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1、内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】A【解析】【分析】先解不等式求得集合B,再进行补集交集运算【详解】由题故，.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，化简 ，即可求解【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.已知向量，的夹角为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用数量积定义求解即可【详解】由题，则.故选B【点睛】本题
3、考查数量积的定义，是基础题4.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】，反之，时，.故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键5.观察下列等式：，记.根据上述规律，若，则正整数的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】由规律得再解方程即可【详解】由已知等式规律可知，当时，可得.故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题6.若幂函数的图象过点，则函数
4、的最大值为（ ）A. B. C. D. -1【答案】C【解析】【分析】先将点代入，求得幂函数解析，再换元，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数，图象过点，故 故，令，则，时，.故选C【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围7.已知是周期为2的奇函数，当时，若，则等于（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B【解析】【分析】利用周期性和奇偶性得，结合得a,b 的值即可求解【详解】由周期为2,则4也为周期故，即 又，故.故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意的应用8.在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A.
5、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连并延长到与相交于点,设正方形的边长为1,求得内切圆的半径为，再利用平面向量基本定理求解【详解】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.设内切圆在边上的切点为，则，有，故.故选D【点睛】本题考查平面向量基本定理，数形结合思想的应用，考查推理能力，准确求得内切圆半径是关键，是中档题9.已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比为（ ）A. 3B. 2C. -3D. -2【答案】A【解析】【分析】讨论不成立，当直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式列式求出结果【详解】由时，故.，.又，解得，.故选A【点睛】本题考查的知
6、识要点：数列的通项公式和前n项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案【详解】输入的， 第一次循环， 满足 第二次循环，满足第三次循环，满足第四次循环，满足第五次循环，满足第六次循环，不满足，退出循环，输出n=6故选C【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题11
7、.在中，角，所对的边分别为，若是和的等比中项，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】切化弦得，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可【详解】由题意有，.故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，接着下一项是2，接着三项是，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）A. 65B. 67C. 75D. 77【答案】C【解析】【分析】由题将数列
8、分组，得每组的和，推理的n的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5），则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，时，时，第65项后的项依次为，11，又，满足条件的最小的值为.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，满足，则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(
9、如图阴影所示)，化直线为 当直线平移过点A时，z取得最大值，联立直线得A（1,2），故故答案为5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得转化为的齐次式求解即可【详解】由题.故答案为【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题15.已知正实数、满足，则的最小值为_.【答案】10【解析】【分析】由结合基本不等式求解即可【详解】由（当且仅当，时取“”）.故答案为10【点睛】本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基
10、础题16.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出函数的图像，讨论图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由，则函数简图如图所示：若函数恰有4个零点，则函数图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数的位置.（1）当函数处于的位置时，点在函数的图象上，有，得；（2）当函数处于的位置时，此时函数与直线相切，设切点的坐标为，有，解得：，由（1）（2）知实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1
11、721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得，由二倍角公式得，进而求得C;（2）利用面积公式得，结合余弦定理得，则可求【详解】（1），.，故，.（2）由的面积为，知，由余弦定理知，故，解得.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想18.已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1
12、.（1）求函数的增区间；（2）当时，求函数的最大值、最小值及相应的的值.【答案】（1）.（2）时，函数的最小值为-2；时，函数的最大值为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简，进而得及则解析式可求；（2）由得，利用正弦函数的图像及性质得值域即可【详解】（1）由.由函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1，有，有，得，故.令，得.故函数的增区间为.（2）当时，.则当，即时，函数的最小值为2；当，即时，函数的最大值为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想19.已知数列的前项和为
13、，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求满足的正整数的值.【答案】（1）（2）5【解析】分析】（1）利用，当时，求得通项（2）由错位相减求和即可【详解】（1）由题.当时，.由符合，故数列的通项公式为.（2）由，作差得：得：得：，又故数列单调递增，且，故满足的正整数的值只有一个为5.【点睛】本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题20.已知函数（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小整数值；（2）若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）化简方程得，问题转化为求的
14、最小值，对求导，分析导函数的正负得的单调性，从而得出的最小值，可得解；（2）分析函数的定义域和单调性，得出在的最小值和最大值，由已知建立不等式，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）化为，令，则，的单调减区间为，单调增区间为，的最小整数值为2（2），的定义域为，且在是增函数则，在上的最大值为，最小值为由题意知，令，在上是减函数，最大值为，的取值范围是【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.21.已知函数，.（1）当时，有2个零点，
15、求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分离参数构造新函数，求导求最值即可得的取值范围（2）不等式，得，构造函数，求导讨论a的正负确定函数的最值即可求解【详解】（1）时，由得，令，则，时，时，.在上是增函数，在上是减函数，又，当时，在上有2个零点，.（2）因为不等式即为，得，设，则不等式等价于.从而，.当时，时，；时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时.由题意，若恒成立，则，即，解得.所以；当时，存在使得.故不可能满足恒成立.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思
16、想，准确求得最值是关键，是一道综合题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）经过点作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由，得即可得直角坐标方程；（2）直线的方程为，利用得求解即可详解】（1）由，得，根据公式，得，故曲线的直角坐标方程是.（2）设直线的斜率为，则直线的方程为.而曲线：化为标准方程是，故圆心.因为恰好为线段的中点，所以
17、.所以，即，解得.故直线的方程是，即.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据恰好为线段的中点转化为是关键，是基础题23.已知函数，.（1）解不等式；（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；（2）先求得两函数的最值，转化为求解即可【详解】（1）由，得，当时，得；当时，得，即；当时，得；综上，不等式解集是.（2）若，都有恒成立，则，而，易知，当且仅当等号成立则.则，解得.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题19