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2、工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心求切线方程为求切线方程为法平面方程为法平面方程为 dx=1,dy=0,dz=1为非零解为非
3、零解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面若曲面 上过点上过点 的任意曲线的切线都位于的任意曲线的切线都位于同一平面同一平面.切平面切平面过过 且与切平面垂直的且与切平面垂直的直线直线法线法线1.设曲面方程为设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零在该点偏导数连续且不全为零.是曲面上过是曲面上过 的任一曲线的任一曲线:哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心切平面方程切平面方程法线方程法线方程切
4、平面的法向量切平面的法向量为什为什么么将上式两端对将上式两端对 t 在在 点求导有点求导有 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心1,由于曲线是曲面上过由于曲线是曲面上过 点的任一条光滑曲线，点的任一条光滑曲线，它们在它们在 的切线都与同一定向量的切线都与同一定向量 垂直，故垂直，故曲面上过曲面上过 的一切曲线在该点的切线都在同的一切曲线在该点的切线都在同一平面上一平面上,即曲面在点即曲面在点 的切平面上的切平面上.说明说明:得得:2,令令:则由则由切平面方程向量表示切平面方程向量表示 哈尔滨工程大学 微微积积分分理
5、学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心特殊情况：特殊情况：空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令曲面在曲面在M 处的法向处的法向(指向上侧指向上侧)可取为可取为:哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为 哈尔滨工程大学 微微
6、积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)哈尔滨工程大学
7、微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心求曲线求曲线练习练习1 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）求曲线求曲线上对应于上对应于 x=1 处的切
8、线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。解解将将 x=1 代入方程组，代入方程组，解方程组得解方程组得，练习练习2x=1 处的点为处的点为 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导求导，方程组有唯一解。方程组有唯一解。切向量切向量 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！25