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1、二次函数的综合题二次函数的综合题1 1 已知：抛物线C1：y ax24ax4a5的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；（2）将抛物线沿 x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C2的顶点为 M，当点P、M 关于点 B 成中心对称时，求平移后的抛物线C2的解析式；-6-5-4-3-2-1y y654321O-1-212345678x x3（3）直线y xm与抛物线C1、C2的对称轴分别交于点 E、F，设由点 E、5P、F、M 构成的四边形的面积为 s,试用含 m 的代数式表示 s解：解：（1）由抛物线C
2、1：y ax24ax4a5得-3-4-5-64a4a(4a5)16a2 2,5顶点 P 的坐标为（-2，-5）-1 分2a4a5点 B（1，0）在抛物线 C1上，a9抛物线C1的解析式为y 522025x x-2分999（2）连接 PM，作 PHx 轴于 H，作 MGx 轴于 G点 P、M 关于点 B 成中心对称 PM 过点 B，且 PBMBPBHMBG-3 分MGPH5，BGBH3顶点 M 的坐标为（4，5）抛物线C2的表达式为y （3）依题意得，E(-2,5x 425-4分9612m)，F(4,m)，HG=655 当 E 点的纵坐标小于-5 时，6311237m，MF=5(m)m55551
3、313718mm)6 6m-5分s(2555PE=5(m)当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，631m(5)m551237 m)mMF=5(55204s-6 分5PE=当 F 点的纵坐标大于 5 时，631m(5)m551237m5 mMF=5518s 6m-7 分5PE=，2.已知二次函数y x2mx m2（1）求证：无论 m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3）将直线 y=x 向下平移 2 个单位长度后与（2）中的抛物线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），一个动点 P自 A 点出发，先
4、到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长解：（1）证明：令 y=0,则x mx m 2 0(m)24(m 2)m 4m 8=(m 2)2 4,-1 分又(m 2)2 0，(m 2)2 4 0即0无论 m 为任何实数，一元二次方程x mx m 2 0总有两不等实根该二次函数图象与 x 轴都有两个交点-2 分（2）解：二次函数y x mx m2的图象经过点（3，6）,23 3m m 2 6.解得m 22221.2132二次函数的解析式为y x x.-3 分22（3）解：将y x向下平移
5、2 个单位长度后得到解析式为：y x 2.-4 分1x，y x 2，1x21，2解方程组13得2y 13y x x 2y 2212O1313x 的交点为A(,)，B(1,1)222213点 A 关于对称轴x 的对称点是A(0,),点 B 关于 x 轴的对称点是B(1,1).42直线y x 2与抛物线y x 2设过点A、B的直线解析式为y kx b3b 2，解得k b 15k，2b 3253直线AB的解析式为y x.223直线AB与 x 轴的交点为F(,0).-5 分5117与直线x 的交点为E(,).-6 分4481735则点E(,)、F(,0)为所求 过点B做BH AA的延长线于点H，BH，
6、HA1.4852在 RtABH中，ABBH2 AH229.所求最短总路径的长为AE EF FB AB229.23 3 关于 x 的一元二次方程(m21)x2 2(m 2)x 1 0.（1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点 A（1，1）是抛物线y (m21)x2 2(m 2)x 1上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点By的直线，若存在，请4求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.322解：（1）由题意得，（4(m 1)02 m2）215x2解得，mm 1 0解得，m 1-4-3-2-1 O 1 2
7、 3 4-14-25当 m0k b33交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段AB，求c的值x2492 分40k 为非负整数，k=0，1kx22k 7xk 3 0为一元二次方程k=13 分(2)把 k=1 代入方程得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4m0，y最小4a(25a)(4a 2)2 0.(4a 2)24a(25a)0.4a22(3a 1)0.而(3a 1)0.只有3a 1 0，解得a 12451.抛物线的解析式为y3x x.33337 分9.已知 P（3,m)和 Q（1，m）是抛物线y 2x2bx1上的两点（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x bx1=0 是否
8、有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y 2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值23解：(1)因为点 P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴x 2b31，所以，b 4422（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x 4x1=0因为，b 4ac=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是x12b2b2，x2 1 12a22a22（3）由（1）可知，抛物线y 2x 4x1的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为y 2x24x1k2若使抛
9、物线y 2x 4x1k的图象与x轴无交点，只需2x 4x1k 0无实数解即可2由 b 4ac=168(1k)=88k0，得k 12又k是正整数，所以k得最小值为 210.如图，平行四边形ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E.（1）若 ED 与A 相切，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GCCD5，求 AD 的长.（第 23 题图）.结论：GD与O相切.(1 分)证明：连接AGE E点G、E在圆上，AG AE四边形ABCD是平行四边形，F FD DA A162AD/BC5B 1,
10、2 334AB AGB BC CG GB 31 2.(2 分)在AED和AGDAE AG1 2,AD AD.AEDAGDAED AGD.(3 分)ED 与A 相切AED 90AGD 90AG DGGD 与A 相切.(4 分)（2）GCCD=5，四边形 ABCD 是平行四边形AB=DC,4 5，AB AG 5.(5 分)AD/BC4 615 6 B22 266 30AD 10.(6 分)11.如图 10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合)，以CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段
11、DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）请直接写出图 10-1 中线段 BG、线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系；将图 10-1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图 10-2、如图 10-3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 10-2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-410-6），且AB a,BC b,CE ka,CG kb(a b,k 0)，试判断（1）中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.（3）在图 10-5 中，连结DG、BE，且a 4,b 2,k 1，则B
12、E2 DG2=2解：BGDE；BG DE；.1 分 中得到的结论仍然成立2 分证明：四边形ABCD和四边形EFGC分别是正方形，CG CE.BC CD.ECG BCD 90.ECG DCG BCD DCG即DCE BCG.BCG DCEDE BGCED BGCCQE DQGCQE CED 90DQG BGC 90GOE 90DE BG.4分 BG DE 成立；.5 分BGDE 不成立.6 分 BE2+DG2=257 分Q12.已知抛物线 C1：y x22x的图象如图所示，把 C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线 C2的图象，抛物线 C1与抛物线 C2的图象合称图象 C3（1）求抛物线 C1的顶点
13、A 坐标，并画出抛物线C2的图象；（2）若直线y kxb与抛物线y ax2bxc(a 0)有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切.若直线y xb与抛物线 C1相切，求b的值；（3）结合图象回答，当直线y xb与图象 C3有两个交点时，b的取值范围解：（1）顶点坐标 A（1，-1）.1 分C2yC1oxA12 分（2）y xb(1)y x22x(2)把（1）式代入（2）整理得：x23xb 0.9 4b 0，b 94.4 分（3）y xb(1)y x22x(2)把（1）式代入（2）整理得：x2 xb 0.1 4b 0，b 14.6 分当直线y xb与图象 C3有两个交点时，b的取值范围为：94 b
14、 14.7 分yC1oxA113已知：MAN，AC平分MAN 在图 1 中，若MAN120，ABCADC90，ABADAC（填写“”，“”，“”）在图 2 中，若MAN120，ABCADC180，则 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 在图 3 中：若MAN60，ABCADC180，判断ABAD与AC的数量关系，并说明理由；若MAN（0180），ABCADC180，则ABAD_AC（用含 的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）MMMMMMC CC CC CD DD DD DN NN NA AA AA AB BN NB BB B解：(1)ABAD=AC-1 分(2)
15、仍然成立证明：如图 2 过 C 作 CEAM 于 E，CFAN 于 F，则 CEA=CFA=90MMC C AC平分 MAN，MAN=120，MAC=NAC=60E E又 AC=AC，AECAFC，D D AE=AF，CE=CFN NA A 在 RtCEA 中，EAC=60，F FB B ECA=30，AC=2AE图 2 AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABC ADC180，CDE+ADC=180，MM CDE=CBF又 CE=CF，CED=CFB，CEDCFB ED=FB，FB+DA+AF=ACG G AB+AD=AC-4分图 1图 2图 3C C(3)AB+AD=3AC证
16、明：如图 3，方法同(2)可证AGCAHCAG=AH MAN=60，GAC=HAC=30AG=AH=D DA AH HB BN N3ACAG+AH=3ACGD+DA+AH=3AC2图 3方法同(2)可证GDCHBCGD=HB，HB+DA+AH=3ACAD+AB=3AC-6分 ABAD2cos2AC-7 分14.请阅读下列材料问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2，PB=3，PC=1求 BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图2）连接 PP，可得PPC 是等边三角形，而PPA 又是直角三角
17、形（由勾股定理的逆定理可证）所以 APC=150，而 BPC=APC=150进而求出等边ABC 的边长为7问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA=5，BP=2，PC=1求 BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长图 3图 2图 1解：（1）如图，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=2连结 P P，在 RtBPP 中，BP=BP=2，PBP=90，P P=2，BPP=452 分在APP 中，AP=1，P P=2，AP=5，1 2(5)，即 AP2+PP2=AP2 APP
18、 是直角三角形，即A P P=90 APB=135 BPC=APB=135 4 分（2）过点 B 作 BEAP 交 AP 的延长线于点 E EP B=45.EP=BE=1.AE=2.在 RtABE 中，由勾股定理，得 AB=5 7 分 BPC=135，正方形边长为522215关于x的一元二次方程x 4xc 0有实数根，且c为正整数.（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线y x24xc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为m
19、,n,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.解：（1）关于x的一元二次方程x 4xc 0有实数根，=16 4c 0.c 4.-1分又c为正整数，c 1,2,3,4.-2分（2）方程两根均为整数，c 3,4.-3 分又 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，c 3.抛物线的解析式为y x 4x3.-4 分 抛物线的对称轴为x 2.四边形OBPC为直角梯形，且COB 90，PCBO.P点在对称轴上，PC 2.-5 分（3）2 m 0或2 m 4.-7 分（写对一个给 1 分）22216已知抛物线y ax24ax4a2，其中a是常数（1）求抛物
20、线的顶点坐标；（2）若a 2，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式5解：（1）依题意，得a 0，y ax24ax4a2 ax24x42 ax22.2抛物线的顶点坐标为(2,2)2 分（2）抛物线与x轴交于整数点，ax 4ax4a2 0的根是整数24a 16a24a(4a2)2ax 是整数 22aaa 0，x 22是整数3 分a2是整数的完全平方数a2a，52 54 分a2取 1，4，a221当1时，a 2；当 4时，a a2a1a的值为 2 或212抛物线的解析式为y 2x28x 6或y x 2x6 分217.如图，在梯形ABCD 中，ADBC，B=90，AD=AB=
21、2,点 E 是 AB 边上一动点(点 E 不与点 A、B 重合)，连结ED，过 ED 的中点 F 作 ED 的垂线，交 AD 于点 G,交 BC 于点 K,过点 K 作 KM(1)当 E 为 AB 中点时，求(2)若AD 于 MDM的值；DGAGFMDAE1DM,则的值等于；AB3DGAE1（n为正整数）(3)若，ABnE则DMDG的值等于（用含n的式子表示）（1）连接 GEBKMAD，KG 是 DE 的垂直平分线KMG=DFG=90GKM=GDFMK=AB=AD,KMG=DAE=90 KMG DAE-1分MG=AEE 是 AB 中点，且 AB=AD=2AE=MG=1KG 是 DE 的垂直平分
22、线AGMDGE=GD-2分设 GE=GD=xF则 AG=2-xE在 Rt AEG 中，EAG=90，由勾股定理得（2-x）2+12=x2x=54 -3分BKCDM=GD-GM=14DMDG15-4分（2）25 -5分3）(n 1)2（n21-7分KC18.直线 CD 经过BCA的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA （1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA 90,90，则EFBE AF（填“”，“”或“”号）；BC A180，若 使 中 的 结 论 仍 然 成 立，则与BCA应 满 足 的 关
23、系 如 图 2，若0 是；（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明BBBEFDEFDEACCCAAF解：（1）EF=图 1图 2图 3DBE AF-1 分(2)+BCA=180；-3 分(3)探究结论：EF=BE+AF.-4 分证明：1+2+BCA=180,2+3+CFA=180.又BCA=CFA，1=3.-5 分BEC=CFA=,CB=CA,BECCFA.-6 分123BE=CF,EC=AF.EF=EC+CF=BE+AF.-7 分；19.已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过E 点作 EFBD 交
24、BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）ADDAAGFGEEFECCBBFB图 3图 2图 1解：（1）CG=EG 1 分（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N
25、 点在DAG 与DCG 中，A AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCGE AG=CG2 分F在DMG 与FNG 中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，B DMGFNG图 2 MG=NG 3 分在矩形 AENM 中，AM=EN 4 分A在 RtAMG 与 RtENG 中，AM=EN，MG=NG，GF AMGENGE AG=EG5 分 EG=CG6 分B（3）（1）中的结论仍然成立7 分图3DCMGNDNCDC20.20.已知抛物线 C1：y a(x 2)25的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 A 的横坐标是1（1）求p点坐标及a的
26、值；（2）如图（1），抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线 C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点 P、M 关于点 A 成中心对称时，求 C3的解析式y a(x h)2 k；（3）如图（2），点Q 是 x 轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线C4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点E 在点 F 的左边），当以点P、N、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标解：（1）由抛物线 C1：y a(x 2)25得顶点 P 的坐标为（2，5）.1 分 点 A（1，0）在抛物线 C1上a 5.2 分9（2）连
27、接 PM，作 PH x 轴于 H，作 MG x 轴于 G.点 P、M 关于点 A 成中心对称,PM 过点 A，且 PAMA.PAH MAG.MGPH5，AGAH3.顶点 M 的坐标为（4，5）.3 分 抛物线 C2与 C1关于 x 轴对称，抛物线 C3由 C2平移得到 抛物线 C3的表达式y 5(x 4)25.4 分9（3）抛物线 C4由 C1绕 x 轴上的点 Q 旋转 180得到 顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称.由（2）得点 N 的纵坐标为 5.设点 N 坐标为（m，5），作 PH x 轴于 H，作 NG x 轴于 G，作 PR NG 于 R.旋转中心 Q 在 x 轴上,EFAB2AH
28、6.EG3，点 E 坐标为（m 3，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m，5）.2222根据勾股定理，得PN NR PR m 4m 104,PE PH HE m 10m 502222NE 5 3 342224444，N 点坐标为（，5）331010 当 PEN90 时，PE2+NE2PN2，解得 m，N 点坐标为（，5）.33 当 PNE90 时，PN2+NE2PE2，解得 m PNNR10NE，NPE907 分综上所得，当 N 点坐标为（4410，5）或（，5）时，以点 P、N、E 为顶点的三角形是直角三角33形8 分说明：点 N 的坐标都求正确给 8 分，不讨论不扣分21.21.如图
29、，将腰长为5的等腰 RtABC（C是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限，使顶点 A 在 y 轴上，顶点 B 在抛物线y ax2ax2上，顶点 C 在 x 轴上，坐标为（1，0）（1）点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（2）抛物线的关系式为，其顶点坐标为；（3）将三角板ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90，到达ABC的位置请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由解：（1）A（0，2），B（3，1）2 分121x x 2；3 分22117）顶点为（，4 分28（3）如图，过点B作BM y轴于点M，过点B作BN y轴于点N，过点C作（2）解析式为y CP y轴于点P在 RtABM
30、与 RtBAN 中，AB=AB，ABM=BAN=90-BAM，RtABMRtBAN BM=AN=1，AM=BN=3，B（1，1）同理ACPCAO，CP=OA=2，AP=OC=1，可得点 C（2，1）；将点 B、C的坐标代入y 121x x 2，22可知点 B、C在抛物线上 7 分（事实上，点 P 与点 N 重合）2222我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为21请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，CAB 90，直线m过点O,过A、B、C三点分别作直线m的垂线，
31、垂足分别为点D、E、F.(1)当直线m与BC平行时（如图 1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明E EB BA AF Fm mO O(D)(D)C CA AF FE EB BO OD DC CE EA AF Fm mm mB BO OD DC C图 1图 2图 324（1）猜想：BE+CF=AD1 分证明：如图，延长 AO 交 BC 于 M 点，点O为等腰直角三角形ABC
32、的重心AO=2OM 且 AMBC又EFBCAM EFBEEF,CFEFEBOMCFEB=OM=CFEB+CF=2OM=AD3 分（2）图 2 结论：BE+CF=AD证明：联结 AO 并延长交 BC 于点 G,过 G 做 GHEF 于 H由重心性质可得 AO=2OGADO=OHG=90,AOD=HOGAODGOHAD=2HG5 分O 为重心G 为 BC 中点GHEF,BEEF,CFEFEBHGCFH 为 EF 中点HG=E EB BH HA AD DO OG G图 2A AE EO O(D)(D)B BMMF Fm mC C图 1F Fm mC CA AF FB BE EO OD DC C图 3
33、m m1(EB+CF)2EB+CF=AD7 分(3)CFBE=AD8 分23.在ABC中，AC=BC，ACB 90，点 D 为 AC 的中点（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，连结 CF，过点 F 作FH FC，交直线 AB 于点 H判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明解：（1）FH 与 FC 的数量关系是：FH FC 1 分证明：延长DF交AB于点 G，A由题意，知EDF=ACB=90，DE=DFDGCBDFEH点 D 为 AC 的中点，点 G 为 AB 的中点，且DC 1CBAC图12DG 为ABC的中位线DG 12BCAC=BC，DC=DGDC-DE=DG-DF即 EC=FG2 分EDF=90，FH FC，1+CFD=90，2+CFD=901=23 分DEF与ADG都是等腰直角三角形，DEF=DGA=45CEF=FGH=1354 分CEF FGH5 分 CF=FH6 分（2）FH 与 FC 仍然相等7 分ADFCBE图2HADF2GEH1CB