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1、线性代数B复习资料（2011） (一)单项选择题1设A，B为n阶方阵，且，则下列各式中可能不成立的是（ ）(A) (B) (C) (D)2若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（ ）(A)AO (B)A=O (C) (D) 3A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（ ）(A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) (D) 不一定4设A为nn阶矩阵，如果r(A)n , 则(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A的各行向量中至少有一个为零向量(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D
2、)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例5设向量组线性无关的充分必要条件是(A) 均不为零向量(B) 任意两个向量的对应分量不成比例(C) 中有一个部分向量组线性无关(D) 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6向量组的秩就是向量组的(A) 极大无关组中的向量(B) 线性无关组中的向量(C) 极大无关组中的向量的个数(D) 线性无关组中的向量的个数7下列说法不正确的是( )(A) 如果r个向量线性无关，则加入k个向量后，仍然线性无关(B) 如果r个向量线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关(C)如果r个向量线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关
3、(D)如果r个向量线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关8设n阶方阵A的秩rn，则在A的n个行向量中(A) 必有r个行向量线性无关(B) 任意r个行向量均可构成极大无关组(C) 任意r个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r个行向量线性表示9设方阵A的行列式，则A中(A) 必有一行（列）元素为零(B) 必有两行（列）成比例(C) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10设A是mn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( )(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A
4、的行向量线性相关11n元线性方程组AX=b，r（A，b）n，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不确定12设A，B均为n阶非零矩阵，且AB，则A和B的秩（ ）(A) 必有一个等于零 (B)一个等于n，一个小于n (C) 都等于n (D) 都小于n13设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）(A) (B) (C) (D) 14向量组线性无关的充分条件是(A)均不为零向量(B)中任意两个向量的分量均不成比例(C)中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示(D)中有一部分向量线性无关15当向量组线性相关时, 使等式成立的常数为( )(A)任意一组常数(B
5、)任意一组不全为零的常数(C)某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数16下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关17设向量组的秩为r，则(A) 必定rr时, 由若干个极大无关组19向量组线性无关的充分条件是(A) 均为非零向量(B) 中任意两个向量的分量不成比例(C) 中任意一个向量不能被其余向量线性表示(D) 中有一个部分组线性无关20设A为n阶方阵, 且r(A)=rn, 则中(A)必有r个
6、行向量线性无关(B)任意r个行向量线性无关(C)任意r个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示21A是mn矩阵, r(A)=r 则A中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零22能表成向量,的线性组合的向量是（ ）(A) (B) (C) (D)23已知, , 则x=（ ）时线性相关。(A) 1 (B)2 (C) 4 (D) 524向量组,的秩为（A）1 （B）2 （C）3 （D）425矩阵A在(
7、 ) 时可能改变其秩(A) 转置 (B) 初等变换(C) 乘一个可逆方阵 (D) 乘一个不可逆方阵26设A为n阶方阵,且，则(A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B) A必有两行（列）对应元素乘比例(C) A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D) A中至少有一行（列）向量为零向量27向量组线性相关的充要条件是( )(A) 中有一零向量(B) 中任意两个向量的分量成比例(C) 中有一向量是其余向量的线性组合(D) 中任意一个向量均是其余向量的线性组合28若向量可由向量组线性表出,则( )(A) 存在一组不全为零的数,使等式成立(B) 存在一组全为零的数,
8、使等式成立(C)向量线性相关(D) 对 的线性表示不唯一29设A是mn矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b有唯一解(B) 若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多个解(C) 若AX=b有无穷多个解，则AX=0仅有零解(D) 若AX=b有无穷多个解，则AX=0有非零解30要使,都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为(A) (B) (C) (D) 31设矩阵的秩为r(A)=mn, 为m阶单位矩阵,下述结论正确的是(A)A的任意m个列向量必线性无关(B)A的任意个m阶子式不等于零(C)A通过初等变换, 必可化为(
9、,0)的形式(D)非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解32非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）(A) r=m时, 方程组AX=b有解(B) r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C) m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D) rs, 则( )(A) ()线性无关 (B) ()线性相关 (C) ()线性无关 (D) ()线性相关40设是n个m维向量，且nm, 则此向量组必定( )(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等41矩阵A 适合条件（ ）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关 (B) A中任何r
10、列线性相关 (C) A中有r列线性无关 (D) A中线性无关的列向量最多有r个42已知矩阵A=，则R（A）=（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)343若mn阶矩阵A中的个列线性无关 则A的秩（ ）(A)大于m (B)大于n (C)等于n (D) 等于m44若矩阵A中有一个r阶子式D0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（ ）(A) r (B)r (C)=r (D) =r+145要断言矩阵A的秩为r，只须条件（ ）满足即可(A) A中有r阶子式不等于零(B) A中任何r+1阶子式等于零(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D) A中不等于零的子式的最高阶数等于r4
11、6设mn阶矩阵A，B的秩分别为，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（ ）(A) (B) (C) (D) 47R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解( )(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D) 无关的条件48矩阵A=的特征值为0,2, 则3A的特征值为( )(A) 2,2; (B) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6;49A=的特征值为2,2， 则的特征值为（ ）(A) 2,2; (B) 2,-2; (C) 0,0; (D) 4,-4;50,是A,B的一个特征值, 是A的关于的特征向量, 则B的关于的特征向量是( )(A) (B) (C) (D) 51n阶矩
12、阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ） (A) 矩阵A有n个特征值 (B) 矩阵A有n个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A的行列式 (D) 矩阵A的特征多项式没有重根52A满足关系式，则A的特征值是(A) =2 (B) = 1 (C) = 1 (D) = 2是 53已知2是A=的特征值，其中b0的任意常数，则x=（ ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 454已知矩阵A=有特征值，则x=（ ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 455设A为三阶矩阵，已知，则(A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)456A为n阶矩阵，且，则(A) A的行列式为1 (B) A的特征值都是1 (
13、C)A 的秩为n (D)A一定是对称矩阵57. 设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ）(A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D) 2E+A58. 已知A为n阶可逆阵, 则与A必有相同特征值的矩阵是( )(A) (B) (C) (D) 59已知A为三阶矩阵，r(A)=1, 则=0( )(A)必是A的二重特征根 (B) 至少是A的二重特征根 (C) 至多是A的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能（二）计算题与填空题1，则（ ） （）2 ，则（ ） （）3，则（ ） （）4. 已知矩阵与相似，则答案：5. ( )时, 向量组 线性无关.6设（ ）
14、时可被向量组线性表出。 （-8）7.设是的两个不同的解, 则的通解是( ). (A) (B) (C) (D) (B)8.是的特征向量,则. (-1,-3)9. 答案：10设则是否为向量组的线性组合？ （是）11 则是否为的线性组合？ （不是）12 确定为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解. 答： 当时，解为 ，其中为任意非零常数; 当时，解为 ，其中为任意常数;方程组不存在唯一解.13已知，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵.答 ：14 求下列矩阵的特征值与特征向量.（1） (2) . 答案： (1) ，对应于的全部特征向量是，； 对应于的全部特征向量是，； 对应于的全部特征向量
15、是，. (2) 对应于的全部特征向量是，为非零常数； 对应于的全部特征向量为，是不同时为零的常数；15设，求阶方阵的特征值.。答案：16三阶矩阵的特征值为,则的特征值为( ). (6; 2,)17向量组线性无关，满足什么关系时，向量组必线性相关（）18. 设矩阵有一个特征向量为，求及的三个特征值.答案：，的三个特征值为.19已知向量组 的秩为3，求及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案： 为一个极大无关组，20.设.証明：可逆.21. 设向量组， (1) 为何值时，线性相关？线性无关？ (2) 为何值时，线性相关？线性无关？ (3) 当线性相关时，将表示为的线性组合.答案：(1) 时线性相关，时线性无关； (2) 或时线性相关；且且时线性无关； (3) 当时，；当时， .22设使得方程组总有解的是( ). ()23. 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数答案：