求:xTt解解:(1)t=0时，时，故故:互为反相互为反相 合振幅最小合振幅最小(2)t=0时的旋转矢量图：时的旋转矢量图：x11/21/2022例例:两个同方向同频率的简谐运动两个同方向同频率的简谐运动,其合振动的振幅为其合振动的振幅为20cm,与第一个振动的相位差为与第一个振动的相位差为 ,若第一若第一个振动的振幅为个振动的振幅为 .(1)第二个振动的振幅为多少？第二个振动的振幅为多少？(2)两简谐运动的相位差为多
5、少？两简谐运动的相位差为多少？求求:解解:(1)依题意依题意根据余弦定理根据余弦定理:(2)根据正弦定理根据正弦定理:11/21/20225.5.2 同方向、不同频率两个简谐运动的合成同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍拍1.分振动分振动:2.合振动合振动:当当 时时,当当 时，时，合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为:A 有最大值有最大值A有最小值有最小值结论：结论：合振动合振动 x 不再是简谐运动不再是简谐运动.11/21/2022当当 2 1 时时,2-1 2+1,令令其其中中 随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变振幅相同不同频率的简谐运动的合成振幅相同不同频率的简谐运动的合成 2.合
6、振动合振动:1.分振动分振动:合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐运动可看作是振幅缓变的简谐运动.结论：结论：11/21/2022xx2x1ttt拍频拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即，即 3.拍的现象拍的现象 OOO11/21/202211/21/2022*5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成1.相互垂直的同频率简谐运动的合成相互垂直的同频率简谐运动的合成1)分振动分振动:2)合运动合运动:讨论讨论 当当 =2-1=k (k为整数为整数)时时:当当 =(2k+1)/2(k为整数为整数)时：时：11/21/2022 =0(
7、第一象限第一象限)=/2 =3/2(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第第四四象象限限）11/21/2022两个两个相互垂直的同频率简谐运动的合成相互垂直的同频率简谐运动的合成演示演示11/21/20222.相互垂直的不同频率简谐运动的合成相互垂直的不同频率简谐运动的合成 两个互相垂直、两个互相垂直、不同频率的简谐运不同频率的简谐运动的合成时，如果动的合成时，如果它们的它们的频率之比为频率之比为整数整数时，会产生的时，会产生的稳定的封闭曲线，稳定的封闭曲线，其形状与频率比和其形状与频率比和相位差有关，这种相位差有关，这种图形叫做图形叫做李萨如图李萨如图.两个两个相互垂直的不同频率简谐运动
8、的合成相互垂直的不同频率简谐运动的合成演示演示11/21/2022 5.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振5.6.1 阻尼振动阻尼振动Oxx为阻尼系数为阻尼系数由牛顿第二定律由牛顿第二定律:称为称为阻尼因子阻尼因子动力学方程：动力学方程：微分方程的特征方程为：微分方程的特征方程为：11/21/20221.小阻尼情况小阻尼情况:阻力很小阻力很小方程解：方程解：周期周期:(2)阻尼越大，减幅越迅速阻尼越大，减幅越迅速;(1)阻尼较小时，振动为减幅阻尼较小时，振动为减幅 振动，振幅随时间按指数振动，振幅随时间按指数 规律规律 迅速减少迅速减少;结论：结论：(3)振动周期大于自由振动周期
9、振动周期大于自由振动周期.11/21/20222.过阻尼情况：阻力很大过阻尼情况：阻力很大 阻尼较大时，振阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往到平衡位置，不作往复运动复运动.结论：结论：11/21/2022 此时为此时为“临界阻尼临界阻尼”的情况，是质点不作的情况，是质点不作往复运动的一个极限往复运动的一个极限.3.临界阻尼情况临界阻尼情况:结论：结论：11/21/20225.6.2 受迫振动受迫振动 共振共振1.受迫振动受迫振动系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动.(1)策动力策动力:周期性的外力周期性的外力.(2)
10、振动规律振动规律:物体受力：物体受力：恢复力恢复力+阻力阻力+策动力策动力Oxx由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：令：令：11/21/2022 在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为加上一个特解，为:其中其中:第一项为第一项为暂态项暂态项，经过一段，经过一段时间以后趋向于零，时间以后趋向于零，为积分常数，为积分常数，由初始条件确定；由初始条件确定；第二项为第二项为稳定项稳定项，即即:代入原方程求得代入原方程求得:11/21/2022(1)受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成;(2)经一段相当的时间后，阻经一
11、段相当的时间后，阻尼振动为零尼振动为零;(3)其其周期为周期为策动策动力的周期力的周期，振幅、初相位不仅与初，振幅、初相位不仅与初 条件有关，而且与条件有关，而且与策动策动力力的频率和力幅有关的频率和力幅有关.结论：结论：11/21/20222.共振：共振：当策动力的频率接近于当策动力的频率接近于固有频率固有频率时，受迫振动的时，受迫振动的振幅达到最大值的现象振幅达到最大值的现象.共振共振频率：频率：共振共振振幅：振幅：共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼 阻尼系数阻尼系数 越小，共越小，共振角频率振角频率越接近于系统的越接近于系统的固有频率，同时共振振幅固有频率，同时共振振幅也越
12、大也越大.结论：结论：11/21/202211/21/2022情景再现情景再现1940年年7月月1日日，桥桥龄龄仅仅4个个月月的的美美国国Tocama大大桥桥在在一一场场不不算算太太强强的的大大风风中中坍坍塌塌。风风产产生生的的周周期期性性效效果果导导致致大大桥桥共共振振，大大桥桥在在风风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下 11/21/2022 第五章第五章 机械振动机械振动 小结小结5.1 简谐运动简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法简谐运动的旋转矢量表示法 5.3 单摆单摆和复摆和复摆5.4 振动的能量振动的能量5.5 简谐运动的合成简谐运动的合成5
13、.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振内容提要内容提要11/21/20221.振动表达式振动表达式 2.简谐运动的速度与加速度简谐运动的速度与加速度3.简谐运动方程中的三个简谐运动方程中的三个基本物理量基本物理量振幅：振幅：初相位：初相位：4.振幅和初相位的求法振幅和初相位的求法11/21/20225.旋转矢量表示法旋转矢量表示法模模为简谐运动的为简谐运动的振幅振幅.旋旋转转矢矢量量角速度角速度 为简谐运动的为简谐运动的角频率角频率.与与x轴轴的夹角的夹角(t+)为简谐运动的为简谐运动的相位相位.t=0时，与时，与x轴轴的夹角的夹角 为为初相位初相位.6.单摆单摆7.复摆复摆7.简谐运动的能量简谐运动的能量11/21/20228.同方向、同频率的两个简谐运动的合成同方向、同频率的两个简谐运动的合成9.同方向、不同频率两个简谐运动的合成同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍拍拍频拍频:(1)若若 两两 分分 振振 动动 同同 相相,即即 2 1=2k (k=0,1,2,)(2)若若 两两 分分 振振 动动 反反 相相,即即 2 1=(2k+1)k=0,1,2,)则则 A=A1+A2,两分振动相互两分振动相互加强加强;则则 A=|A1-A2|,两分振动相互两分振动相互减弱减弱;11/21/2022