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1、活页作业抛物线一、选择题1以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0Bx2y2x0Cx2y2x0Dx2y22x0解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即为所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r1，故所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.答案：D2(理)(2013东营模拟)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx22(文)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A.B1C2D4解析：由题知抛物线
2、的准线为x，圆心为(3,0)、半径为4，由准线与圆相切得圆心到准线的距离d34，解得p2.答案：C3(理)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2By22xCx22yDy22x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则且两式相减可得2p(y1y2)kAB22，p1，故抛物线C的方程为y22x.答案：B3(文)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212xBy28xCy26
3、xDy24x解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得x1x2p8，又AB中点到y轴的距离为2，x1x24，p4.答案：B4(2013济南模拟)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48解析：设抛物线方程为y2 2px，当x时，y2p2，|y|p.p6，又点P到AB的距离始终为6，SABP12636.故选C.答案：C5(理)(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D2解析：如图所示
4、，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.6(理)过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条解析：抛物线的焦点为，当直线与x轴垂直时不满足题意，当直线不与x轴垂直时，设其方程为yk，代入y22x，整理得k2x2(k22)xk20.设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，k22，k，且满足0.故选B.答案：B6(文)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0
5、D1或0解析：由消去y整理得k2x2(4k8)x40，由直线与抛物线只有一个公共点得或k0，解得k1或k0.答案：D二、填空题7(2012陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1，x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x6，x0.水面宽|CD|2 m.答案：28(2013长春模拟)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为
6、A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是_解析：根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x4，则抛物线方程为y216x.把M(1，m)代入得m4，即M(1,4)在双曲线y21中，A(，0)，则kAM，解得a.答案：三、解答题9(理)已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值解：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线9(文)已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，
7、求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值解：(1)由已知，x4不合题意设直线l的方程为yk(x4)，由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以.解得k，所以直线l的斜率为.(2)设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)由消去x整理得y2y0yyx0(x04)0，y1y2.N为AB中点，y0，即y0.x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.10(理)(2
8、012湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，求证：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值(1)解：方法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离
9、因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明：当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由消去x整理得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y
10、1y2y3y46 400.所以当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.10(文)(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面积的最大值解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)由题意知，设直线AB的斜率为k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，(y1y2)1.又y1y22m，k2m1，k直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x整理得8