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1、优质文本新课标必修(bxi)3概率局部知识点总结及典型例题解析u 事件：随机事件 确定性事件: 必然事件和不可能事件v 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 在次实验中发生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为 说明： 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越
2、小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值w 概率必须满足三个根本要求： 对任意的一个随机事件 ，有 如果事件x 古典概率： 所有根本领件有限个 每个根本领件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的根本领件的个数为个，那么每一个根本领件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中的个等可能的根本领件，那么事件发生的概率为 y 几何概型：一般地，一个几何区域中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内为事件，那么事件发生
3、的概率为 这里(zhl)要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 几何概型的根本特点： 根本领件等可性 根本领件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只与该局部的侧度成正比，而与其形状无关。z互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件complementary events：两个互斥事件中必有一个发生,那么称两个事件为对立事件 ，
4、事件的对立事件 记为：独立事件的概率：，假设说明： 假设可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 假设事件是互斥事件，那么有 一般地，如果 两两互斥，那么有 在本教材中 指的是 中至少发生一个 在具体做题中，一定要注意书写
5、过程，设出事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上新课标试验教科书-苏教版的例题|例题(lt)选讲：例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，假设从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法解法1：互斥事件设事件 为“选取2个球至少有1个是红球 ，那么其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法2：古典概型由题意知，所有的根本领件有种情况，设事件 为“选取2个球至少有1个是红
6、球 ，而事件所含有的根本领件数有 所以答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法3：独立事件概率不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球 ，事件有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：， 那么有 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .评价：此题重点考察我们对于概率根本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是根本的解题步骤不能少!变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，假设从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？解法1：互斥事件设事件 为“选取3个球至少有1个是红球，那么其互斥事件为， 意
7、义为“选取3个球都是白球答：所选的3个球至少有一个(y )是红球的概率为 .解法2：古典概型由题意知，所有的根本领件有种情况，设事件 为“选取3个球至少有1个是红球 ，而事件所含有的根本领件数有， 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .解法3：独立事件概率设事件 为“选取3个球至少有1个是红球 ，那么事件的情况如下： 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求以下事件的概率：1第1次抽到的是次
8、品2抽到的2次中，正品、次品各一次解：设事件为“第1次抽到的是次品， 事件为“抽到的2次中，正品、次品各一次那么 ，或者答：第1次抽到的是次品(cpn)的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求1甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？2求至少1人抽到选择题的概率？【分析】1由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率2事件“至少1人抽到选择题和事件“两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题，事件为“至
9、少1人抽到选择题，那么为“两人都抽到填空题 12 那么 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ，少1人抽到选择题的概率为 .变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球略解:变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，假设连续抽两次，那么抽到1个红球1个白球的概率是多少？略解: 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米
10、的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的不考虑落在正方形区域范围之外的，求发放急救物品无效的概率？【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量解：如图，设急救物品投放(tufng)的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 ，事件“发放急救物品无效为 ，距离水池10米范围为区域 ，即为图中的阴影局部， 那么有答：略颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般那么不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的变式训练1：在地上画一正方形线
11、框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解：变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径解：如图，正三角形内有一正三角形 ，其中 ，当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点 答：硬币落下后与网格(wn )有公共点的概率为 0.82 .变式训练3：如图，矩形 的概率？略解：变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r a的硬币，任
12、意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？2a解：设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线，垂足为， 线段的长度的取值范围为 ，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件 的区域的几何测度，所以答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为 ，向平面内任意的投掷一枚长为的针，求针与平行线相交的概率？ 解：以表示针
13、的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线的交角，如图易知 ，有这两式可以确定平面上的一个矩形，这是为了针与平行线相交，其充要条件为，有这个不等式表示的区域为图中的阴影局部，由等可能性知 2a 如果(rgu)，而关于的值，那么可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n次，那么频率为 ，于是， 注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.会面问题：甲乙两人约定在6时到7
14、时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解：设“两人能会面为事件，以 x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能够会面的充要条件为： 在平面上建立如下图的坐标系，那么的所有可能的结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中阴影局部所表示，由几何概型知，答：两人能会面的概率 . 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率？【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域，当点位于如图的内时，故线段即为区域(qy)解: 在上截取 ，于是 答：的概率为【变式训练】如图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与线段交
15、于点，求的概率？ 错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段上任取一点，那么有 【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定根本领件时一定要注意观察角度， 注意根本领件的等可能性.正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，那么 ，故满足条件的概率为评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域和，求出其测度，再利用几何概型来求概率.例3. 利用随机模拟法计算曲线所围成的图形的面积.【分析】在直角坐标系中作出长方形 所围成的局部，用随机模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值 解：1利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上的随机数，2进行平移变换：，其中分别随机点的横坐标和纵坐标3假设作次试验，数处落在阴影局部的点数，用几何(j h)概型公式计算阴影局部的面积 由 得出 评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算假设干函数围成的图形面积，其根本原理还是利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：10 / 10