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1、,椭圆及其标准方程,1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象。,天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？,原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆， 通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长。,想一想,圆是怎样定义的?,圆是到定点距离等于定长的点的轨迹。定点叫圆的圆心，定长叫圆的半径。,这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两个焦点的距离叫做焦距。（一般用2c表示）,我
2、们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。,1.椭圆的定义,注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：,（1）两个定点-两点间距离确定; （2）等于常数-轨迹上任意点到两定点距离和确定.,同时要抓住图形的什么特征可以使得到的方程形式更简洁呢？,圆的标准方程是怎样推导的？,想一想：,4、化简,我们如何类比圆的方程来推导椭圆的方程呢？,1、建立直角坐标系，设圆上任意一点坐标M(x,y)；,2、 点M满足的条件,3、列出方程：,2.根据定义求椭圆的标准方程,又设M与F1,F2距离 之和等于2a (2a2c)（a是常数） 则,1)建立适当的直角坐标系,以过焦点的直线为X轴
3、，线段的垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。,设M（x,y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c.则,F1(-c,0) ， F2(c,0).,化简得定义,令代入，得 ，,两边同时除以a2b2定得义,即为椭圆的标准方程 。,以过焦点的直线为X轴，以F1所在的直线为Y轴，建立直角坐标系。,所得椭圆的方程为:,注意：若坐标系的选取不同，可得到不同的椭圆的方程。如,焦点在x轴上（如右图）的椭圆的标准方程是：,想一想,如果焦点在y 轴上（如右图），此时椭圆的方程是什么？,上式也是椭圆的标准方程。,1、焦点在x轴上：,2、焦点在y 轴上：,椭圆的标准方程,在 与 这两个标准方程中，都有的 要求。,一定指的是
4、焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；,例1. 判断下列各式是否为椭圆的方程。如果是的话，说出a、b、c的值及其焦点所在的坐标轴。,是,焦点在X轴上。,不是,是,焦点在Y轴上,不是,两边同时除以36,得,是,焦点在Y轴上。,x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,那么，在椭圆的标准方程中，如何判断焦点在X轴上，还是在Y轴上？,例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.,1、a=3,b=1 焦点在x轴上,2、a=3,b=1 焦点在y 轴上,3、a=3,b=1,例3.已知椭圆的两个焦点分别是（2，0），（2，0），并且经过点 ，求它的标准方程。,解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 。,又因为c=2,所以,所以，所求椭圆的标准方程为,由椭圆的定义知,定义法,1、本节课你学习了哪些知识？,2、你掌握了什么？有哪些收获？,思考,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,椭圆的标准方程的再认识：,第46页 A（2）,作 业,另解：设椭圆的标准方程为：,由题意知,解得：,因此，所求椭圆的标准方程为,待定系数法,感谢参与，敬请指导再见！,