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1、YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算复习曲顶柱体的体积 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下：分割：分割：将矩形将矩形 任意分为任意分为 n 块可求面积的小块块可求面积的小块其面积仍记为其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割。相应地将曲顶柱体分割成成 n 个
2、小曲顶柱体，分别记为个小曲顶柱体，分别记为 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点在每一小块上任意取一点 则小曲则小曲顶柱体的体积顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即可用直柱体的体积近似代替，即YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 求和：求和：把把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值柱体体积的近似值取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二
3、重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：取极限：取极限：记记 在和式中令在和式中令YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面与平面 之间，用与之间，用与 轴垂直的平面截立轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为，则此
4、立体的体积为化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算作与作与 轴垂直的平轴垂直的平面，设截得曲顶柱面，设截得曲顶柱体截面的面积为体截面的面积为立体位于平面立体位于平面与平面与平面 之间，之间，则曲顶柱体体积为则曲顶柱体体积为YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算而而 就是平面就是平面 上，上，由曲线由曲线 与直线与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以所围成的曲边梯形的面积，所以从而从而因此因此类似地，也可以用与类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得可得Yunna
5、nUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算从上面的分析，可以得到下列结果从上面的分析，可以得到下列结果：定理定理1 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算设设 在矩形在矩形 上连续，则上连续，则我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理定理2 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变
6、量积分 存在，则存在，则类似地可以给出先对类似地可以给出先对 后对后对 积分的结果：积分的结果：YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。一般区域上二重积分的计算。第一种情形：第一种情形：积分区域积分区域 D 由两条曲线由两条曲线及两条直线及两条直线围成，即围成，即这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。轴
7、的直线段。根据积分区域的特点，根据积分区域的特点，分三种情况讨论。分三种情况讨论。YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算作包含此积分区域的矩形作包含此积分区域的矩形令令于是于是这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直轴垂直的直线与区域的边界至多有两个的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于交点，或者有部分边界是平行于 x 轴
8、的直线段。轴的直线段。YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第三种情形：一般情形，这时可用平行于第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.
9、若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解原式原式YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUni
10、versity1.二重积分的计算二重积分的计算解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 解解 设这两个直交圆柱面的方程为：设这两个直交圆柱面的方程为：由图形的对称性由图形的对称性 YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图YunnanUniversit
11、y1.二重积分的计算二重积分的计算区域特征如图区域特征如图YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解Y
12、unnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算三、三、二重积分的一般变量替换二重积分的一般变量替换YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversit
13、y1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1414解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1515解解YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1616YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解:YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算小结小结基本要求基本要求:变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易