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1、YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算i),(ii(,)iiiiVf yxzOabcd),(yxfz 取极限求和近似代替分割分割近似代替 求和取极限01lim(,)niiidiVf YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分
2、的计算YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 , a b证证明明： 在在插插入入分分点点012naxxxxb , c d在在插插入入分分点点012ncyyyyd 11,;,1,2, ;1,2,ikiikkx xyyir ks记记 1,.iiiikikx xfx yMm 在在区区间间中中任任取取一一点点又又记记的的上上、下下确确界界为为和和于于是是 1,kkyikykiikykymfy dyM YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算k对对所所有有的的 相相加加，得得 ,dikkiikkckkmyfy dyMy ixi 再再乘乘，对对所所有有
3、 相相加加： ,ikikiiikiki kii kmxyFxMxy max0,ikddfx yF xa b记记的的直直径径 ，当当时时，注注意意到到的的可可积积性性，利利用用上上述述不不等等式式，立立即即得得出出在在可可积积，且且 , ; , ( , )baa b c dF x dxf x y dxdy YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算设设 在矩形在矩形 上连续，则上连续，则 , ; , ( , )( , )( , )dbbdcaaca b c df x y dxdydyf x y dxdxf x y dy , ; , a b c d( , )f x y我们经
4、常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果： , ; , ( , )( , )dbcaa b c df x y dxdydyf x y dx 定理定理2 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则 , ; , a b c d( , )f x y , ya b ( )( ,)baF yf x y dx 类似地可以给出先对类似地可以给出先对 后对后对 积分的结果：积分的结果：yxYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑前面讨论了矩形区域上的二
5、重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。一般区域上二重积分的计算。第一种情形：第一种情形：积分区域积分区域 D 由两条曲线由两条曲线及两条直线及两条直线围成，即围成，即12( ),( )yy xyyx ,xaxb 这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。轴的直线段。xyx)(2xyy )(1xyy ab根据积分区域的特点，根据积分区域的特点，分三种情况讨论。分三种情况讨论。12( , )|( )( ),Dx yy xyyxaxbYunnan
6、University1. 二重积分的计算二重积分的计算作包含此积分区域的矩形作包含此积分区域的矩形 , ; , a b c d令令( , ),( , )( , )0,( , )f x yx yDF x yx yD 于是于是21 , ; , ( )( )( , )( , )( , )( , )Da b c dbdbyxacayxf x y dxdyF x y dxdydxF x y dydxf x y dy yx)(2xyy )(1xyy abcdx这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。yxYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计
7、算12( , )|( )( ),Dx yxyxxycyd 21( )( )( , )( , )dxycxyDf x y dxdydyf x y dx 这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。yx)(1yxx )(2yxx ydcxo这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直轴垂直的直线与区域的边界至多有两个的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。轴的直线段。y 12,Dxxyxxyyc yd 第第二二种种情情形形：积积分分区区域域由由曲曲线线和和直直线线所所围围成成YunnanUnive
8、rsity1. 二重积分的计算二重积分的计算第三种情形：一般情形，这时可用平行于第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。yx1D2D3D4DYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区
9、域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算xy 1解解积分区域如图积分区域如图YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算xy 222xxy 解解积分区域如图积分区域如图YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算axy2 解解原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2aYunnanUniversity1. 二重
10、积分的计算二重积分的计算解解),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()Dxy dxdy 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解22yDx edxdy yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解曲面围成的
11、立体如图曲面围成的立体如图.zyxoYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算, 10 yx,xyyx 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 解解 设这两个直交圆柱面的方程为：设这两个直交圆柱面的方程为： 由图形的对称性由图形的对称性 8.V例例求求两两个个底底面面半半径径相相同同的的直直交交圆圆柱柱所所围围立立体体的的体体积积228DVax dxdy 2222008aaxdxax dy 2208aaxdy 3163a YunnanUniversity1. 二重积分的
12、计算二重积分的计算二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rYunnanUniversity1. 二重积分的计算
13、二重积分的计算区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐
14、标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算1 yx122 yx解解cossinxryr (,)Dfx y dxdy .)sin,cos(201cossin1 rdrrrfdYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解22xyDedxdy arrdred0202).1(2ae YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解23 16 4 sinr 2sinr 22()Dxydx
15、dy 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xyYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解 Ddxdyyxyx2222)sin( 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1DYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解222222()2()xyaxy ,2cos2 ar 222,xyara 1DYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 aYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计
16、算三、三、 二重积分的一般变量替换二重积分的一般变量替换 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 ,.,., 0,uu x yvv x yxoyDxyx yDuovu
17、 vDuu x yvv x yDDDD u vJD x y设设函函数数在在平平面面的的某某区区域域 内内具具有有对对 和和 的的连连续续偏偏导导数数，当当在在上上变变动动时时 对对应应于于平平面面上上的的点点在在区区域域上上变变动动 又又设设建建立立了了 和和之之间间的的一一一一对对应应 并并且且在在 上上 ,.uu x yvv x y引引理理设设如如同同上上面面所所说说YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 *,., lim.,Ax yxoyx yx yDuu x yvv x yx yuovu vuovu vx yJD u vAAD x y 又又设设在在平平面面上
18、上有有一一块块包包含含点点的的区区域域 ，点点和和区区域域 都都在在 内内. .通通过过变变换换将将点点变变换换为为平平面面上上的的一一点点并并且且将将区区域域变变换换为为平平面面包包含含点点的的区区域域那那么么当当区区域域 无无限限地地向向点点收收缩缩时时，它它们们的的面面积积之之比比的的极极限限正正是是即即YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算( , ):( , ),( , )(1)( , ), ( , )( , )(2)( , )0;( , )(3):( , ) ( , ), ( , )( , ).DDf x yxoyDTxx u vyy u vuovDxoy
19、Dx u vy u vDD x yDJ u vD u vTDDf x y dxdyf x u vy u vJ u v dudv 定定理理2 2设设在在平平面面上上的的闭闭区区域域上上连连续续，变变换换将将平平面面上上的的闭闭区区域域变变为为平平面面上上的的，且且满满足足在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数；在在上上雅雅可可比比式式变变换换是是一一对对一一的的，则则有有YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算证证明明 因因 ,1,D u vD x yD x yD u v所所以以 ,0,D x yD u v ， ,D x yD u v又又因因是是闭闭区区域域上上连
20、连续续函函数数，所所以以有有界界. . ,Dfx y dxdy 由由于于存存在在,ikD 把把 分分成成小小矩矩形形YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 d积积分分等等于于下下面面的的极极限限 令令 为为这这些些小小矩矩形形的的最最大大直直径径 ： 0lim,kkkdkfxy .kkDDD 对对应应于于 上上的的一一个个分分法法，上上有有相相应应的的分分法法. .相相应应地地将将分分成成小小区区域域，不不一一定定是是小小矩矩形形由由引引理理 ,kkkD u voD x y ,kkkD x yoD u v 即即YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重
21、积分的计算 ,kkkkkkkkkD x yfxyfxyofxyD u v ,00.kuu x yvv x yDd 另另一一方方面面，由由于于函函数数在在 上上一一致致连连续续，所所以以当当时时，对对应应小小区区域域的的最最大大直直径径上上式式左左边边和和式式趋趋向向于于二二重重积积分分 ,Dfx y dxdy 而而右右边边的的第第二二项项可可以以证证明明趋趋于于零零. .这这样样，右右边边的的第第一一项项将将趋趋于于上上述述二二重重积积分分YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 ,D x yfx u vy u vDD u v另另外外，因因在在上上可可积积， , ,.
22、DD x yfx u vy u vdudvD u v 故故右右端端第第一一项项又又以以为为极极限限,D注注：变变换换的的行行列列式式在在区区域域内内的的个个别别点点上上等等于于零零或或只只在在一一条条线线上上等等于于零零而而在在其其他他点点上上非非零零，以以上上结结论论仍仍然然成成立立。YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算例例1414解解所所围围成成的的闭闭区区域域线线轴轴和和直直轴轴、由由其其中中计计算算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxv
23、uyvux即即YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算( , )( , )D x yJD u v ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 eeYunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算例例1515解解所所围围成成的的闭闭区区域域椭椭圆圆为为其其中中计计算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其其中中 ,sin,cosbryarx作作广广义义极极坐坐标标变变换换,20,10),( rrDD在这变换下在这变换下Yu
24、nnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算( , ).( , )D x yJabrD r 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 例例1616YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算, vyvux解解:oxy1 yxDouvvu D YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算2()xyDyedxdyxy ( , ) |Df u vJdudv 2100uuvduedvu 2102uuedu ).1(41 e1u 0 x 0uv 0y 0v YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算小结小结的的形形式式同同时时也也兼兼顾顾被被积积函函数数的的形形状状，于于积积分分区区域域作作什什么么变变换换主主要要取取决决),(1yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易( , )12.( , )( , )( , )D x yJD u vD u vD x y