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1、九年级数学圆的基本性质复习课教案九年级数学竞赛圆的基本性质优化教案 【例题求解】 【例1】在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC度数为 作出协助线，解直角三角形，留意AB与AC有不同的位置关系 注：由圆的对称性可引出很多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形学问结 合起来 圆是一个对称图形，留意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性 【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为() ABCD 思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆
2、形的某些顶点，通过设未知数求解 【例3】如图，已知点A、B、C、D顺次在O上，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM 思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它 【例4】如图甲，O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M (1)求COA和FDM的度数； (2)求证：FDMCOM； (3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上随意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试推断：此时是否有FDMCOM?证明你的结论 思路点拨
3、(1)在RtCOG中，利用OG=OA=OC；(2)证明COM=FDM，CMO= FMD；(3)利用图甲的启示思索 注：擅长促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，相识到圆可为解与直线形问题供应新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的学问与方法(主要是指全等与相像) 【例5】已知：在ABC中，AD为BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD4：3 (1)求证：AFDF； (2)求AED的余弦值； (3)假如BD10，求ABC的面积 思路点拨(1)证明ADEDA
4、E；(2)作ANBE于N，cosAED，设FE=4x，FD3x，利用有关学问把相关线段用x的代数式表示；(3)找寻相像三角形，运用比例线段求出x的值 注：本例的解答，需运用相像三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等学问方法思想，综合运用直线形相关学问方法思想是解与圆相关问题的关键 学历训练 1D是半径为5cm的O内一点，且OD3cm，则过点D的全部弦中，最小弦AB= 2阅读下面材料： 对于平面图形A，假如存在一个圆，使图形A上的随意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖 对于平面图形A，假如存在两个或两个以上的圆，使图形A上的随意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大
5、于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖 例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖 回答下列问题： (1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm； (2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm； (3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm (2022年南京市中考题) 3世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有朝气，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么漂亮与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性 (1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有 (分别用下面三个图
6、的代号a，b，c填空) (2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图)(用尺规画或徒手画均可，但要尽可能精确些，美观些) a是轴对称图形但不是中心对称图形 b既是轴对称图形又是中心对称图形 4如图，AB是O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为() A12cmB10cmC8cmD6cm 5一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB8，则弓形的高CD为() A2BC3D 6如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，假如AB+CD=EF，那么AB+CD与E的大小关系是（） AAB+CDEFBAB+CD=FC
7、AB+CDEFD不能确定 7电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”现为了生产某种CPU芯片，须要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干假如晶圆片的直径为1005cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗) 8如图，已知O的两条半径OA与OB相互垂直，C为AmB上的一点，且AB2+OB2=BC2，求OAC的度数 9不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE，垂足为E，BF，垂足为F (1)在下面三个圆中分别补画出满意上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你视察(1)中所画图形，写出
8、一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连协助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论 10以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2ACBC， 则CAB= 11如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A上，若BC=5，则折痕在ABC内的部分DE长为 12如图，已知AB为O的弦，直径MN与AB相交于O内，MCAB于C，NDAB于D，若MN=20，AB=，则MCND= 13如图，已知O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96，BD的度数为36，动点P在AB上，
9、则CP+PD的最小值为 14如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于随意点P，在射线OP上取一点P，使得OPOP=r2，这种把点P变为点P的变换叫作反演化换，点P与点P叫做互为反演点 (1)如图2，O内外各有一点A和B，它们的反演点分别为A和B，求证：A=B； (2)假如一个图形上各点经过反演化换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形 选择：假如不经过点O的直线与O相交，那么它关于O的反演图形是() A一个圆B一条直线C一条线段D两条射线 填空：假如直线与O相切，那么它关于O的反演图形是，该图形与圆O的位置关系是 15如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线
10、AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=06，求四边形ABCD的周长 16如图，已知圆内接ABC中，ABAC，D为BAC的中点，DEAB于E，求证：BD2-AD2=ABAC 17将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到01cm) 18如图，直径为13的O，经过原点O，并且与轴、轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别是方程的两根 (1)求线段OA、OB的长； (2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点坐标； (3)在O，上是否存在点P，使SPOD=SABD?若存
11、在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 中考数学总复习圆的基本性质导学案(湘教版) 第31课圆的基本性质 【学问梳理】 1圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦： 2圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的
12、圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径 3三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同始终线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的外心：（3）三角形的内心： 4.圆心角的度数等于它所对弧的度数圆周角的度数等于它所对弧的度数一半 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 【例题精讲】 例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A5米B8米C7米D5米 例题2.如图O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不行能为（） A2B3C4D5 例题1图例题2图例题3图例题4图 例题3.如图O弦AB=6，M是AB上随意
13、一点，且OM最小值为4，则O半径为（） A5B4C3D2 例题4.如图，O的半径为1，AB是O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（）A.30B.60C.30或150D.60或120 例题5AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30,O的半径为，则弦CD的长为（）ABCD 例题6.如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接（1）细致视察图形并写出四个不同的正确结论：_，_，_，_（不添加其它字母和协助线）（2）=，=，求的半径 【当堂检测】 1.如图，P内含于O，O的弦AB切P于点C，且ABOP若阴影部分的面积为，则弦AB的长为（）A3B4C6D9 2.如图，AB
14、C内接于O，若OAB28，则C的大小为（） A28B56C60D62 第1题图第2题图第3题图第5题图第6题图 3.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30,O的半径为，则弦CD的长为（）ABCD 4.O的半径为10cm，弦AB12cm，则圆心到AB的距离为（） A2cmB6cmC8cmD10cm 5.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，连结OC，若OC5，CD8， 则tanCOE（）ABCD 6如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，则AB的长为（） A2B3C4D5 7.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上假如它们外
15、缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_（只需写出的角度） 第7题图第8题图第9题图 8.如图，O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_ 9.如图，AB是0的直径，弦CDAB若ABD65，则ADC_. 10如图，半圆的直径，点C在半圆上， （1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求长 九年级数学圆的有关性质总复习 第24讲圆的有关性质锁定目标考试 考标要求考查角度1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，驾驭垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理
16、有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用题型以选择题、填空题为主.导学必备学问学问梳理一、圆的有关概念及其对称性1圆的定义(1)圆是平面内到肯定点的距离等于定长的全部点组成的图形这个定点叫做_，定长叫做_；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径2圆的有关概念(1)连接圆上随意两点的_叫做弦；(2)圆上随意两点间的_叫做圆弧，简称弧；(3)_相等的两个圆是等圆；(4)在同圆或等圆中，能够相互_的弧叫做等弧3圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称
17、图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转随意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论1垂径定理垂直于弦的直径_这条弦，并且_弦所对的两条弧2推论1(1)平分弦(_)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对的_弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论2圆的两条平行弦所夹的弧_4(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中随意两项，则必具备另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
18、弧_，所对的弦_2推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立四、圆心角与圆周角1定义顶点在_上的角叫做圆心角；顶点在_上，角的两边和圆都_的角叫做圆周角2性质(1)圆心角的度数等于它所对的_的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对_的度数的一半(3)同弧或等弧所对的圆周角_，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_(4)半圆(或直径)所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补自主测试1(2022重庆)如图，已知OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为()
19、A45B35C25D202(2022山东泰安)如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是()ACMDMBCACDADCDOMMD3(2022浙江湖州)如图，ABC是O的内接三角形，AC是O的直径，C50，ABC的平分线BD交O于点D，则BAD的度数是()A45B85C90D954(2022浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_mm.5(2022四川成都)如图，AB是O的弦，OCAB于C若AB23，OC1，则半径OB的长为_6(2022山东青岛)如图，点A，B
20、，C在O上，AOC60，则ABC的度数是_.探究重难方法 考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，假如再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()A6分米B8分米C10分米D12分米分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，设OE=x，则OF=x-1，在RtOAE中，OA2=AE2+OE2，在RtOCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半径OA，得出
21、直径MN.解析：如图，依题意得AB6，CD8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE12AB3，CF12CD4，设OEx，则OFx1，在RtOAE中，OA2AE2OE2，在RtOCF中，OC2CF2OF2，OAOC，32x242(x1)2，解得x4.半径OA32425.直径MN2OA10(分米)故选C答案：C方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的触类旁通1如图所示，若O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为_cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关
22、系【例2】如图，已知A，B，C，D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD，AD(1)求证：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的长解：(1)证明：ABBC，.ADBBDC，DB平分ADC(2)由(1)知，BAEADBABEABD，ABEDBAABBEBDAB.BE3，ED6，BD9.AB2BEBD3927.AB33.方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，供应了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等供应了新思路，解题时要依据详细条件敏捷选择应用触类旁通2如图，AB是O的直径，C，D两点在O上，若C=40，则ABD的度数为()A40B50C80D90
23、考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD58，则BCD()A116B32C58D64解析：依据圆周角定理求得，AOD2ABD116(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，BOD2BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；依据平角是180知BOD180AOD还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90，可得ADB90，则DAB90ABD32，DABDCB，DCB32.答案：B方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系触类旁通3如图，点A，B，C，D都在O上，的度数等于84，CA是OCD的平分线，则ABDCAO_.品鉴经典考
24、题 1(2022湖南湘潭)如图，在O中，弦ABCD，若ABC40，则BOD()A20B40C50D802(2022湖南益阳)如图，点A，B，C在圆O上，A60，则BOC_.3(2022湖南娄底)如图，O的直径CD垂直于AB，AOC48，则BDC_.4.(2022湖南长沙)如图，点A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满意BACAPC60.(1)求证：ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD5.(2022湖南怀化)如图，已知AB是O的弦，OB4，OBC30，点C是弦AB上随意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接AD，DB(1)当ADC18时，求DOB的度数；(2
25、)若AC23，求证：ACDOCB研习预料试题 1.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，假如AB=10，CD=8，那么线段OE的长为()A5B4C3D22.如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点，则OBC的余弦值为()A12B34C32D453.一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()A16B10C8D64如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE8个单位，OF6个单位，则圆的直径
26、为()A12个单位B10个单位C4个单位D15个单位5如图，已知在圆内接四边形ABCD中，B30，则D_.6如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，假如A63，那么DBE_.7如图，ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC5，DC3，AB42，则O的直径等于_8.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：(1)ABD为等腰三角形；(2)ACAF=DFFE.参考答案【学问梳理】一、1.(1)圆心半径2(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合二、1.平分平分2(1)不是直径(2)
27、圆心两条3相等三、1.相等相等四、1.圆心圆相交2(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径导学必备学问自主测试1AOAOB，AOB90，ACB45.故选A.2DAB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，M为CD的中点，即CMDM，选项A成立；B为的中点，即CBDB，选项B成立；在ACM和ADM中，AMAM，AMCAMD90，CMDM，ACMADM(SAS)，ACDADC，选项C成立；而OM与MD不肯定相等，选项D不成立故选D.3BAC是O的直径，ABC90.ABC的平分线BD交O于点D，ABD45.C50，D50，BAD的度数是180455085.48如图所示，在O中，连接OA，过点O作O
28、DAB于点D，则AB2AD.钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5mm.钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD3mm.在RtAOD中，ADOA2OD252324(mm)AB2AD248(mm)故答案为8.52AB是O的弦，OCAB于C，AB23，BC12AB3.OC1，在RtOBC中，OBOC2BC212(3)22.故答案为2.6150因为AOC60，则它所对的弧度为60，所以ABC所对的弧度为300.因为ABC是圆周角，所以ABC150.探究考点方法触类旁通1.24连接OA，当OPAB时，OP最短，此时OP5cm，且AB2AP.在RtAOP中，APOA2OP21325212，所以AB24cm.
29、触类旁通2.B由题意，得AC40，由直径所对的圆周角是直角，得ADB90，依据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得AABD90，从而得ABD50.触类旁通3.48因为的度数等于84，所以COD84.因为OCOD，所以OCD48.因为CA是OCD的平分线，所以ACDACO24，因为OAOC，所以OACACO24，因为ABDACD24，所以ABDCAO48.品鉴经典考题1DABCD，CABC40.BOD2C24080.2120BOC2A260120.324连接OB，CDAB，BOCAOC48.BDC12BOC124824.4(1)证明：ABCAPC，BACAPC60，ABCBAC60.ABC是
30、等边三角形(2)解：如图，连接OB，则OB8，OBD30.又ODBC于点D，OD12OB4.5.(1)解：连接OA.ADC=18，AOC=2ADC=36.OA=OB，OAC=OBC=30.OCB=OAC+AOC=66.DOB=OCB+OBC=96.(2)证明：过点O作OEAB于点E.在RtOBE中，OB4，OBC30，BEOBcos3043223.OEAB，AB2BE43.AC23，C，E重合ACDOCB90，AOCCOB90OBC60.ADC12AOC30.ADCOBC.ACDOCB.研习预料试题1C2.C3.A4.B51506.187.52连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)AE为
31、O的直径，ABE=90.ABE=ADC.又AEB=ACD，ABEADC.ABAD=AEAC.在RtADC中，AC=5，DC=3，AD=4.AE=52.8证明：(1)由圆的性质知MCDDAB，DCADBA，而MCDDCA，DBADAB，故ABD为等腰三角形(2)DBADAB，.又BCAF，CDBFDA，CDDF.由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，AFEDBADCA，FAEBDE.CDACDBBDAFDABDABDEFAE，由得CDAFAE.ACFECDAF，ACAFCDFE.而CDDF，ACAFDFFE. 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页