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1、 平面向量的数量积及应用一、知识要点：1向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面向量的数量积：(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量|cos 叫作与的数量积(或内积)，记作，即|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0.(2)几何意义：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos 的乘积3向量的数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则： ；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹
2、角的计算公式：；。=cos (为单位向量);4平面向量数量积的坐标表示：设向量(x1，y1)，(x2，y2)，为向量，的夹角(1)数量积：|cos x1x2y1y2.(2)模：|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量的充要条件：0x1x2y1y20.(5)| |(当且仅当时等号成立)|x1x2y1y2| .5平面向量数量积的运算律：(1) (交换律)(2)(b)()(结合律)(3)( )(分配律)提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记
3、两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？6重要结论:向量垂直的充要条件： .特别地。为的垂心；辨析感悟：1对平面向量的数量积的认识：(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量()(2)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为.()(3)若0，则和的夹角为锐角；若0，则和的夹角为钝角()2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解：(4) 0，则0或0.()(5)( )()()(6) (0)，则.()感悟提升三个防范：一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投
4、影是一个数量，不是向量设向量，的夹角为，当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当0时，在的方向上投影为|，当180时，在方向上投影为|，如(2)；当0时，a0，180，0，即0是两个向量，夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是0不能推出或，因为0时，有可能，如(4)二、题型：(一) 向量的数量积的概念:1对于向量，和实数，下列命题中真命题是（ B ）A若，则或B若，则或C若，则或D若，则2.对于非零向量，下列命题正确的是（ C ）A若，则 B若，则在上的投影为 C. 若，则 D若，则3在中，点为所在平面内一点，且满足，则点为的重心；点为所在平面内一点，且满
5、足，则点为的内心；若中，则为钝角三角形；若中，则为正三角形；若点为所在平面内异于、的一定点，动点满足，则动点必过的重心；其中所有正确结论的序号是 （二）求平面向量数量积：() 定义法：1.已知圆是的外接圆，其半径为1，且，则（ B ）A. B. C. D. 略解：由题意知是直角三角形，且，2.在中，则的值为（D） A3 B3C D【分析】由题意可得，根据向量的加法的几何意义即可求出答案解：，两边平方可得 ，故选：D3.已知平面向量，满足，则在方向上的投影是 略解：由平方得，再由 () 坐标法：1.已知是边长为2的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值是（ B ）A. B. C. D. 略解：以
6、为轴，边上的高为轴建立坐标系，则，并设则，时，最值2在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（ ） ABCD【解析】画出图像如下图所示，以，分别为，轴建立平面直角坐标系，故，设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为0，当时取得最小值为，故的取值范围是故选B()基向量法：1.在直角三角形中，为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（ B ）A. B. C. D. 略解：2.已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ B ）（A）（B）（C）（D）试题分析：设，故选B.3在中，边的边长分别为3，2，则4.在中，若
7、，为边的三等分点，则（ B ）A B C D5.已知点是边长为的正的边上的动点，则（ ） A最大值为 B是定值 C. 最小值为 D是定值【分析】设=，=，=t，根据平面向量的数量积计算+的值【解答】设=，=，=t，则=，=16， =44cos60=8； =+=+t=1t+t，又+=+，+=1t+t+ =1t+1t+t+t =1t16+8+t16=24，是定值24故选：B点评：本题可用定义法，也可用坐标法，还可用基向量法6.在平行四边形中，已知，为的中点（1）求线段的长；（2）若为线段的中点，求在上的投影；（3）若为线段上的动点，求的取值范围。提示：（2）基向量法（3）用基向量法，设 ()方程组
8、法：1设向量满足，则（ A ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）5解：两边平方得，同理，两边平方得，两式相减.故选A.【思路点拨】把，平方相减即可得到结果.（三）求向量的夹角：（）定义法：1.已知,为单位向量，且，若，则_.【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案2.已知非零向量，满足，且，的夹角为，则，的夹角为（ ）A. B. C. D. 略解：，再用定义法即可求得，的夹角（）坐标法：1.已知向量，则_.详解：【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目
9、，难度偏易不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键（）数形结合法：1已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ D ）（A） （B） （C） （D）【知识点】数量积表示两个向量的夹角解：，A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为.【思路点拨】利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围（）逆向问题：1.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60，则实数的值是 .解析：，解得：2.已
10、知向量，若为锐角，则实数的取值范围是 解：，若，则有，解得由题设知，为锐角，可得由题意知，当时，故当为锐角时，实数的取值范围是，故答案为若，求得求出和的坐标，由，可得由此可得当为锐角时，实数的取值范围本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题（四）求向量的模：（）定义法：1平面向量与的夹角为，且，则( C ) A.B. C.2D. 【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算.解：因为，故，所以，而.【思路点拨】下通过已知条件得到以及，然后代入即可.2已知向量的夹角为， ；【知识点】向量加减法的应用；数量积表示两个向量的夹角解：因为向量的夹角为，所以，则，同理，
11、故.【思路点拨】由条件求得利用两个向量的数量积的定义求得的值，再求得以及的值，即可得到的值（）坐标法：1已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，故x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，可知|ab|2或2.（）方程组法：1在中，若，则的值为( C ) A、1B、3C、D、（）数形结合法
12、：1已知向量的值是（ D ）ABC D1（五）平面向量的垂直问题：1与垂直的单位向量为_, _2已知为所在平面上一点，若,则为的( C ) A内心 B外心 C垂心 D重心【知识点】向量数量积的运算性质;三角形的垂心.解： ，可得,因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上点O是ABC三条高线的交点，因此，点O是ABC的垂心,故答案为选C.【思路点拨】将等式移项提公因式，结合减法法则化简整理可得，因此点O在AC边上的高BE上同理可得O点也在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，由此即可得到本题答案3.已知，.（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于的函
13、数.略解：由即可；（2）由两边平方变形可得4.已知向量，且满足关系（1）求与的数量积用表示的解析式.（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的值；（3）求与夹角的最大值。略解：（1）由两边平方变形可得解：(1)由题，且两边平方变形可得(2)若则，而无解，因此和不可能垂直；若则即，解得，综上，和不可能垂直；当和平行时，；(3)设与夹角为，则因此，当且仅当即时，有最小值为，此时，向量与的夹角有最大值为。练习：1.关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）2.在中，若为外接圆的圆心，则= 8 分析：根据，将
14、向量的数量积转化为：，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案 【解析】由于，如图，设AB，AC的中点分别为F，E根据向量数量积的几何意义得： 3.已知菱形的边长为2，是线段上一点，则的最小值是 解析：以菱形的对角线的坐标轴建立坐标系，用坐标法即可4.在中，已知，若点在斜边上，则的值为（ C ） 6 12 24 48略解：（基向量法），又，5.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ B ）A B C D【知识点】数量积表示两个向量的夹角解：由已知得化简得，再化简可得，令，则由以及，可得四边形OACB为矩形，AOC即为向量与的夹角令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cosBOC=，AOC=【思路点拨】将平方，转化可得，令，数形结合求得cosBOC 的值，可得BOC 的值，即为所求6. 若向量，满足，且，则，的夹角为 （数形结合即可）7.已知为钝角，则的取值范围是 且 .8.已知单位向量的夹角为，则= 1 9.设，若，则实数_【知识点】向量的运算；向量垂直的充要条件.解：，又，即解得.【思路点拨】先由向量的基本运算得到的坐标表示，再利用向量垂直的充要条件即可.10.已知，与的夹角是.（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？略解：（1），（2）15学科网（北京）股份有限公司