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1、1内蒙古自治区赤峰市赤峰二中内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中呼市二中 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 1 10 0月月考试题月月考试题 文（含解析）文（含解析）考生注意：考生注意：1.1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分卷（非选择题）两部分。满分 150150 分，考试时间分，考试时间 12120 0分钟。分钟。2.2.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上。第第卷每小题选出答案后卷每小题选出答案后，用用 2B2B 铅笔把答题卡上铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第对应题目的答案标号涂黑；第卷请用
2、直径卷请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效超出答题区域书写的答案无效，在试题卷在试题卷、草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效。第第卷（选择题卷（选择题共共 6060 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.已知集合|2Ax x，2,0,2,4B ，则RC AB等于（）A.2,0B.2,4C.2,0,2-D.0,2
3、,4【答案】C【解析】【分析】根据集合的补集交集运算即可求解.【详解】因为|2Ax x,所以=|2RC Ax x，所以2,0,2RC AB，故选 C【点睛】本题主要考查了集合的交集补集运算，属于容易题.2.设i为虚数单位，复数12ii的实部为（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】2【分析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.【详解】因为122+213+iiiii，所以复数的实部为 3，故选 A【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3.若函数 fx是周期为 4 的奇函数，且 13f，则 3f（）A.-2B.2C.-3D.3【答案】C【解析】【分析】根据周期可知
4、(1)(1 4)(3)fff，再根据奇函数性质即可求解.【详解】因为函数 fx是周期为 4 的奇函数，所以 3113fff .故选 C【点睛】本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题.4.已知x，y满足3010510 xyxyxy ，则2zxy的最大值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图：3由2zxy可得：122zyx，平移直线12yx 经过点 A 时，z有最大值，由3010 xyxy 解得(1,2)A，平移直线12yx 经过点 A 时，z有最大值，max145z.故选 A【点睛】本题主要考查了简单的线
5、性规划，属于中档题.5.观察下列等式：332123，33321236，33332123410，记 3333123f nn.根据上述规律，若 225f n，则正整数n的值为（）A.8B.7C.6D.5【答案】D【解析】【分析】由规律得 22211234nnf nn 再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知 22211234nnf nn，当 225f n 时，可得5n.故选 D4【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题6.已知0m，0n，141mn，则mn（）A.有最大值，最大值为 6B.有最大值，最大值为 9C.有最小值，最小值为 6D.有最小值，最小值为
6、 9【答案】D【解析】【分析】利用14mnmnmn，根据均值不等式，即可求出最值.【详解】1445nmmnmnmnmn4529nmmn，当且仅当4nmmn时等号成立,mn的最小值为 9.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.7.如图是一个程序框图，则输出k的值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，模拟计算过程即可求解.【详解】程序框图的执行过程如下：51S，10k；1011S，9k；911S，8k=；811S，7k，循环结束.故选 B.【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.8.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cba，则
7、“ABC为钝角三角形”是“222cab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据大边对大角及余弦定理可求解.【详解】由cba，有CBA，又222222cos02abcCcabab，故“ABC为钝角三角形”是“222cab”的充要条件.故选 C【点睛】本题主要考查了三角形的性质，余弦定理，属于中档题.9.在平行四边形ABCD中，22ABAD，60BAD，点E在CD上，2CEED，则AE BEuuu r uur（）A.49B.29C.29D.49【答案】B6【解析】【分析】以向量,AB AD为基底，根据向量加减法的运算可将,AE
8、BEuuu r uur表示出来，利用数量积法则运算即可.【详解】因为22ABAD，60BAD，设1AD，则1AB ADuu u r uuu r，因为13AEADDEADABuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，23BEAEABADABuuruuu ruuu ruuu ruuu r，所以222193AE BEADABAB ADuuu r uuruuu ruuu ruuu r uuu r8121939 .故选 B【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题.10.若函数 logaf xx（0a，且1a）的定义域和值域均为,2tt，则a的值为（）A.12或 4B.1
9、16或2C.14或 8D.12或16【答案】B【解析】【分析】分1a 和01a讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出a的值.【详解】由题意有0t，当1a 时，2log22logaaftttf ttt，有log22logaatt，得22tt，解得2t，由log 22a，解得2a；当01a时，2log2log2aaftttf ttt，有2log2logaatt，得24tt，解14t，代入log2att，解得116a.7故选 B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题.11.已知函数 fx满足 01f，且 cossinfxxf xx，则不等式 cos10f
10、xx 的解集为（）A.,1 B.1,C.,0D.0,【答案】D【解析】【分析】令 cosg xf xx,利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为 0g xg，利用单调性即可求解.【详解】令 cosg xf xx，有 cossin0gxfxxf xx，故函数 g x单调递增，又由 00 cos01gf，不等式 cos10f xx 可化为 0g xg，则不等式 cos10f xx 的解集为0,.故选 D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题.12.已知函数 222,01,0 xxaxa xf xax（0a，且1a）在R上单调递增，且关于x的方程 2
11、2f xx恰有两个不等的实数解，则a的取值范围是（）A.1,2B.1,2C.1,23UD.1,23U8【答案】A【解析】【分析】先根据分段函数的单调性求出1a，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.【详解】由1xya在,0上递增，得1a，又由 fx在R上单调递增，则2022002202aaa ，解得1a 如图所示，在同一坐标系中作出函数 fx和22yx的图象，当2a 时，由图象可知，,0上，22f xx有且仅有一个解，在0,上 22f xx同样有且仅有一个解.当2a 时，直线22yx与(),0yf x x相切时有一个交点，由22222xaxax（其
12、中0 x），得：22420 xaxa，则222442420240aaaa，解得2a 或3a 此时切点横坐标分别为0,1xx 与0 x 矛盾，故2a 或3a 不符合题意,综上所述1,2a.9【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.第第卷（非选择题卷（非选择题共共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.设向量3,4a r，,2br，若ab，则实数的值为_.【答案】83【解析】【分析】根据向量垂直知其数量积为 0,根据坐标计算即可.【详解】ab，0a b,3
13、80，83.故答案为83.【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.14.已知角的顶点与坐标原点重合，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P的坐标为3,4，则sincos_.【答案】75【解析】【分析】10根据三角函数的定义，求出sin，cos，利用诱导公式即可求解.【详解】由题意有4sin5，3cos5，则sincossincos437555 .故答案为75【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.15.幂函数 2231mmf xmmx在0,上是减函数，则实数m的值为_.【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数 2231m
14、mf xmmx知，211mm 得2m 或1m .当2m 时，3f xx在0,上是增函数，当1m 时，3f xx在0,上是减函数，1m .故答案为1【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.16.已知曲线 3f xxx，则过点1,0P，且与曲线相切的直线方程为_.【答案】22yx或1144yx【解析】【分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】设切点为3000,Q x xx，因为 231fxx，所以Q为切点的切线方程为：32000031yxxxxx，11代入点P坐标有：320000311xxxx，解得：01x 或012x.当01x 时，切线方程为：2
15、2yx；当012x 时，切线方程为：1144yx.故答案为22yx或1144yx.【点睛】本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤骤.17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscossinsin13sinABABC.（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为2 3，2 3c，求a b的值.【答案】（1）3C（2）6ab【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定
16、理得cos13sinCC，由二倍角公式得2cos3sincos222CCC，进而求得 C;（2）利用面积公式得8ab，结合余弦定理得2220abab，则a b可求【详解】（1）cos13sinABC，cos13sinCC，22cos112 3sincos222CCC，2cos3sincos222CCC.0C，故3tan23C，26C，3C.（2）由ABC的面积为2 3，3C，知1sin2 32ABCSabC=，8ab，12由余弦定理知2222cos12cababC，故2220ab，2220abab，解得6ab.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力
17、，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想18.已知函数 22sincos2 3cos30f xxxx的图象与直线2y 的相邻两个交点之间的距离为 1.（1）求函数 fx的增区间；（2）当1163x时，求函数 fx的最大值、最小值及相应的x的值.【答案】（1）15,1212kkkZ.（2）112x 时，函数 fx的最小值为-2；13x 时，函数 fx的最大值为3.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简 f x 2sin 23x，进而得1T 及则解析式可求；（2）由1163x得22333x，利用正弦函数的图像及性质得值域即可【详解】（1）由 2sin 23 2cos1fxx
18、xsin 23cos 22sin 23xxx.由函数 fx的图象与直线2y 的相邻两个交点之间的距离为 1，有1T，有212，得，故 2sin 23fxx.令222232kxkkZ，得151212kxkkZ.故函数 fx的增区间为15,1212kkkZ.13（2）当1163x时，22333x.则当232x，即112x 时，函数 fx的最小值为-2；当233x，即13x 时，函数 fx的最大值为3.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想19.已知数列 na是各项均为正数的等比数列，前n项和为nS，
19、且245a aa，37S.（1）求数列 na的通项公式；（2）若21nnbna，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）2323nnTn（2）2323nnTn【解析】【分析】（1）根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）245a aa，34111a q a qa q，11a；又37S，31171aqq，解得3q （舍）或2q=，12nna-=.（2）由（1）知12121 2nnnbnan.则01211 23 25 2212nnTn 12321 23 25 2212nnTn 相减得14231 222212nnnTn 12322222121
20、nnn2 1 221211 2nnn2323nnTn.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法，属于中档题.20.已知向量cos,sina，cos,sinb，2 33abrr.（1）求cos的值；（2）若02，2，且4sin5，求sin的值.【答案】（1）13（2）6 2415【解析】【分析】（1）由条件知1a，1b，cosa br r，利用向量的数量积运算即可求解（2）利 用 同 角 三 角 函 数 的 关 系 求 出cos，sin，再 根 据 角 的 变 换 可 知sinsin即可求解.【详解】因为cos,sina，cos,sinb所以1a，1b，coscossi
21、nsincosa br r，又2224222cos3abaa bb rrrr rr，得1cos3.（2）2，4sin5，3cos5，02，2 ，0，15又cos0，故2，212 2sin133 ，sinsinsincoscossin2 23146 24353515 .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，数量积的性质，同角三角函数的关系，两角差的正弦公式，属于中档题.21.已知函数 1log1axfxx（0a 且1a）.（1）当1a 时，用定义法证明函数 fx在定义域上单调递增；（2）解关于x的不等式 log 2af x .【答案】（1）见解析（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据
22、函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证（2）分1a 和01a两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解.【详解】（1）证明：由101xx得11x，故函数 fx的定义域为1,1，令1211xx，因为 21122121211111111111xxxxxxxxxx 21121212211111xxx xxxx xxx2121211xxxx，由1211xx，有110 x，210 x，210 xx，可得21212011xxxx，由21211111xxxx，且1a，16得212111loglog11aaxxxx，所以 21f xf x，故当1a 时，函数 fx在定义域1,1单调递增，（2）不等式 lo
23、g 2af x 可化为11loglog12aaxx，当1a 时，不等式可化为111211xxx，解得113x，当01a时，不等式可化为111211xxx，解得113x .【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.22.已知函数 321132fxxax，a为实数.（1）讨论函数 fx的单调性；（2）设 fx是函数 fx的导函数，若 3fx 对任意2,3x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）72,2【解析】【分析】（1）函数求导后，分0,0,0aaa三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分
24、离参数可得2233xxaxx，2,3x时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.【详解】（1）函数 321132fxxax的定义域是R.22113232fxxaxxaxx xa.17（i）当0a 时，令 0fx，得0 xa；令 0fx，得0 x 或xa，所以函数 fx在区间0,a上单调递减，在区间,0，,a 上单调递增；（ii）当0a 时，20fxx对任意xR恒成立，且 fx不恒为 0，所以函数 fx在R上单调递增；（iii）当0a 时，令 0fx，得0ax；令 0fx，得xa或0 x，所以函数 fx在区间,0a上单调递减，在区间,a，0,上单调递增.（2）3fx 等价于23xax，得233xax，得2233xaxx ，因为2,3x，所以3,2x .所以不等式两边同时除以x，得2233xxaxx，即2233xxaxx，得2233xxaxx.所以33xaxxx.即33xaxxx对任意2,3x恒成立.设 3g xxx，3h xxx，2,3x，则 2310gxx，2310hxx.所以函数 g x在区间2,3上是增函数，h x在区间2,3上是增函数.所以 max32g xg，min722h xh.所以722a.18所以实数a的取值范围是72,2.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.