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1、数形结合思想及其在教学中的应用 摘要：数、形是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。数形结合是贯穿中小学数学教学始终的基本思想，同时在高等数学教学中它也有很大的益处。关键词：数形结合；数学教学；数学思想目 录1 绪论11.1 数形结合思想方法概述11.2 数形结合思想方法历史演进12 数形结合思想在初等数学教学中的应用42.1 数形结合思想在小学数学教学中的应用42.2 数形结合思想在初中数学教
2、学中的应用72.2.1 数形结合思想在初中数学教学中的地位72.2.2 数形结合思想在初中数学教学的应用举例82.3 数形结合思想在高中数学教学中的应用102.3.1数形结合思想在高中数学教学中的地位102.3.2 数形结合思想在高中数学教学的应用举例112.3.3 数形结合思想的课堂灌输153 数形结合思想在高等数学教学中的应用174 结束语22致谢24参考文献251 绪论数学教育不像“纯”学科中的科学，是严重影响文化、社会和政治的力量1。数学解题研究是我国数学教育研究的一个特色工作，并构成一个具有中国特色的文化现象。在我国数学教育研究群体中有一支庞大的解题研究队伍，同时我国的各类数学教学杂
3、志中也会常设一些解题研究栏目。但数学解题研究不能局限于解题技巧的直接展示，更不能停留于解题方法的简单呈现，而应注重解题时数学思想和方法的体现。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学教学中的精髓之一。任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学理论的建立，都是数学思想和方法的体现和应用。一个重大数学成果的取得，往往与数学思想和方法的突破分不开，这些数学成果无不是数学思想和方法完美结合的产物。我们常用的数学思想方法有：转换的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及
4、配方法，换元法，待定系数法，反证法等。其中，“数形结合”是贯穿数学教学始终的基本思想方法，它成为我国数学教育界教与学、理论与实践多极研究汇聚的衔接点。“数形结合”已成为我国数学教育界一道独特的靓丽风景线，不仅仅在数学教育界，它的应用也已经辐射到了物理等基础理科教育界。1.1 数形结合思想方法概述数形结合是解数学题中常用的思想方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简捷。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系
5、加以精确的描述。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。华罗庚教授曾精辟概述:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非：切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”21.2 数形结合思想方法历史演进数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数和形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。随着时间的流逝，数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象数与形这两个概念自身也处于不断变化中。从最初由于计数的需要而产生的自然数到欧几里得撰
6、写的几何原本，再从笛卡尔创立解析几何学到近、现代数学中的几何学，数形结合一直贯穿于数学发展的全过程。(1) 数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。“形”推动了“数”的发展，这是早期“数”与“
7、形”相结合的体现。 (2) 古希腊亚历山大时期的欧几里得，运用公理化方法写了千古流芳的著作几何原本，使最早的数学发展以几何学为主要特征3。这时期从几何的研究上去处理等价的代数问题是很自然的。如用线段代替数，两数乘积的意义是两边长等于两数的矩形面积，三数乘积是一体积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长。“若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两线段上的正方形加上以两段为边的矩形。”这一几何事实反应的代数问题就是（如图1.2）。这种用几何来研究代数的方法对后来阿拉伯人的代数研究有着深远的影响，在解一元二次方程中发挥了很大的作用。另外，形的相互关系的比较、度量，
8、促进了数的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是毕达哥拉斯学派不可公度线段（无理数）的发现。图1.2：(3) 数轴的建立使人类对形与数的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算(特别是有理数的运算)也可以几何化。1637年，笛卡尔的几何学著作中，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线4。笛卡尔把数轴(一维)扩展到平面直角坐标系(二维)，把有序数对与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，
9、把几何研究转换成对应的代数研究，从而诞生了解析几何学。笛卡尔创立了解析几何学，完成了数学史上的一项划时代的变革。尽管笛卡尔的解析几何思想有着一定的局限性，但在当时是有突破性的，意义是非常重大的，它为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态。其次数形结合为代数研究提供了形象模型，拓展了代数学的研究领域，从而推动了数学发展的进程。可见，数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾的统一是数学发展的内在因素。(4) 继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数切线的斜率；积分曲边梯形的面积；代数中，方程
10、的根曲线与轴的交点。近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何；分析和几何结合产生了微分几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析(以及其它学科)提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。(5) 形的概念的本身也在数量关系的描述下不断发展，从平面几何、立体几发展到维空间的仿射几何，射影几何3。人们在用数量关系描写空间形式的过程中，对形的特点有了更进一步的认识，抓住了更本质的关系，从而把它们之间的各种关系推广到了维空间，得出了抽象的维空间(几何形式)中的形之间的数量
11、关系，或者说这些数量关系得到了一个形象的几何解释。2 数形结合思想在初等数学教学中的应用数形结合思想方法的应用，使我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入，研究的对象也变得更宽泛，方法更一般化，其次也为代数课题提供了几何直观。由于代数借用了几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力。如线性代数正是借用几何学中的空间、线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的。代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、互相促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识。正如拉格朗日所说:“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的
12、活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”3数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。2.1 数形结合思想在小学数学教学中的应用 虽然在小学阶段没有提到数轴、直角坐标系、函数图象等概念，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点”。 (1) 数尺的应用 由于小学生对直尺非常熟悉，因此，可以将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，将抽象的数在可看得见的“数尺”(没有刻度，只有自然数)上形象、直观地表示出来。将数与“位置 ”(还没有“点”的概念 )建立一一对应
13、关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。如下图所示：012345678910 0248101214161820036912151821242730“数线”与数轴的区别在于“数线”没有画出方向，“数线”与数轴的运用不但能够比较数的大小，而且将数与直线上的点建立了一一对应关系，并且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如：“加法”就是在数轴上继续向右数，或者看作是向右平移若干个单位。“减法”就是在数轴上先找到被减数，然后再向左数，或者看作是向左平移若干个单位。“乘法”就是在数轴上几
14、个几个地向右数，或者把一条线段拉长几倍 。 “除法”就是在数轴上先找到“被除数”然后向左几个几个地数。如果恰好数到“0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几；当不能恰好数到“0”时，就产生了余数。数轴是理解“有余数除法”的形象化载体5。例如，485=9 3。035101520253035404548(2) 线段图的应用 线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。例如解决下面的问题时，对比线段图则易于理解算式中的每一符号的意义。 例2.1.1张老师要买一个打印机。王老师要买一件毛衣。打印机每台 800元，毛衣每件200元。商场搞促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八
15、折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱? 方法一(多数学生的解题方法)： 分着购买所花的钱数：(800500)x80+500+200=940(元)。 合着购买所花的钱数：(800+200500)x80+500=900(元)。 合买比分买省的钱数：940900=40(元)。 方法二(其他学生的解题方法)： 合买比分买省的钱数：200x(180)=40(元)。 很多学生不理解第二种算法。当教师引导学生借助线段图对比呈现两种方法所蕴含的数量关系时。学生就能很好地理解了。画线段图能使抽象复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化。500200 500又如在有的问题中文字比较“拗口”，问题解
16、决者不易理清数量关系，但是将文字上的数量关系转化为用线段图表示时，数量关系就一目了然。 例2.1.2十一快到了，妈妈买了2千克苹果和5千克梨，共用去10.8元。已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果和梨各多少元?苹果梨苹果梨？元？元10.8元10.8元(3) 平面图形的应用 我们可以借助于“面积模型”和“集合模型” 来理解分数的意义及其运算，其实质就是将分数与图形结合起来。在学习“异分母分数加减法”时，就可运用数与形的结合。例如计算时，学生如何理解异分母分数加减法为什么要通分？我们曾经这样处理： 教师讲解并在黑板上板书 ：但有很多学生仍不理解，我们就借助于几何画板软件将上述“理性”的抽
17、象思维过程形象化视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会“只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加减”的道理，直观地理解通分的必要性及异分母分数加减法的算理。小结：利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上也是形象思维与抽象思维协同应用的过程，其教学效果显而易见。因此在小学阶段渗透数形结合的思想对学生的现实学习和继续学习都有着很重要的意义。当然在具体学习与教学中不止以上几个例子，还需要我们在实践中举一反三，灵活运用。2.2 数形结合思想在初中数学教学中的应用教师在数学教学过程中，必然涉及很多的概念，数学概
18、念是数学思维的细胞，它是在感觉、知觉、思维形成表象的基础上，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而逐步形成的理性认识结果，它蕴涵着丰富的思想内涵。在数学教学中，数学教师在无意识中将大部分知识的记忆问题推给了学生。无论是理解数学概念、推导数学公式，还是证明数学定理、解决实际问题，都需要数学记忆的参与。因此，不断地增强数学记忆能力，对于学好、用好数学是很重要的。处于中学阶段的学生对记忆方法理解甚少，更别说对抽象性数学知识的记忆了，他们只好在机械记忆的基础上，不断地摸索自己的记忆方法。但由于学习时间和心理发展特征的限制，很多人只能靠机械记忆，基础好和主动性强的学生会在以后逐步的应中，慢慢
19、地反当大脑中的数学知识。而基础不好、主动性差的学生则极有可能变为数学学困生。教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣，熏陶学生的“数形结合”意识。“兴趣是最好的老师”，学习数学尤其如此。可以在适当的时间展现数学美本身所蕴涵的数形美感，比如，不妨考虑用新学期的第一节课，重点地去向学生介绍一下数学史方面的知识。你可以从欧几里得的古代几何原本，说到诸多数学发现再到近代数学的发展，关键是要举出那些有关数学美的经典事例，如勾股定理、黄金分割等，相信这样的启蒙课对于渴望求知的初中生而言是很必要的6。2.2.1 数形结合思想在初中数学教学中的地位随着新课程改革的全面展开，各门课程的教材都发生了巨大的改变。以前数
20、学课程被分为“代数”和“几何”两本教材来讲授，而现在合二为一，且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算于处理，“几何”主要研究图形的位置、大小等特性，“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们互相渗透，相互转化，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能。 “数形结合”是初中数学的重要思想之一，也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来，那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了数形结合思想方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”，体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。初中的数学具有很大的实用性和基础性。把握好、运用好数形结合，必定会对其它学习收到意想不到的
21、效果。2.2.2 数形结合思想在初中数学教学的应用举例函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。而二次函数中抛物线和开口、对称轴、顶点及坐标轴交点更是与系数关系密切。一、 以“形”助“数”根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，使解题过程变得简捷直观。教师在教学时要注意树立数形结合的思想，要按照把复杂问题化简单的原则培养学生的空间概念，提高学习兴趣。0图2.2.1例2.
22、2.1实数在数轴上的位置如图所示,化简:=_.解析由图可知,所以原式=.点评解题的关键是读懂数轴，把图形语言转化成解题所要求的数据。借助数轴可以解决实数问题，还可以解决不等式(组)问题。例2.2.2如图,已知二次函数的图象经过点A和点B。(1) 求该二次函数的表达式；(2) 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3) 点P()与点Q均在该函数图象上(其中)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点Q到轴的距离。解析(1)观察图象,得A(-1,-1),B(3，-9).1AO13得方程组解得该二次函数的表达式为.(2)对称轴为；顶点坐标为(2,-10).9(3)将()代入表达式,解方程得.B, .点
23、P与点Q关于对称轴对称,图2.2.2点Q到轴的距离为6.点评解题的关键是通过点的坐标把握函数的图象及其性质。借助平面直角坐标系，把数量关系通过图象直观化、形象化、动态化，同时又可以根据图象特征及相关知识探究隐含的数量关系，将图象特征具体化。二、以“数”助“形”以“数”助“形”即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形”的性质。例2.2.3本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.解析如图2,设圆心为点
24、O,连结OB、OA,OA交线段BC于点D.因为AB=AC, 所以= ， OABC,且BD=DC=BC=120.ABC图2.2.3.1ABC图2.2.3.2OD由题意,知DA=5.设OB=米.在RtBDO中,因为,所以.得1442.5 .所以,滴水湖的半径为1442.5米.点评解题的关键是正确将实际问题所反映的数量关系转化为几何图形语言.借助勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定定理与性质定理等几何图形的知识,可以实现代数与几何之间的相互转化.初中阶段学生对于函数性质的学习，客观的说是有一定的难度的，所以在具体教学中，必须有意识的去体现和解释数学知识中的抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学
25、思维。2.3 数形结合思想在高中数学教学中的应用2.3.1数形结合思想在高中数学教学中的地位一、数形结合思想在高中数学教学中的地位(1) 从新课程标准的要求来看数形结合思想。数学新课程标准对数学中的“双基”具体来说是：强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程；重视基本技能的训练，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练3。新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。(2) 从新课
26、程数学内容的特点来看数形结合思想。新高中数学课将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样有利于精简教学内容，有利于数学各部分内容相互的联系，有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接：初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强调对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力要求较高。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。(3) 从高考题设背景来看数形结合思想。随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性
27、和多变性发展，增加了应用题、开放题、情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合运用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。而数形结合是中学数学中最重要、最基本的数学思想方法之一，考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学的思维”。数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图，那么很快就能得出正确答案。二、数形结合思想在高中数学教学中的作用(1) 有助于学生形成和谐、完整的数学概念。数学教材中的概念是极其浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结晶，是多级抽象的结果，并且只是
28、以文字形式给出了相应的结论，省略了概念原有的逻辑加工过程，也正是这种高度的抽象，数学常常给人一种单调、枯燥、乏味、难懂的错觉。事实上中学数学中的每一个概念都有其原始的直观的模型，都有其来龙去脉，可以让学生先由感性认识再进入理性认识，完整、和谐地理解概念，记忆概念。利用数形结合思想，就是对概念的数与形的两种形式进行表述，揭示知识的实质，沟通数学知识之间的内在联系，使学生对概念不仅仅流于表面文字的理解及记忆，而是真正理解概念的本质属性。(2) 有助于拓展学生寻找解决问题的途径。数形结合作为一种思维策略，虽然不一定能作为题目的解法，但常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口，所以
29、这又是数形结合这种思维策略的另一面积极意义。(3) 有助于学生数学思维能力的发展。数学思维和思维能力的培养是数学教学改革的核心问题，进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃，但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式。我国著名科学家钱学森说:“我建议把形象思维作为思维科学的突破口。因为它一旦搞清楚之后，就把前科学的那一部分，别人很难学到的那些科学以前的知识、即精神财富，都可以挖掘出来。这将把我们的智力开发大大地向前推进一步。人们在交往中，很多是用形象思维，而不是用抽象思维的。”3可见形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的，也是很重要的。数学学科是统一的一体，其组织的活力
30、依赖于各个部分之间的联系7，所以在高中数学教学中形象思维和抽象思维的培养应该是平行发展，即在同一个思维活动中，形象思维和逻辑思维同时存在，且相互间进行不断地切换和互译，只有两者的协同活动，才能完成高级的思维过程。从认知方式来看，学生往往也比较习惯从形象思维入手，而用抽象思维收尾。而数形结合思想方法，始终从“形”“数”两个角度来剖析问题，函数与图象，曲线与方程，空间图形等许多内容，无不渗透着数形结合的思想方法。因此在中学数学教学中重视数形结合，既是学生掌握解决问题的一种手段，又能加深学生对有关数学问题实质的认识，起到培养学生思维的形象性和创造性的双重功效。(4) 利用数形结合，唤起学生对数学美的
31、追求。数和形本是两家，先在宏观上结合，又通过建立坐标系，同构对应竟然合为一家，充分体现了数学的统一美。数学本身就是一门美的科学，数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人。利用数形结合能培养学生审美情趣，经受审美体验，提高审美意识和审美能力，以激励起学生学好数学的激情，动力和追求解题的艺术美，促进人的素质全面提高。2.3.2 数形结合思想在高中数学教学的应用举例数形结合在具体运用中包含了“以形助数”和“以数助形”两个方面，从高中数学内容上看，它主要用于集合、不等式、函数、三角函数、线性规划、解析几何等几类。本文选取几类进行具体分析。一、 数形结合在不等
32、式中的应用有些不等式问题,当用代数方法讨论较繁时,利用图形将代数问题转换成几何问题,合几何知识探求,也是一种解决的方法。例2.3.1已知，均为实数，求证：。 解析如图由，确定的点和图2.3.1xoyM1M2 则， 在中，因为，所以 点评在求证不等式时，学生的第一反应是用作差法或比较法。在解这道题时，也会想到由于等式两边都大于0，可以将两边平方再化简。但显然将不等式的数量关系转换为在直角坐标系中，再利用三角形两边之和大于第三边的性质，解题要更为简洁。所以，可以对学生进行适当的引导，扩展学生的解题思维。 例2.3.2的解集为空集，则实数的取值范围（）。 解析构造函数: 和,要使的解集为空集，只需的
33、图象比的图象高即可，由图可知：。5x-22O468y图2.3.2点评 这道题目是已知不等式的解集求参数，是考察不等式解法的逆向运用。解这道题的一般思路是对进行分类讨论，去绝对值再多次解不等式，出错机会大，花费时间多。如果应用函数图形解则既简洁又直观。二、数形结合在函数中的应用函数是考查数形结合思想的良好载体，对函数的图象除了要求熟练掌握常见的函数图象外，还应加强对函数与方程、函数与曲线的区别与统一，善于发现条件的几何意义，刻画出相应的图形，还要根据图形的性质分析数学式的几何意义，这样才能巧妙地利用数形结合解决问题8。例2.3.3若函数，满足，且当时，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为()。
34、 2 3 4 无数个解析 因为，所以周期，当时，故可以作出的图象；当时，与有两个交点（如图）。又与都为偶数，故当时，也有两个交点。故选C。-11O23xy图2.3.3点评该题的解题思路较为单一，一般都是直接借助图象进行分析解答。三、数形结合在线性规划中的应用线性规划问题纳入高中数学必修内容后，由于其内容是多个知识的交汇点，融数、形于一体，题型多，综合性强，为数形结合思想方法提供了更为广阔的空间。例2.3.4若二次函数的图象过原点，且，求的取值范围。解析 因为的图象过原点，所以设所以，得线性约束条件其可行域如图所示：所以，取目标函数，由图可知：当直线过点时，当直线过点时，所以xyOL图2.3.4
35、点评 对于某些线性规划与函数有关的问题,若善于利用已知条件构造线性约束条件,将问题转化为线性规划问题求解,有时能起到事半功倍的效果。同时，在解这类题时，要注意所作的图形必须较为精确！四、数形结合在解析几何中的应用例2.3.5从原点向圆作两条切线，切点间的劣弧长为() 解析 将圆的方程配方得：，则圆心在(0，6)，半径为3，如图所示。在图Rt中，从而得到，即，可求得。因为P的周长为，劣弧长为周长的，所以可求得劣弧长为。xOyBA36 P图2.3.5点评首先要掌握好圆锥曲线的标准方程及其几何性质，还要会根据所给的条件画出圆锥曲线，熟练掌握圆锥曲线的一些实际应用，这是在解析几何中应用数形结合思想方法
36、的前提条件，对于解析几何知识的交汇综合应用，难度较大。2.3.3 数形结合思想的课堂灌输在现实教学过程中，如何在课堂中对学生进行数形结合思想的灌输呢？下面以高一数学为例作简单的阐述。第一：渗透。以具体知识为载体，将数形结合思想融入其中，使学生对数形结合有一些初步的感知直觉，帮助学生对知识的理解与记忆，培养学生有意识记与理解记忆。例如在高一数学必修1集合间的基本关系这节中，可用Venn图表示。借助Venn图，学生能形象地理解集合之间的各种关系。通过这种具体且基础的知识的学习，使学生了解数与形的结合的作用。第二：揭示。以“轨迹”、“函数及其图形”等内容为载体，向学生“点破阐释”、“突出地位”、“提
37、炼概括”。使学生初步理解：“坐标法”即建立直角坐标系，把几何问题转换为代数问题或把代数问题转换为几何问题，即几何问题代数化，图形性质坐标化9。如在学习基本初等函数这一章时，以指数函数为例，在了解指数的概念和形式时，我们要研究指数函数的性质，如研究的性质。我们通过例举整数知道它大致的性质，如果将整数推广到实数，那么我们就要利用图象分析在实数范围上的性质。利用几何画板作出的精确图形即可直观地提出在实数范围上单调递增等性质。把数转换为形，使学生获得解决问题的经验，在学习对数函数和其它函数时，学生就比较容易想到借助图象研究各种函数的性质，从而形成技能，领悟数形结合思想，在以后的学习中达到事半功倍的效果
38、。第三：强化。美国心理学家斯金纳提出：行为之所以发生变化，是由于强化作用9。所以学生要获得有效的数学学习就必须通过强化。美国心理学家和教育家桑代克说：一个已形成的可变连结，若加以应用，就会变强；一个已形成的可变连结，若久不应用，就会变弱9。教学要注意连续性，要经常地予以强调，并通过大量地综合而达到灵活运用。如在学习了幂函数的五类函数后，可以将幂函数的改变数值，让学生自己发现体会虽然幂函数较为复杂，但还是有一定的规律的，激发学生的求知欲。经过这样的训练，有利于学生掌握如何解决新问题的方法，再经积累、概括、总结，不断获得创造性数学活动的经验，从而形成一定的数学能力。3 数形结合思想在高等数学教学中
39、的应用在高等数学中许多概念都是借助于客观事物的形（几何直观）而引出的，如曲线的单调、极值、凹向、拐点的概念都是从几何直观而引出的。纵观微积分的发展过程，许多甄要问题是由于运用了数形结合的方法而获得解决的，可以说，几何图形的考虑已成为许多典型方法形成的源泉，它能将抽象复杂的数的问题转化为直观形象的几何图形问题，使人感到形象化、直观化，从而开导人们的思路，启发人们找到一条解决问题的有效途径和方法。微积分的各章节中，从极限、连续、导数、微分到各种积分概念、定理、公式，数形结合的思想无处不在， 数形结合的范例举不胜举。比如说，在导数概念中，是切线给我们以启发。因为导数产生的背景是为了描述曲线的切线，因
40、此导数和曲线的切线密不可分10。在此基础上，一系列与切线密切相关的定理：微分中值定理，函数的单调性，极值、曲线的凹凸等概念都是用导数的几何意义去探求解决问题思路的，再比如，在积分概念中，曲边梯形的面积和曲顶柱体的体积的求法给定积分和重积分概念的形成奠定了坚实的几何基础10。若在学习该部分中能把握住这一特点和关系就能找到一条借助几何图形解决抽象积分问题的方便之门。一、在积分学中的应用积分学处理函数从函数变化率的信息决定函数自身的问题，它使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的知识计算该物体将来的位置，求平面上不规则区域的面积，变量曲线的长度，以及求任意空间物体的体积和质量12。在一元定积分应
41、用中，函数的大小比较和二重积分中内积分上、下限的确定是难点问题。例3.1求由曲线与直线，围成的图形面积。解析画出所围成图形的草图，求出所围成图形的交点为：为了便于观察，在草图中要标出曲线方程，再通过判断技巧找到被积函数。首先，对该题的微元取，对应积分变量,在所围成的区域D中的范围内任取一点，过该点做垂直于轴的一条数轴，且规定正方向同轴，单位大小同轴，因区域D是有界闭区域，所以每一数轴必与D有两个交点，落在所作数轴上较小的点对应的曲线即是定义中的，相应的落在数轴上较大的点对应的曲线即是定义中的，这样我们就可以找到被积函数的形式。（2，4）（1，1）11有了被积函数，就可以求出面积： 点评 在技巧
42、判断中，做出的一条数轴若不能代表区域中所有的的形式，就要在不同的区域部分，再做这样的数轴，直到中所有的面积都可以表示到。如本例中，当时，所做的数轴中所成的交点与时不同，此时就要将区域分开考虑。用此种做数轴的方法，可以很容易的找到一元函数定积分应用题型的被积函数。例3.2求二重积分，其中是由抛物线和直线所围成。解析画出草图，求出各曲线的交点为： (2，2)22 在该步骤中，我们先取定内积分，内积分的积分变量取定后，才能进一步确定是做轴的垂线还是轴的垂线。此题，我们可取为内积分的积分变量，在围成区域相应的曲线标出方程，并写成关于内积分变量的表达形式，在作轴垂线，单位、大小、方向同轴，由判别法知，对
43、应着较大单位的交点所在的曲线方程为内积分的上限，相应的较小交点所在的曲线方程为内积分的下限。求得体积： 点评上题中，若为内积分的积分变量，则写成和的形式。在解二重积分时，定好内积分后的步骤与一元积分相同。二、在微分学中的应用微分学处理计算变化率的问题，它使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其最大射程的发射角，预测何时行星靠得最近或离得最远11。例3.3设在内连续，的图形如图4.3所示，则有().一个极小值点和两个极大值点；.两个极小值点和一个极大值点；.两个极小值点和两个极大值点；.三个极小值点和一个极大值点。解析因为在内连续，所以可以想象的图形是一条连续曲线。
44、根据的图形，能确定，即，是的驻点，是不可导点。这一步是由图形确定数值，由此，再根据函数取极值的必要条件便知，和都可能是的极值点。再利用的图形和轴上、下方的位置关系，由图形确定数值。可以看出，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。因此，和是的极大值点，和是的极小值点，即选答案。点评该题中要判断的是取得极大值和极小值的情况，所给条件是的图形，这就需要利用数形结合思想去分析、推理、判断，根据的图形在轴的上方或下方，确定在各个给定点左右两侧是取正值或取负值，进而确定的符号，最后确定给定的点是极大值点或极小值点。同时在高等数学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造都是借助于几何直观得到的，如Lagr
45、ange中值定理的发现和证明9。如图所示：给出一段光滑的曲线弧，由于、高度不相等，不满足罗尔定理中的条件，故在内不存在点，使(即点曲线切线平行于轴)，但借助于几何图形可以发现：在内存在点，该点处曲线的切线平行于弦。于是有了拉格朗日定理的猜想：设在内连续，在内可导，则在内至少存在一点，满足。由几何图形又探求出定理的证明思路：将弦向上或向下平移，在将要离开而尚未离开曲线时它变成切线，所求点就位于该处。即位于弦与曲线距离最宽处。于是作，表示曲线与弦的距离，在取最大值或最小值处，就能找到所需要的点，按照这一思路得到了拉格朗日定理的证明。综上，数形结合时高等数学中十分重要的思想方法，其基本观点在于把问题涉及的数与形结合起来作综合考察，使数与形之间互相转化，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到换难为易的目的4 结束语在数学教育中，数学思想方法对学生形成和发展辩证思维起着重要的作用。我们知道科学的数学化，一方面表现在数学方法广泛地成功应用，另一方面还表现在数学思维正成为一般科学思维。后者是指数学影响自然科学、社会科学的不是通过