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1、丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 快乐每一天，收获多一点。等比数列及其前n项和 教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。知识回顾：1定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。用递推公式表示为)2(1nqaann或qaann1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是等比数列的关
2、键）2通项公式：等比数列的通项为：11nnqaa。推广：mnmnqaa 3中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项；其中abG2。4等比数列的前n 项和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn 5等比数列项的性质（1）在等比数列 na中，若m，n，p，qN且mnpq，则qpnmaaaa；特别的，若m，p，qN且qpm2，则qpmaaa2。（2）除特殊情况外，,.,232nnnnnSSSSS也成等比数列。nqq。（其中特殊情况是当 q=-1 且 n 为偶数时候此时nS=0，但是当 n 为奇数是是成立的）。4、证明等比数列的方法（1）证：qaann1（常数）；（2）证：1
3、12nnnaaa（2n）.考点分析 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民穷则独善其身，达则兼善天下。孟子 快乐每一天，收获多一点。考点一：等比数列基本量计算 例1、已知 na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与 27a的等差中项为54，求5S。例 2、成等差数列的三项正数的和等于 15，且这三个数加上 2、5、13 后成等比数列 nb中的543,bbb。（1）求数列 nb的通项公式；（2）求数列 nb的前n和为nS。练习：1、设 na是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知142aa,37S,则5S A215 B 431 C 433 D217 2、在
4、等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.3、已知正项数列an为等比数列，且 5a2是a4与 3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5 项的和为()B31 D 以上都不正确 4、设an是首项为a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_ 5、（4）、已知 na是首项为 1 的等比数列，nS是 na的前n项和，且639SS，则数列1na的前 5 项和为（）。A158或 5 B3116或 5 C3116 D158 考点二：等比数列性质应用 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹
5、 快乐每一天，收获多一点。例 2、设nS为等比数列 na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q A3 B4 C5 D6 练习：1、在等比数列 na中，201020078aa，则公比q的值为 A2 B3 C4 D8 例 3、等比数列 na满足：1161 aa，93243aa，且公比 1,0q（1）数列 na的通项公式；（2）若该数列的前n项和21nS，求n的值。练习：1、已知正项等比数列 na满足25932aaa，22a，则1a 。2、已知等比数列 na满足25932aaa，22a，则1a 。3、已知等比数列 na满足18,251aa，则432aaa_。4、在等比数列an中，各项均
6、为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.例 4、等比数列 na满足0na，nN*，且473aa，则当1n时，92322212log.logloglogaaaa .例 5、等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若S10S53132，则公比q_.练习：1、已知正项等比数列 na满足5321aaa，10987aaa，则654aaa_。2、在等比数列 an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.例 6、设等比数列 an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3_.练习：1、设等比数列 an的前n项和为Sn，若336SS，则69SS_
7、.考点三：等比数列的证明 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹 快乐每一天，收获多一点。例7、（2017 成都市高三一诊）已知数列 na满足42,211nnaaa。（1）证明数列4na是等比数列。（2）求数列 na的前 n 项和nS。练习：1、已知数列 na满足12,311naaann，数列 nb满足nabnn。证明数列 nb为等比数列。2、已知数列 na满足nnnaaa221，数列 nb满足)1(lgnnab。证明数列 nb为等比数列。3、在数列 na中，*11,21,21Nnannaann。求证：数列nan为等比数列。例 8、已知 )1(4,)1(
8、2xxgxxf，数列 na满足：1,21naa且)()()()*1Nnafagaannnn（。证明：数列1na是等比数列。练习 1、已知函数212)(xxxf，数列 na满足),2(1Rttta，)(1Nnafann（1）若数列 na是常数列，求t；（2）当21a时，记)(11Nnaabnnn，证明：数列 nb是等比数列，并求出数列 na的通项公式。例 9、已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 快乐每一天，收获多一点。(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)
9、求数列an的通项公式 练习：1、设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式 例 10、已知数列 na的首项123a，121nnnaaa，*nN证明：数列11na是等比数列。小结与拓展：（1）定义法：qaann1（Nn，q是常数）na是等比数列；（2）中项法：221nnnaaa(Nn)na是等差数列。考点四：等差、等比数列的综合应用 例 11、在等差数列 na中，50,302010aa(1)求数列 na的通项公式；(2)令102nnab，证明：数列 nb为等比数列；吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交
10、而不信乎？传不习乎？论语以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民 快乐每一天，收获多一点。练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。例 12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红 500 万元该企业 2010 年年底分红后的资金为1 000 万元(1)求该企业 2014 年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500 万元 习题 1、在等比数列 na中，（1）74,3,27aqa求；（2
11、）32415,6,15aaaaa求；（3）已知qaSa与求133,29,23。2、已知 na为等比数列，324202,3aaa，求 na的通项式。3、已知等比数列 na满足71134aaa，数列 nb是等差数列满足77ba 则95bb 4、设等比数列 na的公比2q，前 n 项和为nS，则42Sa（）A2 B4 C215 D217 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易 快乐每一天，收获多一点。5、设nS为等比数列 na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q A3 B4 C5 D6 6
12、、设nS为等比数列 na的前n项和，2580aa则52SS A-11 B8 C5 D11 7、设正项等比数列 na的前n项和为nS，已知43a，122542aaa（1）数列 na的通项公式；（2）若该数列的前n项和1210nS，求n的值。8、设nS为数列 na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数。（1）求1a及na；（2）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值 9、在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.10、（选做题）已知数列 na，nb满足：1a，4321naann，)213()1(nabnnn其中为实数，n为正正数。（1）对任意的实数，证明数列 na不是等比数列；（2）试判断数列 nb是否是等比数列，并证明你的结论。