激光钻孔教学提纲.ppt

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1、激光钻孔 一、物理模型钻孔原理l激光钻孔的原理是将高能量的激光束照射激光钻孔的原理是将高能量的激光束照射在加工物体上，物体被照射部分温度上升，在加工物体上，物体被照射部分温度上升，当温度达到熔点时开始熔化，同时吸收熔当温度达到熔点时开始熔化，同时吸收熔化潜热，被熔化的物质在激光束照射下继化潜热，被熔化的物质在激光束照射下继续受热，温度进一步上升，当液体达到汽续受热，温度进一步上升，当液体达到汽化温度时，开始汽化，同时吸收汽化潜热，化温度时，开始汽化，同时吸收汽化潜热，汽化物不断挥发，在物体上不断留下深孔，汽化物不断挥发，在物体上不断留下深孔，完成钻孔的过程。完成钻孔的过程。11/20/2022

2、2变量及其说明W 激光束的能量激光束的能量A 物体受激光照射的表面积物体受激光照射的表面积 W/A通常称为能量密度通常称为能量密度(一般可达一般可达100kW/)我我们们将将假假设设垂垂直直于于激激光光束束的的边边界界热热传传导导可可以以忽忽略略，从从而而建建立立一一维维模模型型，我我们们还还假假设设物物体体表表面面对对激激光光束束的的反反射射和和熔熔化化后后物物体的流动都可忽略。体的流动都可忽略。11/20/20223 设物体的初始温度为设物体的初始温度为T=0,单位物质从单位物质从0 0开始升温，直到汽化所需热量包括以下开始升温，直到汽化所需热量包括以下几个部分：几个部分：从零度到熔点从零

3、度到熔点 吸收热量吸收热量 ,其中其中c 为该材料的比热为该材料的比热;熔化潜热熔化潜热 ；从熔化到气化点从熔化到气化点 吸收热量吸收热量 ；气化潜热气化潜热 所需的总热量为所需的总热量为 。(1.1)11/20/20224 对对许许多多物物质质，特特别别是是金金属属，约约为为0.02到到0.06之之间间。因因此此熔熔化化潜潜热热可可以以忽忽略略，单单位位物物质质从从零零度度到到气气化化所所需需要要的的总总热热量量化化为：为：(1.2)这意味着熔化过程可以忽略。这意味着熔化过程可以忽略。11/20/20225 二、数学模型 取取物物体体表表面面上上的的一一点点为为原原点点，z轴轴为为垂垂直直与

4、与物物体体表表面面并并指指向向物物体体内内部部的的坐坐标标轴轴，用用 t 表示时间，表示时间，s(t)表示时刻表示时刻 t 孔的深度。孔的深度。（参见下面一页的图片）（参见下面一页的图片）由由于于忽忽略略了了熔熔化化过过程程，可可以以认认为为物物质质被被激激光光束束从从零零度度加加热热至至气气化化点点，在在吸吸收收气气化化潜潜热热的的过过程程中中挥挥发发，形形成成所所需需要要的的孔孔，由由于于刚刚开开始始钻钻孔孔时时，激激光光束束将将物物体体表表层层加加热至气化点需要一段时间。热至气化点需要一段时间。11/20/2022611/20/20227 在这段时间内，物质不会气化挥发，物体在这段时间内

5、，物质不会气化挥发，物体上的孔尚未形成，我们称这段时间为预热上的孔尚未形成，我们称这段时间为预热时间，称激光钻孔的这一阶段为预热过程。时间，称激光钻孔的这一阶段为预热过程。又由于忽略了热量向孔的周围的扩散，又由于忽略了热量向孔的周围的扩散，在钻孔过程中只需考察激光束作用范围内在钻孔过程中只需考察激光束作用范围内的物质，即以激光束照射的表面为底面，的物质，即以激光束照射的表面为底面，向向z方向延伸的正圆柱体。在时刻方向延伸的正圆柱体。在时刻t，这一圆，这一圆柱体的任意截面上的温度可视为相同的。柱体的任意截面上的温度可视为相同的。有关激光钻孔的直观描述，参见有关激光钻孔的直观描述，参见动画动画。1

6、1/20/20228l设设时时刻刻t上上述述圆圆柱柱体体在在深深度度为为z处处(尚尚未未气气化化的的部部分分)的的截截面面上上的的温温度度为为 。在在圆圆柱柱内内尚尚未未气气化化的的部部分分，激激光光束束提提供供的的热热量量按按普普通通的的热热传传导导规规律律向向深深度度方方向向传传播播。现现考考察察任任意意孔孔未未到到达达的的深深度度z，即即 。取取一一高高为为微微小小量量的的界界于于 的的圆圆柱柱体体，考考察在时间察在时间 的热量平衡。的热量平衡。l根据富里埃传热定律，单位时间内通过垂根据富里埃传热定律，单位时间内通过垂直于温度梯度的单位面积流入的热量于该直于温度梯度的单位面积流入的热量于

7、该处的温度外法向导数成正比，比例系数处的温度外法向导数成正比，比例系数k称称为热传导系数。因此从圆柱上底面流入圆为热传导系数。因此从圆柱上底面流入圆柱内的热量为柱内的热量为 11/20/20229 (2.1)从圆柱下底面流入圆柱的热量为从圆柱下底面流入圆柱的热量为 (2.2)传传入入的的热热量量使使圆圆柱柱体体内内的的温温度度从从 升升高高至至 。温温度度升升高高所所需需的的热热量量为为 (2.3)11/20/202210 其其中中 为为加加工工物物体体的的密密度度，c为为该该物物体体的的比比热热，由由于于热热平平衡衡规规律律，从从外外部部通通过过顶顶、底底面面传传入入的的热热量量，应应等等于

8、于导导致致这这段段圆圆柱柱体体温温度升高所需的热量，即度升高所需的热量，即 (2.4)引入引入 ，(2.5)11/20/202211 在在(2.4)式式两两端端同同时时除除以以 ，令令 ，整理可得，整理可得 (2.6)换换言言之之，在在zt平平面面的的区区域域温温度度函函数数满满足足一维热传导方程一维热传导方程(2.6)。参见参见,图图3。11/20/20221211/20/202213 s(t)表表示示时时刻刻t孔孔的的深深度度，z=s(t)称称为为气气化化曲曲线线，这这条条曲曲线线是是区区域域的的上上边边界界。但但这这条条曲曲线线事事先先并并不不知知道道，所所以以它它是是问问题题的的“不不

9、定定边边界界”。在在此此边边界界上上，温温度度函函数数应应满满足一定的边界条件。足一定的边界条件。首首先先在在z=s(t)处处，物物体体气气化化挥挥发发，温温度度应达到气化点，因此有应达到气化点，因此有 (2.7)称为气化条件称为气化条件 再考虑时段再考虑时段的气化过程，在此时段激的气化过程，在此时段激光束产生的热量是：光束产生的热量是：11/20/202214 同同时时，深深度度从从s(t)至至 一一段段柱柱体体气气化挥发需吸收气化潜热为：化挥发需吸收气化潜热为：又又由由富富里里埃埃传传热热定定律律，这这段段时时间间传传到到物物体体内内部部的的热热量量为为 ，由由热热平平衡衡，应应有有 (2

10、.8)将将上上式式两两边边同同除除以以 ，然然后后令令 并并稍稍加加整整理理，可可得得在在气气化化曲曲线线上上应应满满足足的的热热平平衡方程：衡方程：11/20/202215 (2.9)在在预预热热的的过过程程中中，激激光光产产生生的的热热量量全全部部传传导导到到物物质质中中去去，因因而而，设设预预热热时时间间为为 ，当当 时，有时，有 (2.10)另另外外，孔孔的的深深度度相相对对于于整整个个物物体体的的尺尺寸寸而而言言是是比比较较小小的的，离离孔孔很很远远处处的的物物质质可可认认为为保持初始的温度，因而有，当保持初始的温度，因而有，当 时，时，11/20/202216 综合以上所述，激光钻

11、孔的数学模型综合以上所述，激光钻孔的数学模型是求是求 和和 满足满足11/20/202217 (2.12)这这是是一一个个热热传传导导方方程程的的边边值值问问题题。但但是是问问题题的的边边界界z=s(t)事事先先是是未未知知的的，需需在在求求解解过过程程中中和和方方程程的的未未知知函函数数一一起起解解出出，所所以以边边值值问问题题(2.12)称称为为不不定定边边界界（或或自自由由边边界界）问问题题，在在这这个个问问题题中中虽虽然然微微分分方方程程是是线线性性的的，由由于于不不定定边边界界的的存存在在，问问题题的的求求解解较较为困难。为困难。11/20/202218 三、钻孔的极限速度三、钻孔的

12、极限速度 我我们们首首先先讨讨论论较较为为简简单单的的情情形形蒸蒸发发起起支支配配作作用用时时钻钻孔孔的的极极限限速速度度。在在这这种种情情况况下下，假假设设热热传传导导过过程程可可以以忽忽略略，激激光光产产生生的的热热量量全全部部用用来来使使一一部部分分物物质质加加热热气气化化。此时，不定边界上的热平衡方程变成：此时，不定边界上的热平衡方程变成：(3.1)其中其中 表示时段表示时段 激光束产生的热激光束产生的热量，而上式右端表示在这段时间气化的物量，而上式右端表示在这段时间气化的物质所需的热量。质所需的热量。11/20/202219 (3.1)式可化为式可化为 其中其中 。由由于于在在一一般

13、般情情况况下下成成立立 我我们们称称由由(3.2)式定义的式定义的v为钻孔的极限速度。为钻孔的极限速度。在在蒸蒸发发起起支支配配作作用用的的情情况况下下，没没有有预预热过程，所以热过程，所以 ，积分，积分(3.2)式得式得 (3.3)11/20/202220 这是原问题这是原问题(2.12)的不定边界的一种近似。的不定边界的一种近似。既然不定边界可用既然不定边界可用(3.3)式表示，即孔式表示，即孔的深度按常速度的深度按常速度v 发展，人们自然会考虑发展，人们自然会考虑是否也存在一种温度分布按常速度是否也存在一种温度分布按常速度 v 向向z方方向移动的近似解。若固定向移动的近似解。若固定t，T

14、(z,t)是是zT 平面上的一条曲线，称为温度剖面曲线。平面上的一条曲线，称为温度剖面曲线。上述问题就可以更确切的提为：是否存在上述问题就可以更确切的提为：是否存在温度剖面曲线以速度温度剖面曲线以速度v方向平移的解？如果方向平移的解？如果这样的解存在，就称为温度波解，其形式这样的解存在，就称为温度波解，其形式应为应为 (3.4)11/20/202221 将这样形式的解代入方程将这样形式的解代入方程(2.6)，应满足应满足 (3.5)解得解得 (3.6)其中其中，,为待定常数。为待定常数。由由不不定定边边界界条条件件(2.7)和和无无穷穷远远边边界界条条件件(2.11)，易得，易得 (3.7)(

15、3.8)利用利用(3.7)和和(3.8)决定决定(3.6)中的常数，得中的常数，得 11/20/202222 (3.9)从而温度波解为从而温度波解为 (3.10)我们用温度波解来估计忽略热传导带来我们用温度波解来估计忽略热传导带来 误差。对温度波解误差。对温度波解 (3.11)其中其中 (3.12)称称为为特特征征长长度度，计计算算在在单单位位时时间间内内热热传传导导所需的热量和气化蒸发所需的热量之比所需的热量和气化蒸发所需的热量之比11/20/202223 (3.13)其中其中 (3,14)表示单位质量的物质从零度达到气化点表示单位质量的物质从零度达到气化点所需的热量与气化潜热之比。对常见的

16、物所需的热量与气化潜热之比。对常见的物质质,一般界于一般界于0.06到到0.25之间，是一个小量。之间，是一个小量。11/20/202224 据据(3.13)式式 .(3.15)因此因此 可以作为忽略热传导的误差的一可以作为忽略热传导的误差的一种估计。种估计。11/20/202225 四、摄动解 将原问题将原问题(2.12)关于小参数关于小参数 作渐近展开，作渐近展开，可求得它的另一种近似解可求得它的另一种近似解摄动解。为摄动解。为此，现简单的介绍渐近展开和摄动解的概此，现简单的介绍渐近展开和摄动解的概念。念。1 1、渐近展开和摄动解、渐近展开和摄动解 考察一个考察一个 的函数序列，若对一切的

17、函数序列，若对一切 当当 时，成立时，成立 (4.1)11/20/202226 就称就称 是是 的一个渐近序列。的一个渐近序列。若对含参数若对含参数 的函数的函数 和渐近序列和渐近序列 ，当，当 时时 (4.2)对对 成立，则称成立，则称 (4.3)是当是当 时时 关于序列关于序列 直直到到N项项的的渐渐近近展展开开式式，其其中中 称称为为展展开开系数。若系数。若 ，通常用记号，通常用记号 (4.4)11/20/202227 不不难难将将上上述述概概念念推推广广到到多多自自变变量量函函数数的的情情形。形。对含有参数对含有参数 的微分方程的定解问题，的微分方程的定解问题，蒋未知函数关于某渐近序列

18、作渐近展开，蒋未知函数关于某渐近序列作渐近展开，并将展开式代入微分方程和定解条件，比并将展开式代入微分方程和定解条件，比较渐近序列各项的系数，可得各展开系数较渐近序列各项的系数，可得各展开系数应满足的微分方程的定解问题。一般说来，应满足的微分方程的定解问题。一般说来，所得的定解问题比较简单，求解可的未知所得的定解问题比较简单，求解可的未知函数渐近展开式的各项系数，从而决定未函数渐近展开式的各项系数，从而决定未知函数的渐近展开式。通常，取未知函数知函数的渐近展开式。通常，取未知函数的前几项作为原问题的近似解。的前几项作为原问题的近似解。11/20/202228 2 2、无量纲化、无量纲化 无无量

19、量纲纲化化是是一一种种应应用用数数学学的的常常用用技技巧巧，可可以以简简化化问问题题并并更更清清楚楚的的看看出出问问题题对对小小参参数的依赖关系。引入新的变量数的依赖关系。引入新的变量 ,(4.5)其中其中 ，v和和l 定义如前。在新的变量下，定义如前。在新的变量下，热传导方程热传导方程(2.6)化为化为 (4.6)不定边界方程不定边界方程 化为化为 (4.7)11/20/202229 不定边界上的气化条件不定边界上的气化条件 化为化为 ，(4.8)而其上的热平衡方程而其上的热平衡方程(2.9)化为化为 (4.9)注意到注意到 ，可得可得 11/20/202230 而而 ，热平衡方程热平衡方程

20、(4.9)记为记为 (4.10)即即 .(4.11)初始条件和无穷远条件分别化为：初始条件和无穷远条件分别化为：(4.12),当当 .(4.13)预热边界预热边界 ，成为成为 11/20/202231 ，(4.14)其上的热平衡方程其上的热平衡方程(2.10)化为化为 (4.15)综综合合上上述述各各式式，在在新新变变量量下下，激激光光钻钻孔孔的的数学模型成为：求数学模型成为：求 和和 ，满足，满足11/20/202232 (4.16)11/20/202233 3.3.摄动解摄动解 l渐近展开渐近展开 取取 时的渐近序列时的渐近序列 ，分别将，分别将 和和 作渐近展开作渐近展开 (4.17)(

21、4.18)将将(4.17)代入热传导方程，比较代入热传导方程，比较 的零次的零次和一次项系数，分别得到：和一次项系数，分别得到：（4.19）11/20/202234 (4.20)将将(4.17)和和(4.18)代入代入(4.16)的不定边界的不定边界条件中，得条件中，得 (4.21)(4.22)从而得知在不定边界上应有从而得知在不定边界上应有 (4.23)(4.24)11/20/202235 由由(4.16)的初始条件，易知的初始条件，易知 ：.(4.25)而从无穷远条件可得而从无穷远条件可得 (当当 时时).(4.26)通过计算可以说明，预热时间通过计算可以说明，预热时间 (见习题见习题2)

22、，故应有，故应有 (4.27)我我们们主主要要的的目目的的在在于于求求出出较较长长时时间间后后钻钻孔孔的的速速度度 。现现设设法法求求出出精精度度为为 的的近近似似解解,即求即求 11/20/202236 由由(2.24)式，只需求出式，只需求出 和和 ,立即得到立即得到 ，不必再求，不必再求 。从从(4.23)的第二式及的第二式及(4.27)立即可得立即可得 (4.28)也也就就是是说说，忽忽略略了了 的的同同阶阶和和高高阶阶量量之之后后，不定边界为不定边界为 .(4.29)所以所以 应是下述问题的解：应是下述问题的解：11/20/202237 (4.30)(4.30)是区域是区域(参见图参

23、见图4)上初、边值条件的上初、边值条件的热传导方程的定解问题，热传导方程的定解问题，11/20/202238 图411/20/202239l求解求解 对方程对方程(4.30)，用延拓方法可以将它化为用延拓方法可以将它化为热传导方程的初值问题，得到其解。热传导方程的初值问题，得到其解。首先，令首先，令 （4.31）显然显然 在在 满足热传导方程，且在满足热传导方程，且在 时取零值。时取零值。然然后后对对 关关于于边边界界 作作变变形形奇奇延延拓拓，延延拓至上半平面，即引入新的函数拓至上半平面，即引入新的函数 ：11/20/202240 （4.32）可以验证可以验证 及其导数及其导数 ，在在整整个

24、个上上半半平平面面上上都都是是连连续续的的，且且 在在其其上上满满足足热热传传导导方方程程。利利用用 满满足足的的初初始始条条件件，可可知知 在在 满满足足的的初初始始条条件件，从从而而得得到到关于关于 的定解问题：的定解问题：(4.33)11/20/202241 用用热热传传导导方方程程的的泊泊松松公公式式可可求求得得(4.33)解解的表达式：的表达式：作适当的变量代换后作适当的变量代换后 （4.34）11/20/202242 采用概率误差函数记号：采用概率误差函数记号：(4.35)利用概率误差函数的性质利用概率误差函数的性质,(4.36)即得即得 ，(4.37)因因 ，又当，又当 时，时，所以，所以 (4.38)11/20/202243 由由(4.24)式式 (4.39)从而得到从而得到 较大时的钻孔速度较大时的钻孔速度 (4.40)11/20/202244此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢