步步高学习笔记必修第一册.docx

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1、4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解学习目标1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在导语定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元 50100 年间编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11 世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13 世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上， 来探究方程的解与函数零点的关系吧一、函数的零点与方程的

2、解方程函数x22x30x22x10 x22x30yx22x3yx22x1 yx22x3问题 1 观察下列三组方程与函数：利用函数图象探究方程的根与函数图象与x 轴的交点之间的关系提示 方程 x22x30 的根为1,3，函数 yx22x3 的图象与 x 轴交于点(1,0)，(3,0)； x22x10 有两个相等的实数根，为 1，函数 yx22x1 的图象与 x 轴有唯一交点(1,0)； x22x30 没有实根，函数 yx22x3 的图象与 x 轴无交点问题 2 问题 1 中的函数的零点是函数图象与 x 轴的交点坐标吗？知识梳理提示 不是，零点不是点，零点是函数图象与x 轴的交点的横坐标1. 概念

3、：对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点2. 函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的解的关系：注意点：(1) 零点不是点，是函数图象与 x 轴交点的横坐标；(2) 求零点可转化为求对应方程的解；(3) 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解例 1(多选)方程(x24) 2x10 的解可以是()Ax2B1C1Dx2答案CDx2x2解析由题意，得方程(x24)又由 2x10，解得 x1，22x10，则 x240 或 2x10，解得 x2 或 x1，2所以方程(x24)2x10 的解为 x2

4、或 x1.2反思感悟探究函数零点的两种求法(1) 代数法：求方程 f(x)0 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点(2) 几何法：与函数 yf(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练 1求下列函数的零点：x22x3，x0，(1)f(x)2ln x，x0；(2)f(x)(lg x)2lg x.解(1)当 x0 时，令 x22x30，解得 x3(x1 舍去)； 当 x0 时，令2ln x0，解得 xe2.所以函数x22x3，x0，f(x)2ln x，x0的零点为3 和 e2.(2)令(lg x)2lg x0，则 lg x(lg x1)0，lg

5、x0 或 lg x1，x1 或 x10，函数 f(x)的零点是 1,10.二、函数零点存在定理问题 3探究函数 yx24x5 的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？提示利用图象可知，零点5(6，4)，零点 1(0,2)，且 f(6)f(4)0，f(0)f(2)0，且函数图象在零点附近是连续不断的再比如：函数f(x)2x11 1(0,1)，且有3的零点为2，23f(0)f(1)0；函数 f(x)log2(x1)的零点为 2,22，3，且有 f 2 f(3)0，且以上函数在零点知识梳理附近的图象也都是连续的函数零点存在定理如果函数 yf(x

6、)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的解注意点：(1) 定理要求函数在闭区间a，b上连续，且 f(a)f(b)0；(2) 闭区间a，b上的连续函数 yf(x)，f(a)f(b)0 是函数有零点的充分不必要条件；(3) 该定理是用来判断函数的变号零点，比如 yx2，有零点为 0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点例 2(多选)若函数 f(x)的图象在R 上连续不断，且满足 f(0)0，f(2)0，则下列说法错误的是()Af(

7、x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点Cf(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点Df(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案ABD解析由题知 f(0)f(1)0，因此无法判断 f(x)在区间(1,2)上是否有零点反思感悟确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上 (2)利用函数零点存在定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a

8、)f(b)0.若 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断跟踪训练 2函数 f(x)lg1()xx的零点所在的区间是A(0,1)B(1,10)C(10,100)D(100，)答案B解析函数 f(x)的定义域为(0，)，且函数 f(x)在定义域内单调递增，1f(1)10，在(1,10)内，函数 f(x)存在零点三、函数零点个数的问题问题 4你现在能说出问题 1 中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？提示 第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点可以直接求解或利用二次函数

9、的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与x 轴的交点个数 例 3判断下列函数的零点的个数4x8；35(1)f(x)x2(2)f(x)ln xx23.解(1)由 f(x)0，即 x23 50，4x8得 32453148160，x所以方程 x2350 没有实数根，48即 f(x)零点的个数为 0.(2)方法一函数对应的方程为 ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x2 的图象交点的个数 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数 y3x2 与 yln x 的图象只有一个交点 从而方程 ln xx230 有一个根，即函数 f(x)ln x

10、x23 有一个零点方法二由于 f(1)ln 112320， 所以 f(1)f(2)0，又 f(x)ln xx23 的图象在(1,2)上是连续的， 所以 f(x)在(1,2)上必有零点，又 f(x)在(0，)上是单调递增的，所以零点只有一个反思感悟判断函数零点个数的四种常用方法(1) 利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点(2) 画出函数 yf(x)的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判定零点的个数 (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)内零点的个数 (4)转化成两个函数图象的交点个数问题4x4，01和函数 g(x)log2x，则函数 h(x)

11、f(x)g(x)的零点个数是 答案3解析作出 g(x)与 f(x)的图象如图，由图知 f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点，即 h(x)有 3 个零点1知识清单：(1) 函数的零点定义(2) 函数的零点与方程的解的关系 (3)函数零点存在定理(4)函数零点个数的判断 2方法归纳：定理法、方程法、数形结合法3常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题1. 函数 f(x)log2x 的零点是()A1B2C3D4答案A解析令 f(x)log2x0，解得 x1.12. 函数 f(x)2xx的零点所在的区间是()1A(1，)B.2，1答案B11 C.3，211 D.4，3解

12、析易知 f(x)在(0，)上单调递增由 f(x)2 1，得 f 1 2 1 20，2f 1f(1)0.零点所在区间为1，1.23对于函数 f(x)，若 f(1)f(3)0，则() A方程 f(x)0 一定有一实数解B. 方程 f(x)0 一定无实数解C. 方程 f(x)0 一定有两实根D. 方程 f(x)0 可能无实数解答案D解析函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管有 f(1)f(3)0，不存在实数 c(a，b)使得 f(c)0B. 若 f(a)f(b)0，有可能存在实数 c(a，b)使得 f(c)0D. 若 f(a)f(b)0 且 a1)x1，x0，D. yx1，x0答案D解析

13、令 y0，得选项 A 和 C 中的函数的零点均为 1 和1；选项 B 中函数的零点为1和 1；2只有选项 D 中函数无零点3. 函数 f(x)log3x82x 的零点一定位于区间() A(5,6)B(3,4)C(2,3)D(1,2)答案B解析f(3)log3382310.又因为 f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)4. 已知 f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A0B1C1D不能确定答案A解析因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若 f(x)有三个零点，则其和必为 0.2x1，x1，5. 已知函数 f(x)则函数 f(x)的零点为()1log2x

14、，x1，1A.2，01C.2答案DB2,0 D0解析当 x1 时，令 2x10，得 x0.当 x1 时，令 1log x0，得 x1 舍)22(综上所述，函数 f(x)的零点为 0.6(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有()答案CD解析根据零点的定义，零点是函数图象与 x 轴的交点的横坐标， 选项 A 中与 x 轴没有交点，即函数没有零点；选项 B 中函数图象与 x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点； 选项 C，D 中函数图象与 x 轴有两个交点，即函数有两个零点7. 已知函数 f(x)x2x1 的两个零点分别为 x1 和 x ，则 x2x x x2的值为 答案121 21 21212

15、解析因为函数 f(x)x2x1 的两个零点分别为 x 和 x ， 所以 x 和 x 是 x2x10 的两个实数根，121 2所 以 x x 1，x x 1，所 以 x2x x x2x x (x x )1(1)1.1 21 21 2 128. 已知函数f(x)x2axb 的两个零点是2 和3，则函数g(x)bx2ax1 的零点是 11答案2，3解析由题意知，方程 x2axb0 的两根为 2,3，23a，23b，即 a5，b6，23方程 bx2ax16x25x10 的根为1，1，即 为 函 数 g(x) 的 零 点 9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点 (1)f(x)x22x1；(2

16、)f(x)x4x2； (3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)12解(1)令x22x10，解得 x x 1，所以函数 f(x)x22x1 的零点为 1. (2)令 f(x)x2(x1)(x1)0，解得 x0 或 x1 或 x1，故函数 f(x)x4x2 的零点为 0，1 和 1. (3)令 4x50，则 4x5，因为 4x0，50，所以方程 4x50 无实数解所以函数 f(x)4x5 不存在零点(4)令 log3(x1)0，解得 x0，所以函数 f(x)log3(x1)的零点为 0.10. 函数 f(x)x2axb 的零点是1 和 2，判断函数 g(x)ax3bx4 的零点所在的大

17、致区间解1 和 2 是函数 f(x)x2axb 的零点，1 和 2 是 x2axb0 的两个实数解，12a，12b，即 a1，b2.g(x)x32x4.g(1)1，g(2)8，g(1)g(2)0，yg(x)在区间(1,2)内有零点 又yg(x)在R 上是单调函数，yg(x)只有一个零点综上可知，函数 g(x)的零点所在的大致区间为(1,2)111. 方程2x log1 x 0 的解的个数为()2A2B3C4D2 或 3 或 4答案A解析方程1x log x 0 的解的个数，等于函数 y1x 和函数 y log x 的图象的交点212122个数，如图所示2数形结合可得，函数 y1x 和函数 y

18、log12x 的图象的交点个数为 2，2故方程1x log12x 0 的解的个数为 2.12. 已知函数f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A. 至少有一实数根C没有实数根答案DB. 至多有一实数根D必有唯一的实数根解析由题意知函数 f(x)为连续函数，f(a)f(b)0，函数 f(x)在区间a，b上至少有一个零点， 又函数 f(x)在区间a，b上是单调函数，函数 f(x)在区间a，b上至多有一个零点，故函数 f(x)在区间a，b上有且只有一个零点，即方程f(x)0 在区间a，b内必有唯一的实数根13. 已知函数 yf(x)的

19、图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是()x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88A. 函数 yf(x)在区间1,6上有 3 个零点B. 函数 yf(x)在区间1,6上至少有 3 个零点C. 函数 yf(x)在区间1,6上至多有 3 个零点D. 函数 yf(x)在区间1,2上无零点答案B解析由表可知 f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，但函数 yf(x)在1,2上也有可能存在零点14. 已知函数 f(x)3xx，g(x)log3x2，h(x)log3xx 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是 (用

20、“”连接)答案abc3解析画出函数 y3x，ylog x，yx，y2 的图象，如图所示，33观察图象可知，函数 f(x)3xx，g(x)log x2，h(x)log xx 的零点依次是点 A，B，C的横坐标，由图象可知 abc.(x1)2，x(，1)，15. 已知函数 f(x)若存在实数 x ，x ，x ，当 x x x时，有 f(x )2x，x1，)，1231f(x2)f(x3)成立，则(x x2)f(x3)的取值范围是 答案(8，41231解析由解析式可得如下图象，1 2 3123123123由图象知， x ，x ，x R，当 x x 0 时，f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式；(2) 画出函数 f(x)的图象，并写出单调区间；(3) 若 yf(x)与 ym 有 3 个交点，求实数 m 的取值范围解(1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0;当 x0，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x).所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x.x22x，x0，综上，f(x)0，x0，2x 2x，x0.(2) 图象如图所示，单调递增区间：(，1，1，)；单调递减区间：(1,1).(3) 因为方程 f(x)m 有三个不同的解，由图象可知， 1m1，即 m(1,1)