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1、复习复习1、什么叫二项式定理？通项公式？、什么叫二项式定理？通项公式？)()(1110 NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnrrnrnrbaCT 12、什么叫、什么叫二项式系数二项式系数？项的？项的系数系数？它们之间有什么不同？它们之间有什么不同？二项式系数的性质二项式系数的性质( a + b )1 1 1( a + b )2 1 2 1( a + b )3 1 3 3 1( a + b )4 1 4 6 4 1( a + b )5 1 5 10 10 5 1( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1 rnrnrnCCC 11mnnmnCC 递推法递推法24681
2、01214161820369f(r)Orf(r)=r6C2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7C 1.对称性对称性 展开式中展开式中与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两项的的两项的二项式系数二项式系数相等相等。 2.增减性与最大值增减性与最大值 3.各二项式系数和各二项式系数和nnnnnnCCCC 2102二项式系数二项式系数先增大后减小先增大后减小，中间取得最大值。，中间取得最大值。2nnC当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大时取得最大时 ；21 nnC21 nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项
3、 ， 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。实践实践1：写出在（：写出在（a-b)7的展开式中，的展开式中， 二项式系数最大的项？二项式系数最大的项？3437C4baT 43475CbaT 对比对比：写出在（：写出在（a-b)7的展开式中，的展开式中， 系数最大系数最大的项？的项？系数最小系数最小的项？的项？3437C4baT 43475CbaT 系数最大系数最大系数最小系数最小在在(a+b)12的展开式中，与第二项的展开式中，与第二项的二项式系数相等的是第几项？的二项式系数相等的是第几项？实践实践2：在在(a+b)12的展开式中，与的展开式中，与第第五五项的二项式系数相等的是第项的
4、二项式系数相等的是第几项？几项？T5的二项式系数是的二项式系数是412C812412CC 812C二项式系数是二项式系数是 的项是的项是T9拓展拓展：在（：在（1-x)20的展开式中，如的展开式中，如果第果第 4r 项和第项和第 r+2 项的二项式系项的二项式系数相等，求数相等，求 r 的值？的值？2r204r20CC 1-2r201-4r20CC 4r-1=r+1r=2/3 (舍舍)4r-1+r+1=20r=4例例1 1 证明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. .13120
5、2 nnnnnCCCC证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b0123(1 1)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCC例例2 求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123122nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法例例3 设设(1-2x)5= a0 a1x + a2x2 + a
6、3x3+ a4x4+ a5x5. 求：求：（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值；的值； （2） a1+a3+ a5的值；的值； （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值的值. 解解:(1)在在(1-2x)5= a0 a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5 中中 分别令分别令x=1，x= -1 得：得：5012345( 1)1aaaaaa 50123453243aaaaaa135(2)122aaa 01a 123452aaaaa 12345(3)242aaaaa例例4 在在 的展开式中，的展开式中， 的系数的系数是多少？是多少？求求 展开式
7、中含展开式中含 的项的项.103)1)(1 (xx5x62)1 (xx5x解：解：原式原式=10310)1 ()1 (xxx可知可知 的系数是的系数是 的第六项系数与的第六项系数与 的第三项系数之和的第三项系数之和.5x10)1 (x103)1 (xx即：即：20745252210510CC原式原式=621xx 62524232)()(6)(15)(20 xxxxxxxx 其中含其中含 的项为：的项为：5x555566)4(15320 xxxx例例5 已知已知 的展开式中的展开式中只有只有第第10项项系数最大，求第五项。系数最大，求第五项。 nxx431解：依题意，解：依题意， 为偶数，且为偶
8、数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT变式：变式：若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？19.或18或17n例例6：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法。解：设最大项为解：设最大项为 则：则：1rT112rrrrTTTT101910101011110102222rrrrrrrrCCCCrrrrrrrrrrrrxCxCxCxC911101010111110101022221 01 11 091 0 !1 0 !r!(1 0) !(r1) !(9) !1
9、0 !1 0 !r!(1 0) !(r1) !(9) !2222rrrrrrrr2 83 3553 35,62 85rrrr则展开式中最大项为则展开式中最大项为6476 110623TTCr r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C7 7C C 余数是余数是1 1， 所以是所以是星期六星期六）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C71 11001001001001 1）（7 78 810
10、0 8例 ：今天是星期五，那么天后的这一天7是星期几？例例8 计算计算 (精确到精确到0.001)5997. 155)003. 02(997. 1解：解：322345003. 0210003. 0210003. 0252320.240.0007231.76155)003. 02(997. 1小结小结（1） 二项式系数的三个性质。 （2） 数学思想：函数思想。 a 单调性； b 图象；c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了
11、，在这本书里，记载着类似下面的表： 一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一一一三三四四六六五五十十一一一一二二一一一一三三一一一一四四一一一一五五十十一一一一杨辉三角杨辉三角 这个表称为杨辉三角杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。