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1、二项式定理的性质二项式定理的性质复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式二项式定理及展开式:二项式系数二项式系数通通 项项(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6=a +ba3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a2+2ab+b2二、新课(a+b)1=1a +1b (a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
2、 (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6(a+b)7=?(a+b)8=?(a+b)n=?(a+b)1 _(a+b)2 _(a+b)3 _(a+b)4 _(a+b)5 _(a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 1 1 C C C 1 杨辉三角杨辉三角(a+b)1 _(a+b)2 _(a+b)3 _(a+b)4 _(a+b)5 _(a
3、+b)6 _(a+b)n _(a+b)n+1_1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 1 1 C C C 1 杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：111211331146411510 10511615 20 1561 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性
4、 质质由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值由：可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点f（r）r63O615201f（r）rnO61520120103035Onf（r）n为奇数当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。n为偶数在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还
5、可以写成：这是组合总数公式 性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和性质4:在在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和.例例1：求求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项的展开式中二项式系数最大的项解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质中间一项的二项式系数最大，则：T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4三、例题解：依题意解：依题意,n,n 为偶数，且为偶数，且若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？例例2 2 已知已知 展开
6、式中只有第展开式中只有第1010项系数最大，求第五项。项系数最大，求第五项。例、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7=_分析：分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问法可以使问题简单化。通常选取赋值时取题简单化。通常选取赋值时取1，1。2 2、在、在(a(ab)b)1010展开式中，二项式系数最大展开式中，二项式系数最大的项是的项是().().1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式展开式中，与第五项二项式系数相同的项是系数相同的项是().().AA.
7、A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项 此种类型的题目应该先找准此种类型的题目应该先找准r r的值，然后再的值，然后再确定第几项。确定第几项。注：四、练习 3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（）A.第2n+1项 B.第2n+2项 C.第2n项 D第2n+1项或2n+2项 5.若(a+b)n的展开式中
8、，各项的二项式系数和为8192，则n的值为 （）A16 B.15 C.14 D.13AAD6已知已知(2x+1)10=a0 x10+a1x9+a2x8+a9x+a10,(1)求求a0+a1+a2+a9+a10的值的值(2)求求a0+a2+a4+a10的值的值（2）数学思想：函数思想a 图象、图表；b 单调性；c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法（1 1）二项式系数的三个性质）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和五、小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中
9、间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。第3课时 二项式定理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理在公式中，交换在公式中，交换a，b的顺序的顺序对其二项展开式是否有影响？对其二项展开式是否有影响？基础知识梳理基础知识梳理二项展开式二项展开式r1(4)在二项式定理中，如果设在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式，则得到公式(1x)n .基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理距首末两端等距离的两项的二项式系数相等距首末两端等距离的两项的二项式系数相等基础知识梳理基础知识梳理递减的递减的递增的递增的基础知识
10、梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理2n12nA15B20C15 D20答案答案：B三基能力强化三基能力强化答案答案：C三基能力强化三基能力强化3二项式二项式(13x)6的展开式中系的展开式中系数最大的项是数最大的项是()A第第3项项 B第第4项项C第第5项项 D第第6项项答案答案：C三基能力强化三基能力强化4(2008年高考安徽卷改编年高考安徽卷改编)设设(1x)7a0a1xa7x7，则，则a0，a1，a7中所有奇数的和为中所有奇数的和为_答案答案：128三基能力强化三基能力强化答案答案：5三基能力强化三基能力强化课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求特定项或特定项的系数求特定项或特定项
11、的系数求二项展开式中的特定项，一定求二项展开式中的特定项，一定要抓住展开式中的通项要抓住展开式中的通项Tk1Cnkankbk，要注意通项是，要注意通项是(ab)n的展开式的展开式的第的第k1项，而不是第项，而不是第k项，这里项，这里k0,1，n.求解时要将通项化成常数求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方的形式，然后乘一个未知数多少次方的形式，然后根据需要求适合条件的项根据需要求适合条件的项课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1(1)求求n；(2)求含求含x2项的系数；项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨【思路点拨】利用通项确定】利
12、用通项确定n，进而根据特定项的特征求解，进而根据特定项的特征求解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示【误区警示】这类带有减号的】这类带有减号的二项展开式最容易出现的问题就是忽二项展开式最容易出现的问题就是忽视了视了(1)r这个因素，导致最后结果产这个因素，导致最后结果产生符号的差异，出现错误生符号的差异，出现错误课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练要使展开式中的项为有理项，只要使展开式中的项为有理项，只要要x的指数为整数，的指数为整数，则则r0,4,8.所以第所以第1项，第项，第5项与第项与第9项
13、为有理项为有理项，它们分别是项，它们分别是x4,70 x，x2.课堂互动讲练课堂互动讲练二项式定理实质是关于二项式定理实质是关于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用这个恒等的恒等式，除了正用、逆用这个恒等式，还可根据要求系数和的特征，让式，还可根据要求系数和的特征，让a、b取相应的特殊值，至于特殊值取相应的特殊值，至于特殊值a、b如如何选取，视具体问题而定没有一成何选取，视具体问题而定没有一成不变的规律不变的规律课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二二项展开式中的系数之和问题二项展开式中的系数之和问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【答案答案】
14、C课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】本题主要使用赋】本题主要使用赋值的办法来解决值的办法来解决2若若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：，求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1；(3)a6a4a2a0；(4)|a7|a6|a0|.课堂互动讲练课堂互动讲练跟踪训练跟踪训练解解：(1)令令x0，则，则a01；令令x1，则，则a7a6a1a027128，a7a6a1129.(2)令令x1，则则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(4)(3x1)7展开式中，展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而均大于零，而a6、a4
15、、a2、a0均均小于零，小于零，|a7|a6|a0|(a1a3a5a7)(a0a2a4a6)8256(8128)16384.课堂互动讲练课堂互动讲练1根据二项式系数的性质，根据二项式系数的性质，n为奇数为奇数时中间两项的二项式系数最大，时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时为偶数时中间一项的二项式系数最大中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第的步骤是：先假定第r1项系数最大，则它项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并比相邻两项的系数都不小，列出
16、不等式并解此不等式组求得解此不等式组求得课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三二项式系数的性质二项式系数的性质课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3【思路点拨思路点拨】根据二项式系数】根据二项式系数的性质，列方程求的性质，列方程求n，系数最大问题需，系数最大问题需列不等式组求解列不等式组求解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1二项式定理的一个重要用途是做二项式定理的一个重要用途是做近似计算；当近似计算
17、；当n不很大，不很大，|x|比较小时，比较小时，(1x)n1nx.2利用二项式定理还可以证明整除利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被求余数问题时要进行合理的变形，使被除式除式(数数)展开后的每一项都含有除式的因展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧式，要注意变形的技巧课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用3由于由于(ab)n的展开式共有的展开式共有n1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的，而对于从而
18、达到证明不等式的目的，而对于整除问题，关键是拆成两项后利用二整除问题，关键是拆成两项后利用二项式定理展开，然后说明各项是否能项式定理展开，然后说明各项是否能被整除被整除课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(满分展示满分展示)(本题满分本题满分12分分)(1)已知已知nN，求证：，求证：12222325n1能被能被31整整除；除；(2)求求0.9986的近似值，使误的近似值，使误差小于差小于0.001.【思路点拨思路点拨】(1)要先用等比数要先用等比数列的前列的前n项和公式，然后应用二项式定项和公式，然后应用二项式定理转化成含理转化成含31的倍数的关系式；的倍数的关系式
19、；(2)把把0.998变成变成10.002，然后应，然后应用二项式定理展开用二项式定理展开课堂互动讲练课堂互动讲练32n1 3分分(311)n131nCn131n1Cn231n2Cnn1311131(31n1Cn131n2Cnn1)，显然括号内的数为正整数，显然括号内的数为正整数，5分分故原式能被故原式能被31整除整除.6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)0.9986(10.002)61C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3 8分分第三项第三项T315(0.002)20.000060.001，以后各项更小，以后各项更小，0.998610.0120.988.12分分【反
20、思感悟反思感悟】在解答第】在解答第(2)问时，问时，不需全部展开，直到满足项比不需全部展开，直到满足项比0.001还还小即可小即可课堂互动讲练课堂互动讲练4(本题满分本题满分12分分)设函数设函数f(x)满足满足f(0)1，且对任意，且对任意x，yR，f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2恒成立恒成立(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)若数列若数列an满足：满足：an13f(an)1(nN)，且，且a11，求数列，求数列an的通项；的通项；课堂互动讲练课堂互动讲练自我挑战自我挑战解解：(1)f(0)1，令，令xy0得得f(1)f(0)f(0)f(0)022，又令又令y0，得，得f(1
21、)f(x)f(0)f(0)x2，f(x)x1，xR.2分分(2)f(x)x1，an13f(an)13(an1)1(nN)，课堂互动讲练课堂互动讲练an113(an1)(nN)，数列数列an1是公比为是公比为3的等比的等比数列数列.4分分a112，an123n1(nN)，an23n11(nN).7分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1二项式定理及通项公式的应用二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用向运用，而且应学会逆向运用与变形运用有时先作适当变形后再展开较为简便，有
22、时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理有时需适当配凑后逆用二项式定理规律方法总结规律方法总结(2)运用二项式定理一定要牢记通运用二项式定理一定要牢记通项项Tk1Cnkankbk，注意，注意(ab)n与与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题不相同的，一定要注意顺序问题(3)在通项公式在通项公式Tk1Cnkankbk(nN)中，要注意有中，要注意有nN，kN，kn，即，即k0,1,2，n.规律方法总结规律方法总结2项的系数与项的二项式系数的项的系数与项的
23、二项式系数的区别区别利用通项公式求二项展开式中指利用通项公式求二项展开式中指定的项定的项(如常数项、系数最大项、有理如常数项、系数最大项、有理项等项等)或某些项的系数是本节重点内容，或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的解题时，要正确区分展开式中的“项项”、“项的系数项的系数”、“项的二项式系数项的二项式系数”等概等概念的异同如念的异同如(12x)5的展开式中的第的展开式中的第3项为项为T3C5213(2x)240 x2，其中该，其中该项的系数为项的系数为C522240，而该项的二项，而该项的二项式系数为式系数为C5210.规律方法总结规律方法总结3赋值法的应用赋值法的应用求二项展开式系数和或部分系数求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求和时，通常利用赋值法，如：求(ax)na0a1xa2x2anxn展开式展开式中各项系数和，可令中各项系数和，可令x1，即得各项，即得各项系数和系数和a0a1a2an，若要求奇，若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令可分别令x1，x1，两等式相加，两等式相加或相减即可求出结果或相减即可求出结果规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入结束！结束！