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1、希尔伯特变换与单边带幅度调制摘要:本文主要分析和讨论了希尔伯特变换、单边带调制及利用希尔伯特变换进行的单边调制的方法，并用MATLAB进行了实验和仿真。仿真的结果验证了前面理论分析局部的正确性。关键词：希尔伯特变换 单边带调制 MATLAB引言 希尔伯特变换(Hilbert)在通讯等领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的重要工具，可以用来进行信号的调制与解调、对信号功率的测量、对窄带信号的检测、实现对瞬时频率的估计等，并且它可以用来统一的描述各种模拟调制方式DSB、SSB、AM、FM的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。希尔伯特变换是一种将信号相移90度的运算，与其他变换不同
2、，它是属于相同域的变换。它有着一些很好的性质，如正交性、卷积特性等。特别的，对于任意的一个因果系统，它的实部和虚部、模与幅角，都存在着一定的希尔伯特变换关系。继而，由希尔伯特变换得出的任一信号的解析信号，其频率响应总是因果的，即其频率响应仅含有正频率项。单边带调制英文是Single-sideband modulation，缩写为SSB，是一种可以更加有效的利用电能和带宽的调幅技术。单边带调制与残留边带调制VSB有密切的关系。调幅技术输出的调制信号带宽为源信号的两倍。单边带调制技术可以防止带宽翻倍，同时防止将能量浪费在载波上，不过因为设备变得复杂，本钱也会增加。单边带调制技术是原有频率分量的相对
3、关系保持不变的调制技术，也可看作是调幅(AM)的一种特殊形式。调幅信号频谱由载频fc和上、下边带组成，被传输的消息包含在两个边带中，而且每一边带包含有完整的被传输的消息。因此，只要发送单边带信号，就能不失真地传输消息。显然，把调幅信号频谱中的载频和其中一个边带抑制掉后，余下的就是单边带信号的频谱。一种生成单边带调制信号的方法是将其中一个边带通过滤波去除，只留下上边带或者下边带。而且载波一般也需要经过衰减或者完全滤除抑制。这通常称为抑制单边带载波。假设原调制信号的两个边带是对称的，那么经过这一变换后，并不会造成任何的信息遗失。因为最终的射频放大器只发射一个边带，这样有效输出功率就会比普通的调幅方
4、式大。因此单边带调制具有使用带宽小、节省能量的优点，但是它无法被普通的调幅检波器解调。单边带调制的实现方法有很多种，其中常用的一种就是利用希尔伯特变换，对调制信号进行频移，系统中包括载波信号和两个频移后的调制信号。两个频移后的调制信号分别在载波信号的两侧，其中频率较低的那个信号是频率反转后的信号。 原理分析 在单边带幅度调制中，可以保存上边带，也可以保存下边带。信号单边带调制可以提高信道的利用率。信号单边调制SSB有上边带USB和下边带LSB两种，一般利用希尔伯特变换来实现。 利用希尔伯特实现单边带调制的原理框图如下所示：Y(t)Sin(wct)H(jw)X(t)Cos(wct)Xh(t) 图
5、1 利用希尔伯特变换实现单边带调制框图 图中H(jw)为希尔伯特变换器。 单边带幅度调制的时域表达式为 USB(t)=x(t)cos(wct)-xh(t)sin(wct) LSB(t)=x(t)cos(wct)+xh(t)sin(wct)式中：xh(t)为信号x(t)的希尔伯特变换。 希尔伯特变换器的时域特性h(t)为 对上式进行傅里叶变化，可得希尔伯特变换器的频率特性H(jw)为： 由以上可知，希尔伯特变换器的幅度响应为H(jw)=1,相位响应为w=-sgn(w)，因此，希尔伯特变换器是一个全通系统，称为90度相移器。 希尔伯特变换器的输入与输出之间的关系在时域可表示为： xh(t)=x(t
6、)*h(t)=x(t)*= x(t)=xh(t)*-h(t)= xh(t)*(-)=- 对上式进行傅里叶变换，便可知希尔伯特变换器的输入x(t)与输出xh(t)在频域具有以下关系： Xh(jw)=X(jw)H(jw)=X(jw)-jsgn(w) X(jw)= Xh(jw)-H(jw)= Xh(jw)jsgn(w) 如果调制信号的频谱为X(jw)，那么对USB(t)及LSB(t)的时域表达式两边进行傅里叶变换可得下式：YUSB(jw)= 利用上面Xh(jw)与X(jw)的关系，将Xh(jw)用X(jw)替换得： YUSB(jw)= YLSB(jw)=所以，单边带一条信号的频谱为： YUSB(jw
7、)=X(j(w-wc)+ X(j(w+wc) wwc YLSB(jw)=X(j(w-wc)+ X(j(w+wc) wwc 到此，便可实现利用希尔伯特变换对任一调制信号进行的单边带幅度调制。实验与仿真利用希尔伯特变换实现对信号的单边带调制，并用MATLAB进行仿真。 程序如下：function M,m,df=fftseq(m,ts,df) % M,m,df=fftseq(m,ts,df)% M,m,df = fftseq(m,ts)fs = 1/ts;if nargin =2 n1 =0;else n1 = fs/df;end n2 = length(m);n = 2(max(nextpow2(
8、n1),nextpow2(n2);M = fft(m,n);m = m,zeros(1,n-n2);df = fs/n;function M,m,df1,f=T2F(m,ts,df,fs)M,m,df1=fftseq(m,ts,df);f=0:df1:df1*(length(m)-1)-fs/2;M=M/fs;%调制信号被调信号%当0tt0/3时为+1，当t0/3t2t0/3为-2，其它情况下为零echo on t0= .15; %信号的持续时间 ts = 0.001; %抽样间隔fc = 250; %载波频率snr = 10; %用dB表示信噪比fs = 1/ts; %抽样频率t = 0:t
9、s:t0; %时间向量 df = 0.2; %所需的频率分辨率Lt=length(t);snr_lin = 10(snr/10); %信噪比%被调信号m = ones(1,t0/(3*ts),-2*ones(1,t0/(3*ts),zeros(1,t0/(3*ts)+1);L=2*min(m);R=2*max(abs(m);pauseclffigure(1)subplot(5,2,1);plot(t,m(1:length(t);axis(0 t0 -R/2 R/2);xlabel(t);ylabel(调制信号);pause %按任意键可看到调制信号的曲线c1=cos(2*pi*fc*t);c2
10、=sin(2*pi*fc*t);subplot(5,2,5);u1=m(1:Lt).*c1(1:Lt)+hilbert(m(1:Lt).*c2(1:Lt);plot(t,u1);axis(0 t0 -R R);xlabel(t);ylabel(单边带信号-下边带);subplot(5,2,6);U1,u1,df1,f=T2F(u1,ts,df,fs);plot(f,fftshift(abs(U1);xlabel(f);ylabel(单边带信号-下边频谱);pausesubplot(5,2,9);u2=m(1:Lt).*c1(1:Lt)-hilbert(m(1:Lt).*c2(1:Lt);plo
11、t(t,u2);axis(0 t0 -R R);xlabel(t);ylabel(单边带信号-上边带);subplot(5,2,10); U2,u2,df1,f=T2F(u2,ts,df,fs);plot(f,fftshift(abs(U2);xlabel(f);ylabel(单边带信号-上边频谱);pause仿真结果如下列图所示：仿真结果中显示了调制信号、单边带信号下边带及其频谱、单边带信号上边带及其频谱。总结希尔伯特变换在信号分析与处理中发挥着非常重要的作用，利用它可以很简便的得到信号的幅值、相位、频率等信息，它也因此在通信等很多场合得到了广泛的应用。单边带调制的传输带宽不会大于消息带宽，
12、为调幅的一半；载频被抑制；节省功率，大大减小了电台相互间的干扰。此外，单边带传输受传播中频率选择性衰落的影响也较调幅为小，而且没有门限效应等。这些优点就使单边带技术的应用远远超出了短波通信的范围。所以，应用希尔伯特变换进行的单边带调制也有着非常明显的优点，在通信技术飞速开展的今天，它是一个相当重要的工具。 参考文献1 胡广书现代信号处理教程清华大学出版社，20042 陈怀琛，吴大正，高西泉.MATLAB及在电子信息课程中的应用.电子工业出版社，20063 陈后金.信号分析与处理实验.高等教育出版社，20064 吴大正.信号与线性系统分析第4版.高等教育出版社，20055 钱同惠.信号分析与处理.机械工业出版社，20066 张葛祥，李 娜. MATLAB仿真技术与应用.清华大学出版社，2003