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1、中考二次函数综合题复习中考二次函数综合题复习(含答含答案案)中考二次函数综合题复习（含答案）中考二次函数综合题复习（含答案）一、二次函数与面积一、二次函数与面积面积的求法：面积的求法：公式法：公式法：S=1/2*S=1/2*底底*高高分割法分割法/拼凑拼凑法法1 1、如何表示各图中阴影部分的面积？、如何表示各图中阴影部分的面积？y yy yy yA AO OE EB BP Px xA AO OD D图图M My yE EB Bx xO OA AB B图图x x图图C C一一y yD DO OC Cy yC CD DO OE EB B图图图图图六图六四四2 2、抛物线抛物线y x 2x 3与与x
2、轴交与轴交与 A A、B B（点（点 A A 在在 B B 右侧）右侧），与与y轴交与点轴交与点 C C，D D 为抛物线的顶点，连接为抛物线的顶点，连接BDBD，CDCD，（1 1）求四边形）求四边形 BOCDBOCD 的面积的面积.（2 2）求）求BCDBCD 的面积的面积.5 5、抛物线、抛物线y x 2x 3与与x轴交与轴交与A A、B B（点（点A A在在B B右侧）右侧），22x xN NO OA Ax xx x与与y轴交与点轴交与点C C，若点若点E E为第二象限抛物线上一动点，为第二象限抛物线上一动点，点点E E运动到什么位置时，运动到什么位置时，EBCEBC的面积最大的面积最
3、大,并求出并求出此时点此时点E E的坐标和的坐标和EBCEBC的最大面积的最大面积【模拟题训练】【模拟题训练】1 1（20152015三亚三模）如图，直线三亚三模）如图，直线 y=y=x+2x+2 与与 x x 轴交轴交于点于点 B B，与，与 y y 轴交于点轴交于点 C C，已知二次函数的图象经过，已知二次函数的图象经过点点 B B、C C 和点和点 A A（1 1，0 0）（1 1）求）求 B B、C C 两点坐标；两点坐标；（2 2）求该二次函数的关系式；）求该二次函数的关系式；（3 3）若抛物线的对称轴与）若抛物线的对称轴与x x 轴的交点为点轴的交点为点 D D，则在抛，则在抛物线
4、的对称轴上是否存在点物线的对称轴上是否存在点 P P，使，使 PCDPCD 是以是以 CDCD 为为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P P 点的坐标；点的坐标；如果不存在，请说明理由；如果不存在，请说明理由；（4 4）点点 E E 是线段是线段 BCBC 上的一个动点，上的一个动点，过点过点 E E 作作 x x 轴的轴的垂线与抛物线相交于点垂线与抛物线相交于点 F F，当点当点 E E 运动到什么位置时，运动到什么位置时，四边形四边形 CDBFCDBF的面积最大？求出四边形的面积最大？求出四边形 CDBFCDBF 的最大的最大面积及此时面积及此时 E E
5、 点的坐标点的坐标二、二次函数与相似二、二次函数与相似【相似知识梳理】【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图图1-11-1的的几几种种基基本本型型。若是非直角三角形有如
6、图若是非直角三角形有如图 1-21-2 的几种基本型。的几种基本型。利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。常用的方法。【例题点拨】【例题点拨】【例【例 1 1】如图如图 1-31-3，二次函数二次函数y ax bx2的图像与的图像与x轴相交轴相交于点于点 A A、B B，与与y轴相交于点轴相交于点 C C，经过点经过点 A A 的直线的直线y kx 2与与y轴相交于点轴相交于点 D D，与直线与直线BCBC垂直于点垂直于点E E，已知已知AB=3AB=3，求这个二次函数的解析式。求这个二次函数的解析式。2yCEOABxD图1-3
7、【例【例 2 2】如图】如图 1-41-4，直角坐标平面内，二次函数图象的，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为顶点坐标为 C C4,3，且在，且在x轴上截得的线段轴上截得的线段 ABAB 的长为的长为6.6.（1 1）求二次函数解析式；）求二次函数解析式；（2 2）在）在x轴上方的抛物线上，是否存在点轴上方的抛物线上，是否存在点 D D，使得以，使得以A A、B B、D D 三点为顶点的三角形与三点为顶点的三角形与ABCABC 相似？若存在，相似？若存在，求出点求出点 D D 的坐标，若不存在，请说明理由。的坐标，若不存在，请说明理由。D1YD2HEOACBX【例【例 3 3】如图】如图
8、 1-61-6，在平面直角坐标系中，二次函数，在平面直角坐标系中，二次函数1，C C（0,20,2）。y x bxc-的图像经过点的图像经过点 A A（4,04,0）42（1 1）试求这个二次函数的解析式，并判断点）试求这个二次函数的解析式，并判断点B B（-2,0-2,0）是否在该函数的图像上；是否在该函数的图像上；（2 2）设所求函数图像的对称轴与）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点轴交于点 D D，点，点 E E在对称轴上，若以点在对称轴上，若以点 C C、D D、E E 为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC 相似，试求点相似，试求点 E E 的坐标。的坐标。yCO1Ax图1-6
9、【模拟题训练】【模拟题训练】2 2（20152015崇明县一模）如图，已知抛物线崇明县一模）如图，已知抛物线y=y=x x2 2+bx+c+bx+c经过直线经过直线 y=y=+1+1 与坐标轴的两个交点与坐标轴的两个交点 A A、B B，点，点 C C为抛物线上的一点，且为抛物线上的一点，且 ABC=90ABC=90（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）求点）求点 C C 坐标；坐标；（3 3）直线）直线 y=y=x+1x+1 上是否存在点上是否存在点 P P，使得，使得 BCPBCP 与与 OABOAB 相似？若存在，请直接写出相似？若存在，请直接写出 P P 点的坐标；
10、若不点的坐标；若不存在，请说明理由存在，请说明理由三、二次函数与垂直三、二次函数与垂直【方法总结】【方法总结】应用勾股定理证明或利用垂直应用勾股定理证明或利用垂直三垂直模型三垂直模型【例【例 1 1】：如图，如图，直线直线 l l 过等腰直角三角形过等腰直角三角形 ABCABC 顶点顶点 B B，A A、C C 两点到直线两点到直线 l l 的距离分别是的距离分别是 2 2 和和 3 3，则，则 ABAB 的长的长是（是（）【例【例 2 2】：在平面直角坐标系中，抛物线：在平面直角坐标系中，抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与 x x 轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为 A
11、 A（-3-3，0 0）、B B（1 1，0 0），过，过顶点顶点 C C 作作 CHCHx x 轴于点轴于点 H.H.（1 1）直接填写：）直接填写：a=a=，b=b=，顶点，顶点C C的坐标为的坐标为；（2 2）在）在 y y 轴上是否存在点轴上是否存在点 D D，使得，使得ACDACD 是以是以 ACAC为斜边的直角三角形？若存在，求出点为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D D 的坐标；若的坐标；若不存在，说明理由；不存在，说明理由；【例【例 3 3】、如图，如图，已知抛物线已知抛物线 y=x2+bx-3ay=x2+bx-3a 过点过点 A A（1,01,0），B(0,-3),B(0,
12、-3),与与 x x 轴交于另一点轴交于另一点 C.C.（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若在第三象限的抛物线上存在）若在第三象限的抛物线上存在y y点点 P P，使，使PBCPBC 为以点为以点 B B 为直角顶为直角顶点的直角三角形，求点点的直角三角形，求点 P P 的坐标；的坐标；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，在抛物线）的条件下，在抛物线C CA Ax xO O上是否存在一点上是否存在一点 Q Q，使以，使以 P,Q,B,CP,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存为顶点的四边形为直角梯形？若存B B在，在，请求出点请求出点 Q Q 的坐标；的坐标；若不
13、存在，若不存在，(第第2626题图题图)请说明理由请说明理由.【模拟题训练】【模拟题训练】3 3（20152015普陀区一模）如图，在平面直角坐标系普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，点中，点 A A（mm，0 0）和点）和点 B B（0 0，2m2m）（mm0 0），点，点 C C 在在x x 轴上（不与点轴上（不与点 A A 重合）重合）（1 1）当）当 BOCBOC 与与 AOBAOB 相似时，请直接写出点相似时，请直接写出点 C C 的的坐标（用坐标（用 mm 表示）表示）（2 2）当当 BOCBOC与与 AOBAOB 全等时，全等时，二次函数二次函数 y=y=x x2
14、2+bx+c+bx+c的图象经过的图象经过 A A、B B、C C 三点，求三点，求 mm 的值，并求点的值，并求点 C C 的的坐标坐标（3 3）P P 是是（2 2）的二次函数图象上的一点，的二次函数图象上的一点，APC=90APC=90，求点求点 P P 的坐标及的坐标及 ACPACP 的度数的度数4 4如图，已知抛物线如图，已知抛物线 y=xy=x2 21 1 的顶点坐标为的顶点坐标为 MM，与，与 x x轴交于轴交于 A A、B B 两点两点（1 1）判断）判断 MABMAB 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）过原点的任意直线（不与）过原点的任意直线（不与y y 轴重
15、合）交抛物线于轴重合）交抛物线于C C、D D 两点，连接两点，连接 MCMC、MDMD，试判断，试判断 MCMC、MDMD 是否是否垂直，并说明理由垂直，并说明理由四、二次函数与线段四、二次函数与线段题目类型：题目类型：求解线段长度（定值，最值）求解线段长度（定值，最值）：充分利用勾股定理、：充分利用勾股定理、全等、全等、相似、相似、特殊角特殊角（3030，4545，6060，9090，120120等）等）、特殊三角形（等腰、等腰直角、等边）、特殊三角形（等腰、等腰直角、等边）、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）、对称、对称、函数（一次函数、反比
16、例函数、二次函数等）等知识。函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。判断线段长度关系：判断线段长度关系：a=b,a=b,a a=2b,a+b=c,a+b=2b,a+b=c,a+b=2 22 22 22c,a2c,a+b+b=c=c,a*b=ca*b=c2 2【模拟题训练】【模拟题训练】5 5（20152015山西模拟）山西模拟）如图如图 1 1，P P（mm，n n）是抛物线是抛物线 y=y=x x2 21 1 上任意一点，上任意一点，l l 是过点（是过点（0 0，2 2）且与）且与 x x 轴平行的轴平行的直线，过点直线，过点 P P 作直线作直线 PHPH l l，垂足为，垂足为
17、 H H【特例探究】【特例探究】（1 1）填空，当）填空，当 m=0m=0 时，时，OP=OP=_，PH=PH=_；当；当 m=4m=4 时，时，OP=OP=_，PH=PH=_【猜想验证】【猜想验证】（2 2）对任意）对任意 mm，n n，猜想，猜想 OPOP 与与 PHPH 大小关系，并证大小关系，并证明你的猜想明你的猜想【拓展应用】【拓展应用】（3 3）如图）如图2 2，如果图，如果图1 1 中的抛物线中的抛物线 y=y=x x2 21 1 变成变成 y=xy=x2 24x+34x+3，直线直线 l l 变成变成 y=my=m（mm1 1）已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 24x+34
18、x+3 的顶点为的顶点为 MM，交，交x x 轴于轴于 A A、B B 两点，且两点，且B B 点坐点坐标为（标为（3 3，0 0），N N 是对称轴上的一点，直线是对称轴上的一点，直线 y=my=m（mm1 1）与对称轴于点）与对称轴于点 C C，若对于抛物线上每一点都有：，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线该点到直线 y=my=m 的距离等于该点到点的距离等于该点到点 N N 的距离的距离用含用含 mm 的代数式表示的代数式表示 MCMC、MNMN 及及 GNGN 的长，并写的长，并写出相应的解答过程；出相应的解答过程；求求 mm 的值及点的值及点 N N 的坐标的坐标五、二次函数与角度
19、五、二次函数与角度结题方法总结结题方法总结角度相等的利用和证明：直接计算角度相等的利用和证明：直接计算平行线平行线三角形三角形全等、相似三角形全等、相似三角形角平分线角平分线性质性质倒角（倒角（1=1=3 3，2=2=3 31=1=2 2）【构造三垂直模型法】例【构造三垂直模型法】例 1 1：如图，在平面直角坐标：如图，在平面直角坐标系系xOyxOy中，中，点点P P为抛物线为抛物线上一动点，上一动点，点点A A 的坐标为（的坐标为（4 4，2 2），若，若AOP=45AOP=45，则则点点 P P 的坐标为的坐标为()【直接计算】例【直接计算】例 2.2.如图，抛物线如图，抛物线与与 x x
20、 轴轴交于交于 A A，B B 两点，与两点，与 y y 轴交于点轴交于点 C C，点，点 D D 是抛物线的是抛物线的对称轴对称轴 与与 x x 轴的交点，点轴的交点，点 P P 是抛物线上一点，且是抛物线上一点，且DCP=30DCP=30，则符合题意的点，则符合题意的点 P P 的坐标为的坐标为()2【与几何图形结合】【与几何图形结合】例例 4 4、二次函数二次函数y x2x 3的图象与的图象与x x 轴交于轴交于 A A、B B 两点（点两点（点A A 在点在点 B B 的左侧）的左侧），与，与y y 轴交轴交于于 C C 点，在二次函数的图象上是否存在点点，在二次函数的图象上是否存在点
21、 P P，使得，使得PACPAC为锐角？若存在，请你求出为锐角？若存在，请你求出P P 点的横坐标取值范点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。围；若不存在，请你说明理由。【利用相似】例【利用相似】例 3 3、已知抛物、已知抛物线线y ax bxc的图象与的图象与x轴交于轴交于A、B两点两点（点（点A在点在点B的左边）的左边），与与y轴交于点轴交于点 C C（0 0，3 3），过点过点C作作x轴的平行线与抛物线交于轴的平行线与抛物线交于点点D，抛物线的顶点为抛物线的顶点为M，直线直线y x 5经过经过D、M两点两点.（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）连接）连接A
22、M、AC、BC，试比较，试比较MAB和和ACB的大小，并的大小，并说明你的理由说明你的理由.2【模拟题训练】【模拟题训练】6 6（20152015松江区一模）已知在平面直角坐标系松江区一模）已知在平面直角坐标系 xOyxOy中，二次函数中，二次函数 y=axy=ax2 2+bx+bx 的图象经过点（的图象经过点（1 1，3 3）和点）和点（1 1，5 5）；（1 1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2 2）将这个二次函数的图象向上平移，将这个二次函数的图象向上平移，交交 y y 轴于点轴于点 C C，其纵坐标为其纵坐标为 mm，请用请用 mm 的代数式表示平移后函数图象的代
23、数式表示平移后函数图象顶点顶点 MM 的坐标；的坐标；（3 3）在第在第（2 2）小题的条件下，小题的条件下，如果点如果点 P P 的坐标为的坐标为（2 2，3 3），CMCM 平分平分 PCOPCO，求，求 mm 的值的值六、二次函数与平行四边形六、二次函数与平行四边形解题方法总结：平行线的性质（同位角，内错角，解题方法总结：平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角）同旁内角）比较一次函数比较一次函数 k k 值值平行四边形的平行四边形的性质性质注意多解性注意多解性【模拟题训练】【模拟题训练】7 7如图，抛物线如图，抛物线 y=xy=x2 2+bx+bx3 3 与与 x x 轴交于轴交于 A
24、A、B B 两点两点（点（点 A A 在点在点 B B 左侧）左侧），直线直线 l l 与抛物线交于与抛物线交于 A A、C C 亮点，亮点，其中其中 C C 的横坐标为的横坐标为 2 2（1 1）求）求 A A、C C 两点的坐标及直线两点的坐标及直线 ACAC 的函数解析式；的函数解析式；（2 2）P P 是线段是线段 ACAC 上的一个动点，过点上的一个动点，过点P P 作作 y y 轴的平轴的平行线交抛物线于点行线交抛物线于点 E E，求，求 ACEACE 面积的最大值；面积的最大值；（3 3）点点 G G 是抛物线上的动点，是抛物线上的动点，在在 x x 轴上是否存在点轴上是否存在点
25、 F F，使以使以 A A、C C、F F、G G 四个点为顶点的四边形是平行四边四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点形？如果存在，求出所有满足条件的点 F F 的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由七、二次函数与图形转换七、二次函数与图形转换常见图像变换：平移（上加下减，左加右减）轴对称常见图像变换：平移（上加下减，左加右减）轴对称（折叠）（折叠）【模拟题训练】【模拟题训练】8 8（20142014西城区一模）抛物线西城区一模）抛物线y=xy=x2 2kxkx3 3 与与 x x 轴交于点轴交于点A A，B B，与，与 y y 轴交于点轴交于点
26、C C，其中点，其中点 B B 的坐标为（的坐标为（1+k1+k，0 0）（1 1）求抛物线对应的函数表达式；）求抛物线对应的函数表达式；（2 2）将（）将（1 1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点 MM落在线段落在线段 BCBC 上，记该抛物线为上，记该抛物线为 G G，求抛物线，求抛物线 G G 所对应的所对应的函数表达式；函数表达式；（3 3）将线段将线段 BCBC平移得到线段平移得到线段 B BC C（B B的对应点为的对应点为 B B，C C 的对应点为的对应点为 C C），使其经过（，使其经过（2 2）中所得抛物线）中所得抛物线 G G 的
27、顶的顶点点 MM，且与抛物线，且与抛物线 G G 另有一个交点另有一个交点 N N，求点，求点 B B到直线到直线OCOC的距离的距离 h h 的取值范围的取值范围模拟训练题参考答案模拟训练题参考答案1 1 考考 二次函数综合题二次函数综合题点点：分分（1 1）分别令解析式）分别令解析式 y=y=x+2x+2 中中 x=0 x=0 和和 y=0y=0，求出点，求出点析：析：B B、点、点 C C 的坐标；的坐标；菁优菁优网版权网版权所有所有（2 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，将点将点 A A、B B、C C 的坐标代入解析式，求出的坐
28、标代入解析式，求出 a a、b b、c c 的值，进而求得的值，进而求得解析式；解析式；（3 3）由（）由（2 2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出求出 CDCD 的值，再以点的值，再以点 C C 为圆心，为圆心，CDCD 为半径作弧交为半径作弧交对称轴于对称轴于 P P1 1，以点以点 D D 为圆心为圆心 CDCD 为半径作圆交对称轴为半径作圆交对称轴于点于点 P P2 2，P P3 3，作，作 CECE 垂直于对称轴与点垂直于对称轴与点 E E，由等腰三，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（4 4）设
29、出）设出 E E 点的坐标为（点的坐标为（a a，a+2a+2），就可以表示，就可以表示出出 F F 的坐标，由四边形的坐标，由四边形 CDBFCDBF 的面积的面积=S=S BCDBCD+S+S CEFCEF+S+S BEFBEF求出求出 S S 与与 a a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论结论解解解：解：（1 1）令）令 x=0 x=0，可得，可得 y=2y=2，答：答：令令 y=0y=0，可得，可得 x=4x=4，即点即点 B B（4 4，0 0），C C（0 0，2 2）；（2 2）设二次函数的解析式为）设二次函数的解析式为 y=axy=a
30、x2 2+bx+c+bx+c，将点将点 A A、B B、C C 的坐标代入解析式得，的坐标代入解析式得，解得：解得：，即该二次函数的关系式为即该二次函数的关系式为 y=y=x x2 2+x+2x+2；（3 3）y=y=x x2 2+x+2x+2，y=y=（x x）2 2+，抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是 x=x=OD=OD=C C（0 0，2 2），OC=2OC=2在在 RtRt OCDOCD 中，中，由勾股定理，由勾股定理，CD=CD=CDPCDP 是以是以 CDCD 为腰的等腰三角形，为腰的等腰三角形，CPCP1 1=DP=DP2 2=DP=DP3 3=CD=CD如图如图 1 1 所示，
31、作所示，作 CHCH x x 对称轴于对称轴于 H H，HPHP1 1=HD=2=HD=2，DPDP1 1=4=4 P P1 1（，4 4），P P2 2（，），P P3 3（，）；得得（4 4）当）当 y=0y=0 时，时，0=0=x x2 2+x+2x+2 x x1 1=1 1，x x2 2=4=4，B B（4 4，0 0）直线直线 BCBC 的解析式为：的解析式为：y=y=x+2x+2如图如图 2 2，过点过点 C C 作作 CMCM EFEF 于于 MM，设设 E E（a a，a+2a+2），F F（a a，a a2 2+a+2a+2），EF=EF=a a2 2+a+2a+2（a+2a
32、+2）=a a2 2+2a+2a（0 0 x x4 4）S S四边形四边形CDBFCDBF=S=S BCDBCD+S+S CEFCEF+S+S BEFBEF=BDBD OC+OC+EFEF CM+CM+EFEF BNBN，=+a a（a a2 2+2a+2a）+（4 4a a）（a a2 2+2a+2a），=a a2 2+4a+4a+（0 0 x x4 4）=（a a2 2）2 2+a=2a=2 时，时，S S四边形四边形CDBFCDBF的面积最大的面积最大=，E E（2 2，1 1）点点本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法评：评：求二次
33、函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键求出函数的解析式是关键2 2考考二次函数综合题二次函数综合题点点：分分（1 1）根据直线的解析式求得）根据直线的解析式求得A A、B B 的坐标，然后根据的坐标，然后根据析：析：待定系数法即可求得抛物线的解析式；待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2 2）作）作 CDCD x x 轴于轴于 D D，根据题意求得，根据题意求得 OAB=OAB=CBDCBD，然后求得然后求得 AOBAOBBDCBDC
34、，根据相似三角形对应边成比根据相似三角形对应边成比例求得例求得 CD=2BDCD=2BD，从而设，从而设BD=mBD=m，则，则C C（2+m2+m，2m2m），代入抛物线的解析式即可求得；代入抛物线的解析式即可求得；（3 3）分两种情况分别讨论即可求得）分两种情况分别讨论即可求得解解解：解：（1 1）把）把 x=0 x=0 代入代入 y=y=x+1x+1 得，得，y=1y=1，答：答：A A（0 0，1 1），菁优菁优网版权网版权所有所有把把 y=0y=0 代入代入 y=y=x+1x+1 得，得，x=2x=2，B B（2 2，0 0），把把 A A（0 0，1 1），B B（2 2，0 0）
35、代入）代入y=y=x x2 2+bx+c+bx+c 得，得，解得解得，抛物线的解析式抛物线的解析式 y=y=x x2 2 x+1x+1，（2 2）如图，作）如图，作 CDCD x x 轴于轴于 D D，ABC=90ABC=90，ABO+ABO+CBD=90CBD=90，OAB=OAB=CBDCBD，AOB=AOB=BDCBDC，AOBAOBBDCBDC，=2=2，CD=2BDCD=2BD，设设 BD=mBD=m，C C（2+m2+m，2m2m），代入代入 y=y=x x2 2 x+1x+1 得，得，2m=2m=（m+2m+2）2 2（m+2m+2）+1+1，解得，解得，m=2m=2 或或 m=
36、0m=0（舍去）（舍去），C C（4 4，4 4）；（3 3）OA=1OA=1，OB=2OB=2，AB=AB=，B B（2 2，0 0），C C（4 4，4 4），BC=2BC=2，当当 AOBAOBPBCPBC 时，则时，则=，解得，解得，PB=PB=，作作 PEPE x x 轴于轴于 E E，则，则 AOBAOBPEBPEB，=，即，即=，PE=1PE=1，P P 的纵坐标为的纵坐标为1 1，代入代入 y=y=x+1x+1得，得，x=0 x=0 或或 x=4x=4，P P（0 0，1 1）或（）或（4 4，1 1）；当当 AOBAOBCBPCBP 时，则时，则=，即即=，解得，解得，PB=
37、4PB=4，作作 PEPE x x 轴于轴于 E E，则，则 AOBAOBPEBPEB，=，即，即=，PE=4PE=4，P P 的纵坐标为的纵坐标为4 4，代入代入 y=y=x+1x+1 得，得，x=x=6 6 或或 x=10 x=10，P P（6 6，4 4）或（）或（1010，4 4）；综上，综上，P P 的坐标为（的坐标为（0 0，1 1）或（）或（4 4，1 1）或（）或（6 6，4 4）或（或（1010，4 4）点点本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系评：评：数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解数法、三角形相似的判定和
38、性质，数形结合运用是解题的关键题的关键3 3考考二次函数综合题二次函数综合题点点：分分（1 1）分类讨论：）分类讨论：BOCBOCBOABOA，BOCBOCAOBAOB，根，根析：析：据相似三角形的性质，可得答案；据相似三角形的性质，可得答案；（2 2）根据全等三角形的性质，可得）根据全等三角形的性质，可得 C C 点坐标，根据点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；待定系数法，可得函数解析式；（3 3）根据相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，可得关于可得关于 a a 的方程，的方程，根根据解方程，可得据解方程，可得 a a 的值可得的值可得 p p 点坐标，分类讨论：当点坐标，分类讨论：
39、当点点 P P 的坐标为的坐标为（，1 1）时，时，根据正弦函数据，根据正弦函数据，可得可得 COPCOP的度数，的度数，根据等腰三角形得到性质，根据等腰三角形得到性质，可得答案；可得答案；当点当点P P 的坐标为的坐标为（，1 1）时，时，根据正弦函数据，根据正弦函数据，可得可得 AOPAOP菁优菁优网版权网版权所有所有的度数，根据三角形外角的性质，可得答案的度数，根据三角形外角的性质，可得答案解解解：解：（1 1）点）点C C 的坐标为（的坐标为（mm，0 0）或（）或（4m4m，0 0）或（或（答：答：4m4m，0 0）；（2 2）当）当 BOCBOC 与与 AOBAOB 全等时，点全等
40、时，点C C 的坐标为（的坐标为（mm，0 0），二次函数二次函数 y=y=x x2 2+bx+c+bx+c 的图象经过的图象经过 A A、B B、C C 三点，三点，解得，解得二次函数解析式为二次函数解析式为 y=y=x x2 2+4+4，点，点C C 的坐标为（的坐标为（2 2，0 0）；（3 3）作作 PHPH ACAC 于于 H H，设点设点 P P 的坐标为的坐标为（a a，a a2 2+4+4），AHP=AHP=PHC=90PHC=90，APH=APH=PCH=90PCH=90 CPHCPH，APHAPHPCHPCH，=，即即 PHPH2 2=AH=AH CHCH，（a a2 2+
41、4+4）2 2=（a+2a+2）（2 2a a）解得解得 a=a=，或，或 a=a=，即，即 P P（，1 1）或（）或（，1 1），如图：如图：当点当点 P P1 1的坐标为（的坐标为（，1 1）时，）时，OPOP1 1=2=OC=2=OC，sinsin P P1 1OE=OE=COP=30COP=30，ACP=ACP=75=75当点当点 P P 的坐标为（的坐标为（，1 1）sinsin P P2 2OF=OF=，时，时，P P2 2OF=30OF=30由三角形外角的性质，得由三角形外角的性质，得 P P2 2OF=2OF=2 ACPACP，即，即 ACP=15ACP=15点点本题考查了二
42、次函数综合题，本题考查了二次函数综合题，（1 1）利用了相似三角形）利用了相似三角形评：评：的性质，分类讨论是解题关键；的性质，分类讨论是解题关键；（2 2）利用全等三角形）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；的性质，解三元一次方程组；（3 3）利用了相似三角形）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质形的性质，三角形外角的性质4 4考考二次函数综合题二次函数综合题点点：分分（1 1）由抛物线的解析式可知）由抛物线的解析式可知 OA=OB=OM=1OA=OB=OM=1，得出，得出析：析：AMO=A
43、MO=MAO=MAO=BMO=BMO=MBO=45MBO=45从而得出从而得出 MABMAB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形（2 2）分别过分别过 C C 点，点，D D 点作点作 y y 轴的平行线，轴的平行线，交交 x x 轴于轴于 E E、F F，过，过MM 点作点作 x x 轴的平行线交轴的平行线交 ECEC 于于 G G，交，交DFDF 于于 H H，设设 D D（mm，mm2 21 1），C C（n n，n n2 21 1），通过，通过EGEG DHDH，得，得出出=，从而求得，从而求得 mm、n n 的关系，根据的关系，根据 mm、n n 的关系，的关系，菁优菁优网版权网版权所
44、有所有解解得出得出 CGMCGMMHDMHD，利用对应角相等得出，利用对应角相等得出 CMG+CMG+DMH=90DMH=90，即可求得结论，即可求得结论解：解：（1 1）MABMAB 是等腰直角三角形理由如下：是等腰直角三角形理由如下：答：答：由由抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：y=xy=x2 21 1 可知可知 A A（1 1，0 0），B B（1 1，0 0），OA=OB=OM=1OA=OB=OM=1，AMO=AMO=MAO=MAO=BMO=BMO=MBO=45MBO=45，AMB=AMB=AMO+AMO+BMO=90BMO=90，AM=BMAM=BM，MABMAB 是等腰直角三角形
45、是等腰直角三角形（2 2）MCMC MDMD理由如下：理由如下：分别过分别过 C C 点，点，D D 点作点作 y y 轴的平行线，交轴的平行线，交 x x 轴于轴于 E E、F F，过过 MM 点作点作 x x 轴的平行线交轴的平行线交 ECEC 于于 G G，交，交 DFDF 于于 H H，设设 D D（mm，mm2 21 1），C C（n n，n n2 21 1），OE=OE=n n，CE=1CE=1n n2 2，OF=mOF=m，DF=mDF=m2 21 1，OM=1OM=1，CG=nCG=n2 2，DH=mDH=m2 2，EGEG DHDH，=，即即=，解得解得 m=m=，=n n，
46、=n n，=，CGM=CGM=MHD=90MHD=90，CGMCGMMHDMHD，CMG=CMG=MDHMDH，MDH+MDH+DMH=90DMH=90CMG+CMG+DMH=90DMH=90，CMD=90CMD=90，即即 MCMC MDMD5 5（20152015山西模拟）如图山西模拟）如图 1 1，P P（mm，n n）是抛物线）是抛物线 y=y=x x2 21 1 上任意一点，上任意一点，l l 是过点是过点（0 0，2 2）且与且与 x x 轴平行的直线，轴平行的直线，过点过点 P P 作直线作直线 PHPH l l，垂足为，垂足为 H H【特例探究】【特例探究】（1 1）填空，当）
47、填空，当 m=0m=0 时，时，OP=OP=1 1，PH=PH=1 1；当；当 m=4m=4时，时，OP=OP=5 5，PH=PH=5 5【猜想验证】【猜想验证】（2 2）对任意）对任意 mm，n n，猜想，猜想 OPOP 与与 PHPH 大小关系，并证明你大小关系，并证明你的猜想的猜想【拓展应用】【拓展应用】（3 3）如图）如图 2 2，如果图，如果图 1 1 中的抛物线中的抛物线 y=y=x x2 21 1 变成变成 y=xy=x2 24x+34x+3，直线直线 l l 变成变成 y=my=m（mm1 1）已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 24x+34x+3的顶点为的顶点为 MM，交交
48、 x x 轴于轴于 A A、B B 两点，两点，且且 B B 点坐标为点坐标为（3 3，0 0），N N 是对称轴上的一点，直线是对称轴上的一点，直线y=my=m（mm1 1）与对称轴于点）与对称轴于点C C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=my=m 的距离的距离等于该点到点等于该点到点 N N 的距离的距离用含用含 mm 的代数式表示的代数式表示 MCMC、MNMN 及及 GNGN 的长，并写出相的长，并写出相应的解答过程；应的解答过程；求求 mm 的值及点的值及点 N N 的坐标的坐标考考二次函数综合题二次函数综合题点点：分分（1 1）根据勾
49、股定理，可得）根据勾股定理，可得OPOP 的长，根据点到直线的的长，根据点到直线的析：析：距离，可得可得距离，可得可得 PHPH 的长；的长；（2 2）根据图象上的点满足函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，可得点的坐标，根据勾股定理，根据勾股定理，可得可得 POPO 的长，的长，根据点到直线的距离，根据点到直线的距离，可得可得 PHPH 的长；的长；（3 3）根据该点到直线）根据该点到直线 y=my=m 的距离等于该点到点的距离等于该点到点 N N的距离，可得的距离，可得 CM=MNCM=MN，根据线段的和差，可得，根据线段的和差，可得 GNGN的长；的长；对于抛物线上每一
50、点都有：对于抛物线上每一点都有：该点到直线该点到直线 y=my=m 的距离的距离等于该点到点等于该点到点 N N 的距离，可得方程，根据解方程，可的距离，可得方程，根据解方程，可得得 mm 的值，再根据线段的和差，可得的值，再根据线段的和差，可得 GNGN 的长的长解解解：解：（1 1）当）当 m=0m=0 时，时，P P（0 0，1 1），OP=1OP=1，PH=PH=1 1答：答：（2 2）=1=1；当当 m=4m=4 时，时，y=3y=3，P P（4 4，3 3），OP=OP=5=5，PH=3PH=3（2 2）=3+2=5=3+2=5，故答案为：故答案为：1 1，1 1，5 5，5 5；