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1、等比数列及其前项和 教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前”项和；性质。2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关 的简单问题。知识回顾：1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。用递推公式 表示为 d=cg2)或也=q。注意：等比数列的公比和首项都不为零。(证明数列是%等比数列的关键)2.通项公式：等比数列的通项为：推广n 虻 3.中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项；其中G2=abo 4.等比数列的前项
2、和公式 g(q=l)1-？5.等比数列项的性质(1)在等比数列冷中，若m,n,p,qwN+且m+n=p+q,则aman=apaq；特别的，若m,p,q w 孔且 2m=p+q,则 a J=apaq o(2)除特殊情况外，S“,S2“-,&”-”，也成等比数列。c(=qn.(其中特殊情况是当q=l且n为偶数时候此时S”=0,但是当n为奇数是是成立的)。4、证明等比数列的方法(1)证：也已=g(常数)：(2)证：2)考点分析 考点一：等比数列基本量计算 例1、已知为等比数列，S”是它的前项和。若幺2色=2,且 5 与2如的等差中项 为扌，求氏 例2、成等差数列的三项正数的和等于15,且这三个数加上
3、2、5、13后成等比数列中 的 b3,b4,b5。（1）求数列0”的通项公式；（2）求数列仇的前”和为S”。练习：1、设仏是有正数组成的等比数列，S”为其前项和。已知心心=1严7,则S厂 2、在等比数列昂中，若at a2=69条一昂=15,则日3=_ 3、已知正项数列幺为等比数列，且5彳是/与3越的等差中项，若还=2,则该数列的前 5项的和为（）33 31 A.B.31 C.D.以上都不I:确 12 4 4、设幺是首项为纽，公差为一1的等差数列，S为其前力项和.若S，S,5成等比数 列，则鸟的值为 _ 5、（4）、已知匕是首项为1的等比数列，S,_是的前“项和，且953=56,则数列、0,刀w
4、N,且=4,则当nX1时，log?q+log,a2+log,a3+.+log2 a）=_.c 01 例5、等比数列UJ的首项&=一1,前27项和为$,若丘=帀，则公比.练习：1、已知正项等比数列满足山2“3=5，皿=1。，则a4a5a6=_ o 2、在荐比数列昂中，右还 3吕1=1,11516=8 9则 如.加】3刘=_ 例6、设等比数列幺的前n项和为S，若：=1：2,则$:5=_.练习：1、设等比数列&的前刀项和为心若眷=3,则尹=_.考点三：等比数列的证明 例7、（2017市高三一诊）已知数列仏满足终=-2卫卄严2+4。（1）证明数列仏+4是等比数列。（2）求数列仏的前n项和S”。练习：1
5、、已知数列仏满足q=3山曲=2冷-川+1,数列%满足ba。证明数列 为等比数列。2、已知数列仏满足伽如+绍,数列您满足仇=iga+i）。证明数列为等比数 列。例 8、已知/(x)=(x-l)g(x)=4(x-l),数列仏满足:a=2.atl Hl 且(an-an_x)g(a)=f(a)(n e N*)o 证明：数列-1 是等比数列。2 Y+1 练习1、已知函数/（X）=-,数列”满足=/（/2,（R）,%=/（“）（,疋“）x+2（1）若数列”是常数列，求7;（2）当口=2时，记化=乞二1（疋“），证明：数列是等比数列，并求出数列仏的 5-1 通项公式。例9、已知数列aj的前n项和为S”且念+
6、$=/?3、在数列仏中,听列页3 已N。求证:数列乞了为等比数列。设c=a-l9求证:q是等比数列;(2)求数列$的通项公式.练习：1、设数列&的前刀项和为S,已知a：=l,S+=4念+2.设ba=a-2aB，证明：数列仏,是等比数列；(2)求数列邛的通项公式.小结与拓展：(1)定义法：也Zg,q是常数)0仏是等比数列;(2)中项法：伽2=%d”+2(wN+)o”是等差数列。考点四：等差、等比数列的综合应用 例11、在等差数列仏中，10=30,=50 求数列“”的通项公式；(2)令b=2an-0，证明:数列尙为等比数列;练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列
7、，如 果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项乂成为等比数列，求原来的等比 数列。例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股 东们分红500万元.该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；例10、已知数列仏的首项%产旦,3 5+1 皿M证明：数列丄-1是等比数列。e.(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.习题15.3 1、在等比数列“”中，偏=27,彳=一3,求吗；(2)色 一4=15心一=6,求；1 Q(3)已知卬3=上3=,求q与q。2 2 2、已知为等比数列，佝=2卫
8、2+5=罟，求的通项式。3、已知等比数列仏满足他如=4如,数列是等差数列满足5=1片则+心=4、设等比数列仏的公比q=2,前n项和为则丄=()(I r 5、设以为等比数列%的前项和，已知3S3=%-2,3$2=他-2,则公比9=A.3 B.4 C 5 D 6 c 6、设S”为等比数列仏的前项和，8t/2+5=0则寻=A.-11 B.8 C.5 D.11 7、设正项等比数列尙的前“项和为S“，已知他=4,%必2=2门（1）数列仏的通项公式；（2）若该数列的前项和5=210-1,求的值。8、设S”为数列仏的前5项和，S 产S+n,心“，其中是常数。（1）求及 ；（2）若对于任意的e N*,5,a2m,“伽成等比数列，求斤的值 9、在数列鸟中，&=2,8”+1=4绻一3门+1,nN*.（1）证明数列玄一门是等比数列；（2）求数列&的前力项和 2 10、（选做题）已知数列%,仇满足:=2,%=_ 冷+4,久=（-1）“（色-3口+21）其中几为实数，为正正数。（1）对任意的实数几，证明数列”不是等比数列；（2）试判断数列0”是否是等比数列，并证明你的结论。