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1、谋事在人，成事在天！增广贤文云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫 旋转拔高练习 一、选择题 1.（广东）如图，把一个斜边长为 2 且含有 300角的直角三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 900到 A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【】A B3 C33+42 D113+124 1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形 ACA1、BCD 和 ACD 计算即可：在 ABC 中，ACB=90，BAC=30，AB=2，BC=12AB=1，B=90 BAC=60。22ACABBC3。ABC13SBCAC22。设点 B 扫过的路线与 AB 的交点为
2、D，连接CD，BC=DC，BCD 是等边三角形。BD=CD=1。点 D 是 AB 的中点。ACDABC1133SS2224S。1ACDACABCDABCSSS扇形扇形的面扫过积 22903 601333113 3603604464124（）故选 D。2.（湖北）如图，O 是正 ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO，下列结论：BOA 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到；点 O 与 O的距离为 4；AOB=150；AOBOS=6+3 3四形边；AOCAOB9 3SS6+4VV其中正确的结论是【】A B C D 2
3、【分析】正 ABC，AB=CB，ABC=600。线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600 ABO=OBA。BOA BOC。BOA 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到。故结论正确。连接 OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在 AOO中，三边长为 OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOO OOB=900600=150。故结论正确。AOOOBOAOBO11SSS3 4+4 2 36+4 322 四形边。故结论错误。如图所示，将
4、AOB 绕点 A 逆时针旋转 60，使得 AB 与 AC 重合，其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹点 O 旋转至 O点易知 AOO是边长为 3 的等边三角形，COO是边长为 3、4、5 直角三角形。则AOCAOBAOCOCOOAOO113 39 3SSSSS3 4+3=6+2224 。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选 A。3.（四川）如图，P 是等腰直角 ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，已知 APB=135，PA：PC=1：3，则 PA：PB=【】。A1：2 B1：2 C3：2 D1：3 3、【分析】如图，连
5、接 AP，BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BP，BP=BP，ABP+ABP=90。又 ABC 是等腰直角三角形，AB=BC，CBP+ABP=90，ABP=CBP。在 ABP 和 CBP中，BP=BP，ABP=CBP，AB=BC，ABP CBP（SAS）。AP=PC。PA：PC=1：3，AP=3PA。连接 PP，则 PBP是等腰直角三角形。BPP=45，PP=2 PB。APB=135，APP=135-45=90，APP是直角三角形。设 PA=x，则 AP=3x，在 Rt APP中，2222PPAPP A3xx2 2 x。在 Rt APP中，PP2PB。2PB=22 x，解得 PB=2x。PA
6、：PB=x：2x=1：2。故选 B。4.（贵州）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90，得线段 PE，连接 BE，则 CBE 等于【】A75 B60 C45 D30 4【分析】过点 E 作 EFAF，交 AB 的延长线于点 F，则 F=90，四边形 ABCD 为正方形，AD=AB，A=ABC=90。ADP+APD=90。由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90。ADP=EPF。在 APD 和 FEP 中，ADP=EPF，A=F，PD=PE，APD FEP（AAS）。AP=EF，AD=PF。又
7、AD=AB，PF=AB，即 AP+PB=PB+BF。AP=BF。BF=EF 又 F=90，BEF 为等腰直角三角形。EBF=45。又CBF=90，CBE=45。故选 C。【答案】C。5.（广西）如图，等边 ABC 的周长为 6，半径是 1 的O 从与 AB 相切于 点 D 的位置出发，在 ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相 切于点 D 的位置，则O 自转了：【】A2 周 B3 周 C4 周 D5 周 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖谋事在人，成事在天！增广贤文5【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计
8、算即可得到圆的自传周数：O 在三边运动时自转周数：62=3：O 绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周。O 自转了 3+1=4 周。故选 C。二、填空题 6.（四川）如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2.则 AC 长是 cm.6【分析】如图，将 ADC 旋转至 ABE 处，则 AEC 的面积和四边形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，,这时三角形 AEC 为等腰直角三角形，作边 EC 上的高 AF，则 AF=12EC=FC,S AEC=12AFEC=AF2=24。AF2=24。AC2=2AF2=48
9、AC=43。7.（江西南昌）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将 AEF 绕顶点 A 旋转，在旋转过程中，当 BE=DF 时，BAE 的大小可以是 7【分析】正三角形 AEF 可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，AB=AD，AE=AF。当 BE=DF 时，在 ABE 和 ADF 中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABE ADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAE+FAD=30。BAE=FAD=15。当正三
10、角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转小于 1800时，如图 2，同上可得 ABE ADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAF=DAE。900600 BAF DAE=3600，BAF=DAE=105。BAE=FAD=165。当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转大于 1800时，如图 3，同上可得 ABE ADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAE=90，90 DAE=60 DAE，这是不可能的。云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传 此时不存在 BE=DF
11、 的情况。综上所述，在旋转过程中，当 BE=DF 时，BAE 的大小可以是 15或 165。8.（吉林省）如图，在等边 ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD将 BCD 绕点 B逆时针旋转 60得到 BAE，连接 ED 若 BC=10，BD=9，则 AED 的周长是_ _.8【分析】BCD 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BAE，根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD=AE，BD=BE。ABC 是等边三角形，BC=10，AC=BC=10。AEAD=AC=10。又 旋转角 DBE=600，DBE 是等边三角形。DE=BD=9。AED 的周长=DEAEAD=910=19。三、解答题
12、9.（北京市）在ABC中，BA=BCBAC，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P顺时针旋转2得到线段 PQ。（1）若 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出 CDB 的度数；（2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想 CDB 的 大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得 线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出的范围
13、。9【答案】解：（1）补全图形如下：CDB=30。（2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在 APD 与 CPD 中，AD=CD，PD=PD，PA=PC APD CPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又 PQ=PA，PQ=PC，ADC=2 CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180 APQ=1802，即 2 CDB=1802。CDB=90。（3）4560。【分析】（1）
14、利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出 CMQ 是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M 是 AC 的中点，BMAC，AM=AC。将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ，AM=MQ，AMQ=120。CM=MQ，CMQ=60。CMQ是等边三角形。ACQ=60。CDB=30。（2）首先由已知得出 APD CPD，从而得出 PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出 CDB=90，且 PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2 CDB=1802。点 P 不与点 B，M 重合，BAD PAD MAD。21802，4560。海纳百川，有容乃大；壁
15、立千仞，无欲则刚。林则徐以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民 10.（福建）在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示放置，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（m，1）（m0），将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90，得到矩形 OABC（1）写出点 A、A、C的坐标；（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c 可用含 m 的式子表示）（3）试探究：当 m 的值改变时，点 B 关于点 O 的对称点 D 是否可能落在（2）中的抛物线上若能，求出此时 m的值 10【答案】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，
16、1）（m0），A（m，0），C（0，1）。矩形 OABC由矩形 OABC 旋转 90而成，A（0，m），C（1，0）。（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2bxc，A（m，0），A（0，m），C（1，0），2 ambmc0 cm abc0，解得 a1 bm1 cm。此抛物线的解析式为：y=x2（m1）xm。（3）点 B 与点 D 关于原点对称，B（m，1），点 D 的坐标为：（m，1），假设点 D（m，1）在（2）中的抛物线上，0=（m）2（m1）（m）m=1，即 2m22m1=0，=（2）2422=40，此方程无解。点 D 不在（2）中的抛物线上。【分析】（1）先根据四边形 A
17、BCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1）（m0），求出点 A、C 的坐标，再根据图形旋转的性质求出 A、C的坐标即可。（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、A、C三点的坐标代入即可得出 abc 的值，进而得出其抛物线的解析式。（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用 m 表示出 D 点坐标，把 D 点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹 11.（江苏）(1)如图 1，在 ABC 中，BA=BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足 DBE=12 ABC(0 CBE12 ABC)。以
18、点 B 为旋转中心，将 BEC 按逆时针方向旋转 ABC，得到 BEA（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E处），连接DE。求证：DE=DE.（2）如图 2，在 ABC 中，BA=BC，ABC=90，D，E 是 AC 边上的两点，且满足 DBE=12 ABC(0 CBE45).求证：DE2=AD2+EC2.11【答案】证明：（1）BEA 是 BEC 按逆时针方向旋转 ABC 得到，BE=BE，EBA=EBC。DBE=12 ABC，ABD EBC=12 ABC。ABD EBA=12 ABC，即 EBD=12 ABC。EBD=DBE。在 EBD 和 EBD 中，BE=BE，EBD=DBE，BD
19、=BD，EBD EBD（SAS）。DE=DE。（2）以点 B 为旋转中心，将 BEC 按逆时针方向旋转 ABC=90，得到 BEA（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E处），连接 DE 由（1）知 DE=DE。由旋转的性质，知 EA=EC，E AB=ECB。又 BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45。E AD=E AB BAC=90。在 Rt DEA 中，DE2=AD2+EA2，DE2=AD2+EC2。【分析】（1）由旋转的性质易得 BE=BE，EBA=EBC，由已知 DBE=12 ABC 经等量代换可得 EBD=DBE，从而可由 SAS 得 EBD EBD，得到 DE=DE。（2
20、）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形 DEA，根据勾股定理即可证得结论。百学须先立志。朱熹人不知而不愠，不亦君子乎？论语 12.（四川德阳）在平面直角坐标 xOy 中，（如图）正方形 OABC 的边长为 4，边 OA 在 x 轴的正半轴上，边 OC在 y 轴的正半轴上，点 D 是 OC 的中点，BEDB 交 x 轴于点 E.求经过点 D、B、E 的抛物线的解析式；将 DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，边 BE 交线段 OA 于点 F，边 BD 交 y 轴于点 G，交中的抛 物线于 M（不与点 B 重合），如果点 M 的横坐标为512，那么结论 OF=21DG 能成立吗请
21、说明理由.过中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P，交中的抛物线在第一象限的部分于点 Q，且使 PFE 为等腰三角形，求 Q 点的坐标.12【答案】解：（1）BEDB 交 x 轴于点 E，OABC 是正方形，DBC=EBA。在 BCD 与 BAE 中，BCD=BAE=90，BC=BA，DBC=EBA，BCD BAE（ASA）。AE=CD。OABC 是正方形，OA=4，D 是 OC 的中点，A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），E（6，0）设过点 D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，则有：c216a4bc436a6bc0，解得 5a
22、1213b6c2。经过点 D、B、E 的抛物线的解析式为：2513y=x+x+2126。（2）结论 OF=12DG 能成立 理由如下：由题意，当 DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，同理可证得 BCG BAF，AF=CG。xM=125，2MMM51324y=x+x+2=1265。M（122455，）。设直线 MB 的解析式为 yMB=kx+b，M（122455，），B（4，4），1224k+b=554k+b=4，解得1k=2b=6。yMB=12x+6。G（0，6）。CG=2，DG=4。AF=CG=2，OF=OAAF=2，F（2，0）。OF=2，DG=4，结论 OF=12DG 成立。（3）如图，
23、PFE 为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：若 PF=FE。FE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4，此时 P 点位于射线 CB 上。F（2，0），P（2，4）。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐此时直线 FPx 轴。来 xQ=2。QQ2Q51314y=x+x+2=1263，Q1（2，143）。若 PF=PE。如图所示，AF=AE=2，BAFE，BEF 为等腰三角形。此时点 P、Q 与点 B 重合。Q2（4，4）。若 PE=EF。FE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4，此时 P 点位于射线 CB
24、上。E（6，0），P（6，4）。设直线 yPF的解析式为 yPF=kx+b，F（2，0），P（6，4），2k+b=06k+b=4，解得k=1b=2。yPF=x2。Q 点既在直线 PF 上，也在抛物线上，2513x+x+2=x2126，化简得 5x214x48=0，解得 x1=245，x2=2（不合题意，舍去）。xQ=2。yQ=xQ2=24142=55。Q3（241455，）。综上所述，Q 点的坐标为 Q1（2，143）或 Q2（4，4）或 Q3（241455，）。【分析】（1）由正方形的性质和 BCD BAE 求得 E 点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。（2）求出 M 点坐标，然后利用
25、待定系数法求直线 MB 的解析式，令 x=0，求得 G 点坐标，从而得到线段 CG、DG 的长度；由BCGBAF，可得 AF=CG，从而求得 OF 的长度 比较 OF 与 DG 的长度，它们满足 OF=12DG的关系，所以结论成立；（3）分 PF=FE、PF=PE 和 PE=EF 三种情况，逐一讨论并求解。谋事在人，成事在天！增广贤文大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中 13.（辽宁）（1）如图，在 ABC 和 ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系直接写出你猜想的结论；将图 1 中
26、的 ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090），如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系请说明理由（2）当 ABC 和 ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90 13【答案】解：（1）结论：BD=CE，BDCE。结论：BD=CE，BDCE。理由如下：BAC=DAE=90，BAD DAC=DAE DAC，即 BAD=CAE。在 Rt ABD 与 Rt ACE 中，AB=
27、AC，BAD=CAE，AD=AE，ABD ACE（SAS）。BD=CE。延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H。在 ABF 与 HCF 中，ABF=HCF，AFB=HFC，CHF=BAF=90。BDCE。（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=90。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】（1）BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABD ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等 ABF=ECA；然后在 ABD 和 CDF 中，由三角形内角和定理可以求得 CFD=90，即 BDCF。BD=CE，
28、BDCE。根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABD ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等 ABF=ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H）BH 构建对顶角 ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得 BHC=90。（2）根据结论、的证明过程知，BAC=DFC（或 FHC=90）时，该结论成立了，所以本条件中的 BAC=DAE90不合适。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武 14.（辽宁本溪）已知，在 ABC 中，AB=AC。过 A 点的直线
29、 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合），BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N的上方），且 BM=BN，连接 CN。（1）当 BAC=MBN=90时，如图 a，当=45时，ANC 的度数为_；如图 b，当45时，中的结论是否发生变化说明理由；（2）如图 c，当 BAC=MBN90时，请直接写出 ANC 与 BAC 之间的数量关系，不必证明。14【答案】解：（1）450。不变。理由如下过 B、C 分别作 BDAP 于点 D，CEAP于点 E。BAC=90，BAD EAC=90。BDAP，
30、ADB=90。ABD BAD=90。ABD=EAC。又 AB=AC，ADB=CEA=90，ADB CEA（AAS）。AD=EC，BD=AE。BD 是等腰直角三角形 NBM 斜边上的高，BD=DN，BND=45。BN=BD=AE。DNDE=AEDE，即 NE=AD=EC。NEC=90，ANC=45。（3）ANC=9012 BAC。【分析】（1）BM=BN，MBN=90，BMN=BNM=45。又 CAN=45，BMN=CAN。又 AB=AC，AN=AN，BMN CAN（SAS）。ANC=BNM=45。过 B、C 分别作 BDAP 于点 D，CEAP 于点 E。通过证明 ADB CEA 从而证明 C
31、EN 是等腰直角三角形即可。（2）如图，由已知得：=18002 ABC 1（AB=AC）=1800 2 6 1（BAC=MBN，BM=BN）=（1800 2 1）6 =3 4 5 6（三角形内角和定理）=6 5 6=5（3 4=ABC=6）。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹 点 A、B、N、C 四点共圆。ANC=ABC=9012 BAC。15.（山东德州）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2
32、）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）15 解：（1）证明：在 RtFCD 中，G 为 DF 的中点，CG=12FD 1 分同理，在 RtDEF 中，EG=12FD 2 分 CG=EG3 分（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG4 分 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点 在 D
33、AG 与 DCG 中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG AG=CG5 分 在 DMG 与 FNG 中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMG FNG MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN 6 分 在 Rt AMG 与 Rt ENG 中，AM=EN，MG=NG，AMG ENG AG=EG EG=CG 8 分 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC，4 分 在 DCG 与 FMG 中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMG MF=CD，FMGDCG MF CD AB5 分EFMF 在 Rt MFE 与 Rt CBE
34、 中，MF=CB，EF=BE，MFE CBE MEFCEB 6 分 MECMEFFECCEBCEF90 7 分 F B A D C E G 第 15 题图 F B A D C E G 第 15 题图 F B A C E 第 15 题图 F B A D C E G M N N 图（一）F B A D C E G M 图（二）人不知而不愠，不亦君子乎？论语百学须先立志。朱熹 MEC 为直角三角形 MG=CG，EG=21MC EGCG8 分（3）（1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有:EGCG10 分 16、（襄阳）如图 1，点 A 是线段 BC 上一点，ABD 和ACE 都是等边三角
35、形（1）连结 BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图 2，将ABD 绕点 A 顺时针旋转得到ABD 当旋转角为 60 度时，边 AD落在 AE 上；在的条件下，延长 DD交 CE 于点 P，连接 BD，CD当线段 AB、AC 满足什么数量关系时，BDD与CPD全等并给予证明 16、解（1）证明：ABD 和ACE 都是等边三角形 AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=60，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=DAC，在BAE 和DAC 中，BAEDAC（SAS），BE=CD；（2）解：BAD=CAE=60，DAE=180602=60，边 AD落在 AE 上，旋转角=DAE=60；当 A
36、C=2AB 时，BDD与CPD全等 理由如下：由旋转可知，AB与 AD 重合，AB=BD=DD=AD，四边形 ABDD是菱形，ABD=DBD=ABD=60=30，DPBC，ACE 是等边三角形，AC=AE，ACE=60，AC=2AB，AE=2AD，PCD=ACD=ACE=60=30，又DPBC，ABD=DBD=BDD=ACD=PCD=PDC=30，在BDD与CPD中，BDDCPD（ASA）故答案为：60 D F B A D C E 图 G 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹 17.（鸡西）如图 1，在正方形 A
37、BCD 中，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若 MBN=45，易证 MN=AM+CN（1）如图 2，在梯形 ABCD 中，BC AD，AB=BC=CD，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若 MBN=12 ABC，试探究线段 MN、AM、CN 有怎样的数量关系请写出猜想，并给予证明（2）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC+ADC=180，点 M、N 分别在 DA、CD 的延长线上，若 MBN=12 ABC，试探究线段 MN、AM、CN 又有怎样的数量关系请直接写出猜想，不需证明 17 解：（1）MN=AM+CN 理由如下：如图，BC AD，AB=BC=CD，梯形 ABCD
38、 是等腰梯形，A+BCD=180，把 ABM 绕点 B 顺时针旋转 90到 CBM，则 ABM CBM，AM=CM，BM=BM，A=BCM，ABM=MBC，BCM+BCD=180，点 M、C、M 三点共线，MBN=12 ABC，MBN=MBC+CBN=ABM+CBN=ABC-MBN=12 ABC，MBN=MBN，在 BMN 和 BMN 中，BMBMMBNM BNBNBN，BMN BMN（SAS），MN=MN，又 MN=CM+CN=AM+CN，MN=AM+CN；（2）MN=CN-AM 理由如下：如图，作 CBM=ABM 交 CN 于点 M，ABC+ADC=180，BAD+C=360-180=18
39、0，以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传人不知而不愠，不亦君子乎？论语又 BAD+BAM=180，C=BAM，在 ABM 和 CBM中，CBMABMABBCCBAM ，ABM CBM（ASA），AM=CM，BM=BM，MBN=12 ABC，MBN=ABC-（ABN+CBM）=ABC-（ABN+ABM）=ABC-MBN=12 ABC，MBN=MBN，在 MBN 和 MBN BMBMMBNM BNBNBN，MBN MBN（SAS），MN=MN，MN=CN-CM=CN-AM，MN=CN-AM 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把 MN、AM、CN 通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高