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1、编号 学士学位论文函数项级数一致收敛的判别法学生姓名： 艾斯凯尔 海力麦提 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3班 指导教师： 托合提赛都拉 完成日期： 2011 年 4 月 30 日摘要函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关.因此本论文中提出了函数级数一致收敛的柯西一致收敛准则，魏尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了
2、论文中所有结论的证明.关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，聚点定理 . 目录摘要1引言11.函数项级数定义12.函数项级数一致收敛的几种判别法2判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)2函数项级数一致收敛的几何意义3判别法2 (确界判别法)4判别法3 (柯西一致收敛准则)5判别法4 (M判别法)7判别法5 (狄利克雷判别法)9判别法611判别法712判别法813判别法914判别法1016判别法1116判别法1217判别法1318判别法14 (导数判别法)20判别法15 (比试式判别法)21判别法16 (根式判别法)21判别法1722判别法1822判别法1922判别法20
3、24总结26参考文献27致谢28引言函数项级数一致收敛的条件下，可以讨论和函数连续性，可微性，可积性.函数项级数一致收敛时可以交换无穷和与导数,无穷和与积分的次序,通过交换不同的两种运算能够解决函数项级数概念中的最基本问题,即利用函数项级数的一致收敛性我们可以求出函数的和函数.因此,本论文中全面讨论函数项级数一致收敛的条件.1.函数项级数定义定义 设是定义在数集E上的一个函数列表达式: (1)称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为或.称为函数项级数(1)的部分和函数列. 若函数项级数: (2) 收敛,即部分和,当时,极限存在,则称级数(1)在点收敛,称为收敛点.级数(1)在D上的每
4、一点与其所对应的数项级数(2)的和构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即. 2.函数项级数一致收敛的几种判别法判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)设函数级数在区间收敛于和函数，若有: 则称函数级数在区间上一致收敛或一致收于和函数.例1 证明函数项级数在区间 (其中)一致收敛.证明 有.对,对要使不等式成立.从而要不等式解得.取.于是,存在,有: 成立. 所以函数项级数在区间(其中)一致收敛. 非一致收敛的定义设函数项级数在区间非一致收敛于和函数，若，,有：成立.则称函数项级数在区间上非一致收敛或非一致收敛于.例2 证明函数项级数在区间 非一致收敛.证明 ，有：.即函数项级数在非一
5、致收敛.函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数在区间一致收敛于的几何意义是,不论给定的以曲线为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数(通用的),任意一个部分和的图像都位于这个带形区间内(如图1).若函数项级数在某个区间不存在通用的,就是非一致收敛.判别法2 (确界判别法)函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件：.证明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于.即有: .从而,即.()已知,即有.从而有.即函数项级数在区间上一致收敛于.例3 证明 函数项级数在内一致收敛.证明 ; .所以函数级数在内一致收敛.判别法3 (柯西一致收敛准则)函数级数在区间一致收敛有：.证明 必要性已知函数级数在区间一致收敛
6、.设其和函数是，即有也有.于是.充分性：已知，有:所以当时上述不等式有:即函数项级数在区间一致收敛.例4 讨论函数项级数在区间的一致收敛性. 解 应用柯西一致收敛准则即，要使不等式成立，从不等式解得取于是 ，有，即函数级数在区间一致收敛.在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性方法2 . 故.所以函数级数在区间一致收敛.判别法4 (M判别法)有函数项级数，是区间，若存在收敛的正项级数 ，有，则函数级数在区间一致收敛.证明 正项级数收敛根据柯西一致收敛准则，即 ，有 由已知条件，有 即函数级数在区间一致收敛.例5 判断函数项级数在上是否一致收敛.解 ,有.令,则.所以是收敛.由判别法函
7、数项级数在上一致收敛.例6 证明在一致收敛.证：，有所以，即.故已知优级级数收敛，根据判别法.函数级数在中一致收敛.注 判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用判别法.判别法5 (狄利克雷判别法)若级数满足如下条件：(1)函数列对每个是单调的且在区间一致收敛于0.(2)函数级数的部分和函数列在区间一致有界，则函数级数在一致收敛.证明 已知函数列一致收敛于0即，有.又已知函数级数的部分和函数列在区间一致有界。即，有，从而有根据阿贝尔
8、变换，有于是 ，有即函数级数在区间一致收敛.例7 证明 函数级数在区间一致收敛.证 即函数级数的部分和函数列在一致有界，而数列单调减少趋近于0。(当然在也是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数在区间一致收敛.判别法6若级数满足下面两个条件：(1)函数列对每个是单调的且在区间一致有界.(2)函数项级数在区间一致收敛，则函数级数在区间一致收敛.证明 不妨设函数列在区间单调减少，已知它在区间一致有界，即，有，有从而，有又已知函数级数在区间一致收敛.即 ，有由阿贝尔变换，有即函数项级数 在区间一致收敛.已知函数项级数在区间一致收敛两个函数级数在区间都一致收敛.因此，函数级数=在区间一致收敛.例
9、8 证明若函数级数（是常数）.在收敛.则它在区间一致收敛.证明 将函数项级数改写为已知级数收敛，从而它在区间也是一致收敛.且函数列在单调减少又一致有界,即存在，有 根据阿贝尔判别法，函数项级数在区间一致收敛.判别法7若函数项级数在区间一致收敛，则在也一致收敛.证明 已知在一致收敛，由柯西一致收敛准则，有:于是 再根据柯西一致收敛准则，函数级数在一致收敛.例9 判断函数项级数在上的一致收敛性.解 在区间上一致收敛.所以由判别法7,函数项级数在一致收敛.判别法8若函数项级数在一致收敛且在有界，则在一致收敛.证明 已知函数项级数在上一致收敛由柯西收敛准则，有:函数在有界，即，有，对函数级数，有即函数
10、级数在上一致收敛.例10 判断函数项级数在上的一致收敛性.解 令 .则对 任意 .即故在上一致有界.对 有: 数项级数在上收敛.故函数项级数在上一致收敛.根据判别法8,函数项级数在上一致收敛.判别法9若函数项级数、都在区间一致收敛，则在一致收敛（、为常数）.证明 由已知级数与在区间都一致收敛.由柯西一致收敛准则.对，有:同样的 对，有:取，有 (1) (2) 由(1)和(2)相加得:即函数级数在上一致收敛.判别法10若函数与都绝对收敛，则函数级数在一致收敛.证明 与收敛.，有:，有:由柯西一致收敛准则，函数级数在上一致收敛.判别法11若，函数在单调且与都绝对收敛，则在一致收敛.证明 不妨设在单
11、调增，所以，于是有 ，而与收敛.可知收敛根据判别法，在上一致收敛.最后得在上一致收敛.同法可证：若在单调减少，即.则任意有,因为与都收敛.所以也一致收敛,根据判别法可知函数项级数在也一致收敛.判别法12设，在上连续，又在上收敛于连续函数，则在上一致收敛于.证 (用反证法) 若在上不一致收敛于，为级数部分和，则，及和使得.对，应用聚点定理，得子列收敛于不妨设此子列即为.固定，当时，令，由于的连续性.因此，这与收敛于矛盾.故原命题成立.判别法13设函数项级数定义在数集上，若存在一个函数，在处存在且.且对一切有则函数项级数在上一致收敛.证明 对于函数，有在处存在且令，则 即 又因为对级数，有在是非负
12、递减函数且非正常积分是收敛的.故是收敛的，因而由比较原则知是收敛的则根据判别法2，函数级数在上一致收敛.例11 讨论级数在区间上的收敛性.分析 对于此级数我们可以用判别法进行证明，即找到收敛的正项级数使得，同时也可以应用判别法13；证明 考虑函数，在处二阶导数存在且，又有 故级数在区间上一致收敛.例12 证明级数在上一致收敛.分析 对此级数我们考虑函数.证明 对于函数，在处有二阶导数且，又有故由判别法13可知级数在上一致收敛.判别法14 (导数判别法)设函数列在区间上连续，可微，且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛；则函数项级数上一致收敛.证明 已知在点收敛，在上一致收敛，即使得时对有对有 根
13、据拉格朗日中值定理有 介于与之间）于是）故在上一致收敛.判别法15 (比试式判别法)定理1 设为定义在数集上正的函数列，记，存在正整数，使得：对任意成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 易见 =而等比级数当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判别法，在上一致收敛.定理 设为定义在数集上正的函数列，记，若：，且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛.判别法16 (根式判别法)设为定义在数集上的函数列，若存在在整数使得使得成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 由定理条件，对，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛. 判别法17 设定义在上的正函数列若,则函数项级数在
14、上一致收敛.判别法18 设为定义在数集上的函数列，若存在，那么：（1） 若对，则函数项级数在D上一致收敛.（2） 若对，则函数项级数在D上不一致收敛.证明 由定理条件知，对，使得对，有，即，则当，对成立时，有.判别法19若是区间上的连续函数，且函数列在区间上单调递减收敛于0，则在上一致收敛.证明 因为是上的连续函数在上收敛于0，单调，是上一致收敛于0.又因为，故一致有界.且对单调，由判别法5可得函数项级数在上一致收敛.例13 考察在上的收敛性.分析 首先注意到在上是一致收敛的.用判别法5来判别证明无法找到收敛的.正项级数使得，用判别法5，很难证明出的一致收敛性.用判别法5，比较复杂。如用判别法
15、19，证明则可以得到.解 记，则显然有在上连续又对于，有 且，即对，单调递减收敛于0.所以由判别法19知级数在上一致收敛.例14 证明级数在上一致收敛.证明 记，则显然有在上连续对于，且，即对于，单调递减收敛于0.故由判别法19知，级数在上一致收敛.判别法20若函数项级数在收敛且及，有（为正数）.则在一致收敛.证明 由题设，存在正整数，使得对每个正整数和每个，同时成立不等式，对任意给定的，取区间的等距分划，其中充分大，使分划的细度，由于函数项级数在处处收敛.因此从cauchy收敛准则知，存在，使时，对任意正数和分划的每个分点，同时成立 现在对于任意的，不妨设就可以做出估计.。其中在上对用微分中
16、值定理，这表明在上满足cauchy一致收敛准则.从而在上一致收敛.总结一致收敛是函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数项级数的一致收敛对进行一步研究函数项级数的性质起着重要作用.而本论文在给出柯西一致收敛准则，魏尔斯特拉斯判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，菜布尼兹函数项级数一致收敛判别法的同时，并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法，阿贝尔判别，菜布尼兹判别法加以补充和推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法.参考文献1 华东示范大学数学系.数学分析M北京.人民教育出版社，1981. 41442 杨丽.有关级数收散性的几个问题J.锦州示范学院报，2003-
17、24(2).63643 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏栍等.数学分析习题精解M.北京：理科教育出版社,2002.2792854 谢惠民，恽自求，易发槐，钱定边等.数学分析习题课讲义M.北京：高等教育出版社，2004.1：63645 赵显曾，黄安才等.数学分析的方法与解题M.陕西：师范大学出版社，2005.8：4524606 刘玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁等. 数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社，2003.6：41537“重庆文理学院学报”（自然科学版 第五卷 第四期） 编（毛一波）（月） 8“数学分析学习指导数”（第一版 下册） 编（吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏）高等教育学出版社.致谢我在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。在老师的热心帮助和耐心地指导下我的毕业论文已经顺利通过，他帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步聚：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。我非常感谢指导教师的热心和细心的帮助也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作和生存打下了良好的基础。此致 敬礼: 艾斯凯尔海力麦提 2011年4月30日