ch-集合映射与函数.ppt

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1、 通知：通知：9 9月月29日日(周四周四)中午中午12:30到理到理学院学院1楼大厅值班室购作业集，楼大厅值班室购作业集，15元元/套套2008年9月241南京航空航天大学 理学院 数学系名名 称称工科数学分析工科数学分析工科数学分析工科数学分析总总 学学 时时一学年一学年 (两学期两学期)教教 材材工科数学分析基础工科数学分析基础第二版第二版本学期本学期 96 学时学时王绵森王绵森 马知恩马知恩 主编主编2008年9月242南京航空航天大学 理学院 数学系参参 考考 书书数学分析数学分析第三版第三版华东师范大学数学系华东师范大学数学系 主编主编高等数学高等数学第五版第五版同济大学应用数学系

2、同济大学应用数学系 主编主编2008年9月243南京航空航天大学 理学院 数学系书后习题书后习题参考书参考书工科数学分析基础工科数学分析基础 学习指导与习题解析学习指导与习题解析孙清华孙清华 孙浩孙浩 主编主编习题册参习题册参 考考 书书数学分析数学分析 同步辅导及习同步辅导及习题精解题精解 华东师大华东师大 第三版第三版 张天德张天德 韩振来韩振来 主编主编2008年9月244南京航空航天大学 理学院 数学系本学期的教学内容本学期的教学内容1.1.一元函数的微分学一元函数的微分学；4.4.无穷级数。无穷级数。2.2.一元函数的积分学一元函数的积分学；3.3.微分方程；微分方程；2008年9月

3、245南京航空航天大学 理学院 数学系 高等数学高等数学 工科数学分析工科数学分析数学分析数学分析 计算计算计算为主、计算为主、证明兼顾证明兼顾 证明证明2008年9月246南京航空航天大学 理学院 数学系 高高等等数数学学是是数数学学的的一一个个分分支支，是是数数学学的的基基础础理理论论课课之之一一，它它是是理理工工科科大大学学生生必必修修的的数数学学基基础础理理论论课课程程，也也是是学学习习后后续续数数学学的的必必修修课课程程，还还是是学学习习其其它专业的必修课。它专业的必修课。高等数学的性质与作用高等数学的性质与作用 高高等等数数学学的的概概念念、理理论论和和方方法法对对于于学学生生毕毕

4、业业后后从从事事科科学学研研究究、工工程程技技术术与与管管理理工工作作都都是是不不可可缺缺少少的的内内容容。同同时时也也是是参参加加具具有有选选拔拔功功能能的的水水平平考考试试的的必备基础。必备基础。2008年9月247南京航空航天大学 理学院 数学系 掌掌握握高高等等数数学学的的基基本本知知识识、基基本本理理论论和和基基本本的的计计算方法，提高数学素养；算方法，提高数学素养；高等数学的教学目的高等数学的教学目的 培培养养学学生生的的抽抽象象思思维维和和逻逻辑辑推推理理的的能能力力，以以及及辩辩证的思维方法；证的思维方法；培培养养学学生生的的空空间间想想象象能能力力，培培养养学学生生的的分分析

5、析问问题题和解决问题的能力；和解决问题的能力；为为学学生生进进一一步步学学习习数数学学打打下下基基础础，也也为为学学习习专专业业的后继课程准备必要的数学基础。的后继课程准备必要的数学基础。2008年9月248南京航空航天大学 理学院 数学系 认认识识高高等等数数学学的的重重要要性性，注注意意高高等等数数学学的的特特点点，改进学习方法改进学习方法 如何学习高等数学？如何学习高等数学？初初等等数数学学-研研究究对对象象为为常常量量，以以静静止止的的观观点研究问题；点研究问题；学数学最好的方法是做数学学数学最好的方法是做数学 高高等等数数学学-研研究究对对象象为为变变量量，运运动动和和辩辩证证法进入

6、了数学。法进入了数学。2008年9月249南京航空航天大学 理学院 数学系 （2）每次课后均布置作业，希望大家认真完成。）每次课后均布置作业，希望大家认真完成。（1）考试内容以课堂上讲的为范围，在第）考试内容以课堂上讲的为范围，在第12周前周前后会安排一次期中考试；后会安排一次期中考试；两点说明：两点说明：2008年9月2410南京航空航天大学 理学院 数学系第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数2008年

7、9月2411南京航空航天大学 理学院 数学系 第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数 1.1 集合及其运算集合及其运算 1.2 实数集的完备性与确界定理实数集的完备性与确界定理 1.3 映射与函数的概念映射与函数的概念 1.4 复合映射与复合函数复合映射与复合函数1.5 逆映射与反函数逆映射与反函数 1.6 初等函数与双曲函数初等函数与双曲函数 2008年9月2412南京航空航天大学 理学院 数学系n 集合论产生于十九世纪七十年代，集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家它是德国数学家康托康托（CantorCantor）创立的，创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般不仅是分析学的

8、基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。思想已渗入到数学的所有部门。“集合集合论观点论观点”与现代数学的发展不可分割地与现代数学的发展不可分割地联系在一起。联系在一起。2008年9月2413南京航空航天大学 理学院 数学系1.1 集合及其运算集合及其运算1、集合概念、集合概念具有某种具有某种确定性质确定性质对象的全体对象的全体.组成这个集合的个别对象称为该组成这个集合的个别对象称为该 集合集合元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素.集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合的元素等表示集合的元素.否则否则记记记作记作或或 注：集合中的

9、元素具有确定性、无重复性、无序性。注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。2008年9月2414南京航空航天大学 理学院 数学系2 2 表示法表示法(1)(1)列举法列举法：把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来,例例有限集合有限集合自然数集自然数集(2)(2)描述法描述法：x 所具有的性质所具有的性质P(x)例例 整数集合整数集合或或有理数集有理数集p p 与与 q q 互质互质实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数外加花括号外加花括号.正整数集正整数集2008年9月2415南京航空航天大学 理学院 数学系3 集合的关系集合的关系两个集合两个集合一般地一般

10、地,如如 则则子集子集则称则称集合集合A与与B相等相等,记作记作则称则称子集子集,(读作读作A含含于于B)或或(读作读作B包含包含 A).集合相等集合相等记作记作2008年9月2416南京航空航天大学 理学院 数学系如如空集空集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为则称则称真子集真子集记作记作如如 NZQR.真子集真子集,空集空集规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.今后在今后在提到一个集提到一个集合时合时,一般都是一般都是如不加特别声明如不加特别声明,非空集非空集.2008年9月2417南京航空航天大学 理学院 数学系集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质集合之间的相等

11、与包含关系具有以下几个性质:(1)反身性反身性(2)反对称性反对称性(3)传递性传递性 注：注：空集是唯一的。2008年9月2418南京航空航天大学 理学院 数学系 例 确定下列命题是否为真 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）a a；（7）a a；（8）a a，a；（9）a a，a。注注:（i）理解符号 和的区别和联系 (ii)理解集合 和 ；a 和a 的区别和联系。2008年9月2419南京航空航天大学 理学院 数学系给定两个集合给定两个集合 A,B,并集并集交集交集且且差集差集且且定义下列运算定义下列运算:或或4 集合的三种基本运算集合的三种基本运算2008年9月2420南京航

12、空航天大学 理学院 数学系注注研究某个问题时所考虑的对象的全体研究某个问题时所考虑的对象的全体记作记作例如例如,则则余集余集或或补集补集.ABAB并用并用 X 表示表示,称为称为全集全集或或基本集基本集,并把差积并把差积特别称为特别称为A的的例如例如,在在实数集实数集R中中,集合集合的的余集余集B关于关于A 余余(补补)集集2008年9月2421南京航空航天大学 理学院 数学系 ，D=5，求出以下集合。，例例 设，(1)(2)(4)(3)(5)AD2008年9月2422南京航空航天大学 理学院 数学系例例 用文氏图表示下列集合。(1)2008年9月2423南京航空航天大学 理学院 数学系 (2

13、)2008年9月2424南京航空航天大学 理学院 数学系(3)2008年9月2425南京航空航天大学 理学院 数学系例例 用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分(1)解：解：2008年9月2426南京航空航天大学 理学院 数学系(2)解：解：2008年9月2427南京航空航天大学 理学院 数学系5.集合的运算法则集合的运算法则为任意三个集合为任意三个集合,则下列法则成立则下列法则成立:(1)交换律交换律 AB=BA,AB=BA;(2)结合律结合律(AB)C=A(B C),(AB)C =A(B C);(3)分配律分配律 (AB)C=(A C)(B C),(AB)C=(A C)(B C);(4)对偶

14、律对偶律(AB)C=AC BC,(AB)C=AC BC;2008年9月2428南京航空航天大学 理学院 数学系(5)幂等律幂等律 AAAA(6)吸收律吸收律 A=A,=A;=A,A=2008年9月2429南京航空航天大学 理学院 数学系 定义定义 两个确定了先后次序的元素a,b组成的元素对,称为有序元素对,简称为有序偶,记为(a,b)。且规定 笛卡儿乘积 (a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d.注:有序偶(a,b)和集合a,b的区别.2008年9月2430南京航空航天大学 理学院 数学系 定义定义 有序偶集合(a,b)|a A,b B称为集合A和B的笛卡儿乘积,记为AB.例例 设A=1

15、,2,3,B=x,y,求AB,BA。(2)一般的,AB BA。注注:(1)A =B=;特例特例:记记为平面上的全体点集为平面上的全体点集2008年9月2431南京航空航天大学 理学院 数学系1.2 实数集的完备性与确界定理实数集的完备性与确界定理实数的定义实数的定义1 实数及其性质实数及其性质2008年9月2432南京航空航天大学 理学院 数学系实数集的一些重要性质实数集的一些重要性质四则（有理）运算封闭性四则（有理）运算封闭性：实数全体对加、减、乘、除运算封闭实数全体对加、减、乘、除运算封闭有序性有序性：任意两实数任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：必满足下述三个关系之一：稠密性：稠密性

16、：任意两个不相等实数之间还有另一个实数，任意两个不相等实数之间还有另一个实数，所以任意两个实数之间必存在无穷多实数所以任意两个实数之间必存在无穷多实数.有理数集也具有稠密性！有理数集也具有稠密性！2008年9月2433南京航空航天大学 理学院 数学系完备性完备性:实数的连续性实数的连续性有理数集不具有！有理数集不具有！（实数的连续性）（实数的连续性）2008年9月2434南京航空航天大学 理学院 数学系逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示表示“任取任取”,或或“任意给定任意给定”.“”表示表示“存在存在”,“至少存在一个至少存在一个

17、”,或或“能够找到能够找到”.Any(每一个每一个)或或All(所有所有的的)的字头的字头A的倒的倒写写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写“”表示表示“蕴含蕴含”,或或“推推出出”.“”表示表示“等价等价”,或或“充分必充分必要要”.2008年9月2435南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2436南京航空航天大学 理学院 数学系2 绝对值与不等式绝对值与不等式运算性质运算性质2008年9月2437南京航空航天大学 理学院 数学系几个常用的绝对值不等式几个常用的绝对值不等式:2008年9月2438南京航空航天大学 理学院 数学系几个重要不等式几个重要不等式2008年9

18、月2439南京航空航天大学 理学院 数学系几何平几何平均值均值算术平算术平均值均值2008年9月2440南京航空航天大学 理学院 数学系 区间是用得较多的一类数集区间是用得较多的一类数集(实数集合实数集合),具体具体是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数这两个实数叫做区间的端点叫做区间的端点.在数轴上可表示为在数轴上可表示为3.3.区间区间2008年9月2441南京航空航天大学 理学院 数学系 在数轴上可表示为在数轴上可表示为 除了开区间和闭区间外除了开区间和闭区间外,我们还可类似定义如下区间我们还可类似定义如下区间:2008年9月2442南京航空航天大学

19、 理学院 数学系 除了有限区间外除了有限区间外,我们还可以定义所谓的无限区我们还可以定义所谓的无限区间间.通过引入记号通过引入记号+(读作正无穷大读作正无穷大)及及-(读作负读作负无穷大无穷大),则可类似地表示无限区间则可类似地表示无限区间.如如:注注:以上这些区间均称为有限区间以上这些区间均称为有限区间,数数ba称为称为这些区间的长度这些区间的长度(区间两端点间的距离区间两端点间的距离),从数轴上从数轴上看看,这些有限区间是长度有限的线段这些有限区间是长度有限的线段.2008年9月2443南京航空航天大学 理学院 数学系 注注:在不需要辨明所论区间是否包含端点在不需要辨明所论区间是否包含端点

20、,以及以及是有限区间还是无限区间时是有限区间还是无限区间时,我们可简单地称其为我们可简单地称其为“区间区间”,且常用且常用I表示表示.全体实数全体实数R可记作可记作(-,+),为一无穷区间为一无穷区间.2008年9月2444南京航空航天大学 理学院 数学系4 4 邻域邻域:2008年9月2445南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2446南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2447南京航空航天大学 理学院 数学系5 5 有界数集与确界原理有界数集与确界原理有界数集有界数集定义定义1.1(有界数集）有界数集）2008年9月2448南京航空航天大学 理学院 数学系因此因此 A

21、无上界无上界.证证 故故 A 有下界有下界.取取 l=1,例例2008年9月2450南京航空航天大学 理学院 数学系确界确界若数集若数集 A 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其而其中最小的一个具有重要的作用中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为最小的上界称为上确界上确界,记作记作supA.同样同样,若若A有下界有下界,则最大的则最大的下界称为下确界，记作下界称为下确界，记作infA.先给定确界的直观定义先给定确界的直观定义MM2M1上确界上确界上界上界 m2mm1下确界下确界下界下界2008年9月2451南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义2 2（确界的精确定义）

22、（确界的精确定义）设设A为实数集为实数集R的非空子集，若数的非空子集，若数 s 满足以下两条：满足以下两条：则称则称 s 为实数集为实数集A的的上确界上确界，记作，记作 sup A若数若数 t 满足以下两条：满足以下两条：则称则称 t 为实数集为实数集A的的下确界下确界，记作，记作 inf A2008年9月2452南京航空航天大学 理学院 数学系证证 先证先证 sup A=1.例例 2008年9月2453南京航空航天大学 理学院 数学系 注：实数集的上界、下界、上确界注：实数集的上界、下界、上确界,下确界均未下确界均未必存在，若上确界必存在，若上确界,下确界存在则唯一下确界存在则唯一2008年

23、9月2454南京航空航天大学 理学院 数学系任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界.注：非空有界实数集的上（下）确界是唯一的！注：非空有界实数集的上（下）确界是唯一的！定理定理1.1 (确界原理确界原理)以下确界原理也可作公理以下确界原理也可作公理,不予证明不予证明.问题：满足什么条件的实数集必有上确界和下确界问题：满足什么条件的实数集必有上确界和下确界？上述确界原理的证明利用到实数集的完备性上述确界原理的证明利用到实数集的完备性.2008年9月2455南京航空航天大学 理学院 数学系数集的最大数、最小数与上确界、下确界的关系数集的最大数、最小

24、数与上确界、下确界的关系设设A为实数集为实数集R的非空子集，且的非空子集，且A有最大值和最小值，有最大值和最小值，则则证明证明b0为是数集为是数集A的一个上界，并且比的一个上界，并且比b0小的数都不是小的数都不是A的上界的上界，所以，所以b0就是最小的上界。就是最小的上界。2008年9月2456南京航空航天大学 理学院 数学系1.3 映射与函数的概念映射与函数的概念 1 1、映射的概念、映射的概念定义定义 设设 A、B是两个非空集合是两个非空集合,如果存在如果存在一个法则一个法则f,使得对使得对通过通过f,在在B中有中有唯一唯一确定的确定的元素元素 y 与之对应与之对应,则称则称f 为为从从

25、A 到到 B 的的映映(或或算子算子),记作记作并称并称y为为x(在映射在映射f下下)的的象象,即即x称为称为y(在映射在映射f下下)的的原象原象.射射定义域定义域 即即记记或或称为映射的称为映射的值域值域2008年9月2457南京航空航天大学 理学院 数学系对对元素元素 x 的象的象y是是唯一唯一的的;而对而对元素元素 y 的原象不一定是唯一的的原象不一定是唯一的;映射映射 f 的值域的值域是是Y 的一个子的一个子集集,不一定不一定(2)注注(1)集合集合A,即定义域即定义域对应法则对应法则f,使对使对有有唯一唯一确定的确定的与之对应与之对应.二个要素二个要素:构成一个构成一个映射映射必须具

26、备以下必须具备以下(3)设设若若则称映射则称映射 f与与g相等相等，记作，记作2008年9月2458南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2459南京航空航天大学 理学院 数学系若若，就称该映射是，就称该映射是A到到B上的映射上的映射(即即满射满射).若若 中的每个中的每个y，都有，都有唯一唯一的原象，则称的原象，则称 为为单射单射.若若必有必有若映射若映射f 则称则称f 是是一一 一一 映射映射(或或双射双射)，又是单射又是单射,既是满射既是满射,即，即，即即B 中任一元素中任一元素y 都是都是A中某中某元素的象元素的象.即，即，若若必有必有2 2、一一映射、一一映射与对等与对等20

27、08年9月2460南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2461南京航空航天大学 理学院 数学系例例 设设对应关系对应关系:既既非满射非满射,又又非单射非单射;满射满射,非单射非单射;单射单射,非满射非满射;满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.对定义域内的任一对定义域内的任一x,2008年9月2462南京航空航天大学 理学院 数学系(1)如如图图,令由令由A 到到B的对应关系为的对应关系为则则f 是一个从是一个从A到到B 的映射的映射.满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.(2)令令则则f 是一个从是一个从N+到到B的映射的映射.满射满射,单射单射,即为即为一一映射一

28、一映射.2008年9月2463南京航空航天大学 理学院 数学系映射又称为映射又称为算子。算子。根据集合根据集合A、B的的不同情形不同情形,在不同的数学分支中在不同的数学分支中,映射映射又有不同的惯用名称：又有不同的惯用名称：非空集非空集A到到数集数集B的映射称为的映射称为泛函泛函非空集非空集A到它到它自身自身的映射称为的映射称为 A上的变换上的变换从实数集从实数集(或其子集或其子集)X到实数集到实数集Y的映的映射通常称为射通常称为 定义在定义在A上的函数上的函数2008年9月2464南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义 设设A和和B是两个非空集合，若存在映射是两个非空集合，若存在映射则称集

29、合则称集合A A与与B对等对等(等势）等势），记为，记为若两个集合彼此对等，则认为它们个数是相同的！若两个集合彼此对等，则认为它们个数是相同的！(1)反身性：反身性：(2)对称性：对称性：若若，则，则(3)传递性：传递性：若若，则，则等等价价关关系系对任意的集合对任意的集合A，B，C，对等关系具有如下性质，对等关系具有如下性质2008年9月2465南京航空航天大学 理学院 数学系例例2008年9月2466南京航空航天大学 理学院 数学系3 3 函数的概念函数的概念 定义定义1.4设实数设实数集集则称映射则称映射为定义在为定义在A上的上的函数函数,通常简记为通常简记为自变量自变量因变量因变量定义

30、域定义域(domain)定义中定义中,按对应法则按对应法则f,总有总有唯一唯一确定的值确定的值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的处的函数值函数值,记作记作函数关系函数关系函数值函数值全体组成的集合称为全体组成的集合称为range记作记作即即函数函数f 的的值域值域,2008年9月2467南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2468南京航空航天大学 理学院 数学系自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.两两函数只有在定义域和对应法则皆相同函数只有在定义域和对应法则皆相同时才能称为相同时才能称为相同

31、.2008年9月2469南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2470南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月2471南京航空航天大学 理学院 数学系常用的定义函数的方法常用的定义函数的方法n列表法列表法n图像法图像法2008年9月2472南京航空航天大学 理学院 数学系取自变量在取自变量在横横轴上轴上在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化因变量在纵轴上变化,则函数则函数的图形的图形是指是指变化变化,平面点集平面点集:通常是一条或几条通常是一条或几条曲线曲线(包括直线包括直线).中的集合中的集合函数的图像函数的图像 函数的一种直观表示方法函数的一种直观表示方法.

32、2008年9月2473南京航空航天大学 理学院 数学系常用的定义函数的方法常用的定义函数的方法n解析法解析法q显函数形式（显函数形式（y由由x的解析式直接表示出的解析式直接表示出来）来）q隐函数形式隐函数形式（y没有由没有由x的解析式直接的解析式直接表示出来表示出来)q分段函数形式（函数在其定义域的不分段函数形式（函数在其定义域的不同范围内具有不同的解析表达式）同范围内具有不同的解析表达式）2008年9月2474南京航空航天大学 理学院 数学系例例2008年9月2475南京航空航天大学 理学院 数学系设设则则f(x)的定义域的定义域 20 填空填空:2008年9月2476南京航空航天大学 理学

33、院 数学系2.用分段函数表示函数用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:即即注注而不是几个函数而不是几个函数.1-2432008年9月2477南京航空航天大学 理学院 数学系几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数绝对值函数绝对值函数例例 定义域定义域值域值域2008年9月2478南京航空航天大学 理学院 数学系符号函数符号函数 定义域定义域值域值域对对例例有有或或2008年9月2479南京航空航天大学 理学院 数学系 取整函数取整函数如如例例当当阶阶梯梯曲曲线线 定义域定义域值域值域表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数2008年

34、9月2480南京航空航天大学 理学院 数学系例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数)定义域定义域值域值域有理数点有理数点无理数点无理数点2008年9月2481南京航空航天大学 理学院 数学系yxoyxo 取最值函数取最值函数例例2008年9月2482南京航空航天大学 理学院 数学系oyM-Mxy=f(x)D有界有界1函数的有界性函数的有界性:例如例如 函数函数y=y=sinx,ysinx,y=cosxcosx在在（-,+)-,+)上均为有界函数上均为有界函数.函数的几种特性函数的几种特性2008年9月2483南京航空航天大学 理学

35、院 数学系2008年9月2484南京航空航天大学 理学院 数学系是是单调增加单调增加;如果对如果对恒有恒有（若改为严格不等号时，（若改为严格不等号时，称为严格单调增加的）称为严格单调增加的）2函数的单调性函数的单调性:例：例：y=ey=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。2008年9月2485南京航空航天大学 理学院 数学系是是单调减少单调减少.如果对如果对恒有恒有（若改为严格不等号时，（若改为严格不等号时，称为严格单调减少的）称为严格单调减少的）2008年9月2486南京航空航天大学 理学院 数学系注注:单调增加函数和单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数单调减少函数

36、统称为单调函数.注注 应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误.2008年9月2487南京航空航天大学 理学院 数学系3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-xyxox-x奇函数奇函数2008年9月2488南京航空航天大学 理学院 数学系4函数的周期性函数的周期性:2008年9月2489南京航空航天大学 理学院 数学系周期为周期为 的周期函数的周期函数 注注:并非所有周期函数都存在最小正周期并非所有周期函数都存在最小正周期.2008年9月2490南京航空航天大学 理学院 数学系例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数有理数点有理数点无理数点无理数点1xy

37、o(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数,任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.2008年9月2491南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义.由上述映射链可定义由由上述映射链可定义由 A到到 C 的映射称为的映射称为g与与f构成的构成的复复设有映射链设有映射链记作记作合映射合映射,或或1.4 1.4 复合映射与复合函数复合映射与复合函数(1)复合映射复合映射中间元素中间元素称为复合运算称为复合运算 注意注意:构成复合映射的条件构成

38、复合映射的条件 不可少不可少.2008年9月2492南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义.由上述函数链可定义由由上述函数链可定义由 A到到 C 的函数称为的函数称为g与与f构成的构成的复复设有函数链设有函数链记作记作合函数合函数,或或中间元素中间元素(2)复合函数复合函数 复合映射的特例复合映射的特例 注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少.2008年9月2493南京航空航天大学 理学院 数学系(1)逆映射的定义逆映射的定义 定义定义:设映射设映射,若存在另一映射若存在另一映射使使记成记成例如例如,映映射射其逆映射为其逆映射为其中其中称此称此映射映射为为 f 的的逆映

39、射逆映射.称称 f是是可逆映射可逆映射.设映射设映射为为 f 的逆映射的充要条件是的逆映射的充要条件是1.5 1.5 逆映射与反函数逆映射与反函数 2008年9月2494南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1.21.2 映射映射 是可逆映射的充分必要是可逆映射的充分必要 条件是条件是 为为 到到 的一一映射。的一一映射。定义定义设是非空集合，定义映射设是非空集合，定义映射 如下：如下：称是上的称是上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射。2008年9月2495南京航空航天大学 理学院 数学系（2）反函数反函数(i)反函数的概念及性质反函数的概念及性质设函数设函数若存在逆映射若存在逆映射习惯

40、上习惯上,的反函数记成的反函数记成称此称此映射映射为为 f 的的反函数反函数.2008年9月2496南京航空航天大学 理学院 数学系问题问题:满足什么条件的函数才有反函数满足什么条件的函数才有反函数?回答回答:构成一一映射的函数就有反函数。构成一一映射的函数就有反函数。则其反函数则其反函数(减减).1)yf(x)严格单调递增严格单调递增且也严格单调递增且也严格单调递增 性质性质:(减减),2008年9月2497南京航空航天大学 理学院 数学系（ii)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称.例如例如,对数函数对数函数互为反函数互为反函数,它们都严格单调递增它们都严格单调

41、递增,其其图形关于直线图形关于直线对称对称.指数函数指数函数2008年9月2498南京航空航天大学 理学院 数学系1.6 初等函数与双曲函数初等函数与双曲函数1.1.基本初等函数基本初等函数常数函数常数函数;幂函数幂函数;指数函数指数函数;对数函数对数函数;三角函数三角函数;反三角函数反三角函数2008年9月2499南京航空航天大学 理学院 数学系幂函数2008年9月24100南京航空航天大学 理学院 数学系指数函数2008年9月24101南京航空航天大学 理学院 数学系对数函数2008年9月24102南京航空航天大学 理学院 数学系三角函数（正弦函数）2008年9月24103南京航空航天大学

42、 理学院 数学系三角函数（余弦函数）2008年9月24104南京航空航天大学 理学院 数学系三角函数（正切函数）2008年9月24105南京航空航天大学 理学院 数学系三角函数（余切函数）2008年9月24106南京航空航天大学 理学院 数学系三角函数（正割函数）2008年9月24107南京航空航天大学 理学院 数学系三角函数（余割函数）2008年9月24108南京航空航天大学 理学院 数学系反三角函数反三角函数2008年9月24109南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月24110南京航空航天大学 理学院 数学系2008年9月24111南京航空航天大学 理学院 数学系 幂函数幂函数,

43、指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2008年9月24112南京航空航天大学 理学院 数学系2.初等函数初等函数由六类基本初等函数由六类基本初等函数例如例如,经过经过有限次有限次四则运算和复合四则运算和复合运算所产生的函数运算所产生的函数,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为故为初等函数初等函数.注注:分段函数未必是初等函数分段函数未必是初等函数.2008年9月24113南京航空航天大学 理学院 数学系奇函数奇函数.偶函数偶函数.1)双曲函数双曲函数 叠叠加加法法3.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲

44、正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦2008年9月24114南京航空航天大学 理学院 数学系奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲正切函数2008年9月24115南京航空航天大学 理学院 数学系双曲函数常用公式双曲函数常用公式2008年9月24116南京航空航天大学 理学院 数学系2)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,可得可得 反双曲正弦反双曲正弦的反函数的反函数,单调增加单调增加.2008年9月24117南京航空航天大学 理学院 数学系 反双曲余弦反双曲余弦单调增加单调增加.2008年9月24118南京航空航天大学 理学院 数学系奇函数奇函数,反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.2008年9月24119南京航空航天大学 理学院 数学系非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当当 x 0当当 x=0当当 x 0取整函数取整函数当当2008年9月24120南京航空航天大学 理学院 数学系不是初等函数不是初等函数.2008年9月24121南京航空航天大学 理学院 数学系Z 思考思考1.2.2008年9月24122南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答不能不能1.设设则则故故2.2008年9月24123南京航空航天大学 理学院 数学系例例1 1解解2008年9月24124南京航空航天大学 理学院 数学系综上所述综上所述2008年9月24125南京航空航天大学 理学院 数学系