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1、九年级数学圆的有关性质总复习圆的有关性质 圆的有关性质(一) 学问点回顾： 学问点一：圆的定义，驾驭点与圆的位置关系 1.圆上各点到圆心的距离都等于_. 2.圆是_对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的_；圆又是_对称图形，_是它的对称中心. 例1：（2022太原市）如图，在中，=90，=10，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（） AB5CD6 同步测试： 1如图，在ABCD中，BAD为钝角，且AEBC，AFCD （1）求证：A、E、C、F四点共圆； （2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N求证：BM=ND 学问点二：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角
2、等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做_ 2.同弧或等弧所对的圆周角_，都等于它所对的圆心角的_ 3.直径所对的圆周角是_，90所对的弦是_. 例2：如图3，O是等腰三角形的外接圆，为O的直径，连结，则_，_ 图3图4图5 同步测试： 1如图4，四边形ABCD内接于O，ADC90，B是弧AC的中点，AD20，CD15,求BD的长. 学问点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量_，那么它们所对应的其余各组量都分别_. 例3如图5，O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且ABCD，求证：AMNCNM 同步测试： 1下
3、列命题中，顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等。正确的是（） ABCD 学问点四：垂径定理 垂直于弦的直径平分_，并且平分_；平分弦（不是直径）的_垂直于弦，并且平分_. 例4：如图6，AB是O的弦，ODAB于D交O于E，则下列说法错误的是() AAD=BD?BACB=AOEC?DOD=DE 同步测试： 1如图7，的直径， 则弦的长为（） ABCD 学问点五：确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三角形的_、这个三角形是圆的_. 例5.如图8，在平面
4、直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点，已知点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_ 图6图7图8 随堂检测 1如图9，A、D是上的两个点，BC是直径，若D=35，则OAC的度数是（） A35B55C65D70 图9图10图11 2如图10，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，则AB的长为（） A2B3C4D5 3.如图11，已知O的两条弦AC，BD相交于点E，A=70o，c=50o，那么sinAEB的值为() A.B.C.D. 4如图：在ABC中，=90,AC=8,AB=10,点P在AC 上，AP=2，若O的圆心在线段BP上,O与AB，AC都 相切，则O的半径是() A1
5、BCD 5.如图12，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器_台 图12图13图14 6如图13，ABC内接于O，AB=BC，ABC=120，AD为O的直径，AD6，那么BD_ 7.如图15，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA=，则ABD=. 8.问题探究（1）请在图的正方形ABCD内，画出访APB90的一个点P，并说明理由（2）请在图的正方形ABCD内（含边），画出访APB60的全部的点P，并说明理由 问题解决 如图，现有一块矩形钢板ABCD，AB4，BC3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大
6、的APB和CPD钢板，且APBCPD60，请你在图中画出符合要求的点P和P，并求出APB的面积（结果保留根号） 中考数学总复习圆的有关计算导学案(湘教版) 第33课圆的有关计算【学问梳理】1.圆周长公式：2.n的圆心角所对的弧长公式：3.圆心角为n的扇形面积公式：、4.圆锥的侧面绽开图是；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为：；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面绽开图是：；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是：；圆柱的表面积的计算方法是：【留意点】【例题精讲】【例1】如图，正方形网格中，ABC为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转90，得到AB1C1（1）在正方形网格中
7、，作出AB1C1；（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长 【例2】如图，AB为O的直径，CDAB于点E，交O于点D，OFAC于点F（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当D=30，BC=1时，求圆中阴影部分的面积 【例3】如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A.3B.4C.D. 【例4】（庆阳）如图，线段AB与O相切于点C，连结OA、OB，OB交O于点D，已知OA=OB=6，AB=求：（1）O的半径；（2）图中阴影部分的面积 【当堂检测】1圆锥的底面半径为3cm
8、，母线为9，则圆锥的侧面积为（）A6B9C12D272在RtABC中，C=90，AC=12，BC=5，将ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是()A25B65C.90D1303圆锥的侧面绽开图形是半径为8cm，圆心角为120的扇形，则此圆锥的底面半径为（）AcmBcmC3cmDcm4.圆锥侧面积为8cm2,侧面绽开图圆心角为450,则圆锥母线长为（）A.64cmB.8cmC.D.5一个圆锥侧面绽开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（）ABCD6如图，有一圆心角为120o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）AcmBcmCcmD
9、cm7已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是2.8如图，两个同心圆的半径分别为2和1，AOB=120，则阴影部分的面积为 9如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）10王小刚制作了一个高12cm，底面直径为10cm的圆锥，则这个圆锥的侧面积是cm2.11如图，梯形中，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是12.制作一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面绽开图的扇形圆心角为度13.如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，则斜
10、边旋转到所扫过的扇形面积为14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB的长为9米，那么半径OA=_米.15.如图，AB是O的直径,BC是O的弦，半径ODBC,垂足为E，若BC=，DE=3求：(1)O的半径；(2)弦AC的长；(3)阴影部分的面积 初三数学与圆有关的位置关系总复习 第25讲与圆有关的位置关系锁定目标考试 考标要求考查角度1.探究并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系2知道三角形的内心和外心3了解切线的概念，并驾驭切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，
11、常与三角形、四边形、相像、函数等学问结合在一起综合考查圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.导学必备学问 学问梳理一、点与圆的位置关系1点和圆的位置关系点在圆_，点在圆_，点在圆_2点和圆的位置关系的推断假如圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外_；点在圆上_；点在圆内_.3过三点的圆(1)经过三点的圆：经过在同始终线上的三点不能作圆；经过不在同始终线上的三点，有且只有一个圆(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的_；这个三角形叫做这个圆的内接三角形二、直线与圆的位置关系1
12、直线和圆的位置关系_、_、_.2概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的_；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_3直线和圆的位置关系的推断假如圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和O相交_；直线l和O相切_；直线l和O相离_.三、切线的判定和性质1切线的判定方法(1)经过半径的_并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离_半径的直线是圆的切线2切线的性质圆的切线垂直于经过_的半径3切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
13、相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角四、三角形(多边形)的内切圆1与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_，这个三角形叫做圆的_三角形；(2)和多边形各边都_的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形2三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条_的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部五、圆与圆的位置关系1概念两圆外离：两个圆_公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆外切：两个圆有_的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆相交：两个圆有_公共点；两圆内切：两个圆有_的公共
14、点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆内含：两个圆_公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的_2圆与圆位置关系的推断设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2D两圆外离d_；两圆外切d_；两圆相交_d_(Rr)；两圆内切d_(Rr)；两圆内含_d_(Rr)六、两圆位置关系的相关性质1两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过_(2)相交两圆的连心线垂直平分_2两圆位置关系中常作的协助线(1)两圆相交，可作公共弦(2)两圆相切，可作公切线自主测试1在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，A的半径为2.下列说法中不正确的是()A当a5时，点B在A内B当1
15、a5时，点B在A内C当a1时，点B在A外D当a5时，点B在A外2(2022江苏无锡)已知O的半径为2，直线l上有一点P满意PO2，则直线l与O的位置关系是()A相切B相离C相离或相切D相切或相交3(2022湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为()A3cmB4cmC6cmD8cm4如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有()A内切、相交B外离、相交C外切、外离D外离、内切5(2022四川乐山)O1的半径为3厘米，O2的半径为2厘米，圆心距O1O25厘米，这两圆的位置关系是()A内含B内切C相交D外切
16、6如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为_7(2022山东济宁)如图，AB是O的直径，AC是弦，ODAC于点D，过A作O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是O的切线探究重难方法 考点一、点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB8，BC35，点P在边AB上，且BP3AP，假如圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列推断正确的是()A点B，C均在圆P外B点B在圆P外、点C在圆P内C点B在圆P内、点C在圆P外D点B，C均在圆P内解析：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求
17、出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发觉答案在RtADP中，DPAD2AP27，在RtBCP中，BP6，PCBC2BP29.PCDP，BPDP，点B在圆P内，点C在圆P外答案：C方法总结解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系触类旁通1若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与O的位置关系是()A点A在圆外B点A在圆上C点A在圆内D不能确定考点二、切线的性质与判定【例2】如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DBDPDCDO23.(1)求证：直线PB是O的切线；(2
18、)求cosBCA的值分析：(1)连接OB，OP，由DBDPDCDO23，且DD，依据三角形相像的判定定理得到BDCPDO，可得到BCOP，易证得BOPAOP，则PBOPAO90；(2)设PBa，则BD2a，依据切线长定理得到PAPBa，依据勾股定理得到AD22a，又BCOP，得到DC2CO，得到DCCA1222a2a，则OA22a，利用勾股定理求出OP，然后依据余弦函数的定义即可求出cosBCAcosPOA的值解：(1)证明：连接OB，OP，DBDPDCDO23，且DD，BDCPDO，DBCDPO，BCOP，BCOPOA，CBOBOP.OBOC，OCBCBO，BOPPOA又OBOA，OPOP，
19、BOPAOP，PBOPAO.又PAAC，PAO90，PBO90，直线PB是O的切线(2)由(1)知BCOPOA，设PBa，则BD2a，又PAPBa，ADDP2PA222A又BCOP，DC2CO，DCCA12AD1222a2a，OA22a，OPOA2PA222a2a262a，cosBCAcosPOAOAOP33.方法总结1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明2利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角
20、触类旁通2如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点C，DABB30.(1)直线BD是否与O相切？为什么？(2)连接CD，若CD5，求AB的长考点三、三角形的内切圆【例3】如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8.则ABC的内切圆半径r=_.解析：在RtABC中，ABAC2BC2628210.SACB12ACBC126824，r2Sabc4868102.答案：2方法总结三角形的内切圆半径r2Sabc，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长触类旁通3如图所示，O是ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知A=100，C=30，则DFE的度数是()A55B60C65D70考点四、
21、圆与圆的位置关系【例4】在ABC中，C90，AC3cm，BC4cm，若A，B的半径分别为1cm,4cm，则A，B的位置关系是()A外切B内切C相交D外离解析：如图所示，由勾股定理可得ABAC2BC232425(cm)，A，B的半径分别为1cm,4cm，圆心距dRr，A，B的位置关系是外切答案：A方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可触类旁通4若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为_品鉴经典考题
22、1(2022湖南常德)若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为()A外切B内切C外离D相交2(2022湖南怀化)如图，点P是O外一点，PA是O的切线，切点为A，O的半径OA2cm，P30，则PO_cm.3(2022湖南湘潭)如图，ABC的一边AB是O的直径，请你添加一个条件，使BC是O的切线，你所添加的条件为_4.(2022湖南株洲)如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O切于C点，A30.求证：(1)BDCD；(2)AOCCDB5.(2022湖南常德)如图，已知ABAC，BAC120，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且O过点A，过点A作ADBC
23、交O于点D求证：(1)AC是O的切线；(2)四边形BOAD是菱形研习预料试题 1如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是()A点(0,3)B点(2,3)C点(5,1)D点(6,1)2如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且COCD，则PCA()A30B45C60D67.53如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切O于点B，则PB的最小值是()A13B5C3D24两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是()A内切B相交C外切D外离5两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0,1
24、)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是()A相离B相交C外切D内切6如图，ACB60，半径为1cm的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是_cm.7如图，直线AB与半径为2的O相切于点C，D是O上一点，且EDC30，弦EFAB，则EF的长度为_8如图所示，AB是O的直径，以OA为直径的O1与O的弦AC相交于D，DEOC，垂足为E.(1)求证：ADDC；(2)求证：DE是O1的切线；(3)假如OEEC，请推断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论参考答案【学问梳理】一、1.外上内2drdrdr3(2)外心二、1.相离相切相交2(
25、1)相交割线(2)相切(3)相离3drdrdr三、1.(1)外端(2)等于2.切点四、1.(1)相切内心外切(2)相切2角平分线五、1.没有外部唯一外部两个唯一内部没有内部2RrRrRrRrRr0Rr六、1.(1)切点(2)公共弦导学必备学问自主测试1A2D因为O的半径为2，PO2，则直线l与O至少有一个交点，则直线l与O的位置关系是相切或相交3C设切点为E，连接OA，OE.在RtOAE中，AE52423(cm)，所以AB6cm.4B5.D6.237解：(1)ODBC，OD12BC.证明：ODAC，ADDC.AB是O的直径，OAOB，BCAC，OD是ABC的中位线，ODBC，OD12BC.(2
26、)证明：连接OC.设OP与O交于点E，连接AE，CE.ODAC，OD经过圆心O，即AOECOE.在OAP和OCP中，OAOC，OPOP，OAPOCP，OCPOAP.PA是O的切线，OAP90，OCP90，即OCPC.PC是O的切线探究考点方法触类旁通1.C触类旁通2.分析：(1)连接OD，证明ODB90即可；(2)利用30所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证BCCD5.解：(1)直线BD与O相切理由如下：如图，连接OD，ODA=DAB=B=30，ODB180ODADABB18030303090，即ODBD.直线BD与O相切(2)由(1)知，ODADAB30，DOBODADAB60.又OCO
27、D，DOC是等边三角形OAODCD5.又B30，ODB90，OB2OD10.ABOAOB51015.触类旁通3.CA100，C30，B180AC50.ODAB，OEBC，DOE180B130.DFE12DOE65.触类旁通4.3或17由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为dRr，即|10r|7，所以r3或17.品鉴经典考题1C2467，两圆外离24PA是O的切线，OAP90.P30，PO2OA224(cm)3ABBC依据切线的判定方法，BC已经过半径的外端，所以应添加ABBC.4证明：(1)AD为O的直径，ACD90.又A30，OAOCOD，ACO30，ODCOCD60.又BC与O切于
28、点C，OCB90.BCD30.B30.BCDB.BDCD.(2)AACOBCDB30，ACBC.AOCBDC.5证明：(1)ABAC，BAC120，ABCC30.点A，B都在O上，OAOB.BAOABC30.OACBACBAO1203090.又OA为半径，CA经过点A，CA是O的切线(2)如图，连接DO，ADBC，DAB=ABC=30.BOD=2DAB=60.ADO=BOD=60.又BO=DO，BOD=ODB=DBO=60.BO=DO=DB.同理AD=DO=AO.AD=DB=BO=AO.四边形BOAD是菱形研习预料试题1C2.D3.B4.B5D因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x轴和y轴上，与
29、坐标原点构成直角三角形，所以圆心距为(3)2122.而两圆的半径之差等于2，即dr1r2(r1r2)所以两圆内切6.37.23如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点AB是O的切线，OCAB.EFAB，OCEF.EG=12EF.O=2D=60，EG=OEsin60=3.EF=23.8.解：(1)证明：如图，连接OD，AO是O1的直径，ADO=90.AC为O的弦，ODAC，AD=DC.(2)证明：D为AC中点，O1为AO中点，O1DOC.又DEOC，DEO1D.DE与O1相切(3)O1OED为正方形证明：OE=EC，且D为AC中点，DEO1O.又O1DOE，四边形O1OED为平行四边形又DEO=90，O1O=O1D，四边形O1OED为正方形 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页