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1、微积分高数微积分高数9-1(20113)9-1(20113)教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解二重积分、三重积分的概念，及其性质理解二重积分、三重积分的概念，及其性质,掌握积分中值定理掌握积分中值定理。掌握二重积分的计算方法掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标).).会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量(如面积如面积、体积、体积、曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等)。了解三重积分的计算方法了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、直角坐标、柱面坐标、球面坐标球面坐标)。哈尔滨工程大学 微
2、微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体先分割曲顶柱体的底，并取典型小的底，并取典
3、型小区域，区域，具体步骤见下页具体步骤见下页具体步骤见下页具体步骤见下页:哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(i)用曲线将用曲线将D分成分成 n 个小区域个小区域 D1,D2,Dn,每个小区域每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体都对应着一个小曲顶柱体.如图如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(ii)由于由于Di很小很小,z=f(x,y)连续连续,小曲顶柱体小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高小平顶柱体的高=f(i,i)
4、.若记若记 i=Di的面积的面积.则小平顶柱体的体积则小平顶柱体的体积=f(i,i)I 小曲顶柱体体积小曲顶柱体体积 f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(iii)因此因此,大曲顶柱体的体积大曲顶柱体的体积 分割得越细分割得越细,则右端的近似值越接近于精则右端的近似值越接近于精确值确值V,若分割得若分割得无限细无限细,则右端近似值会则右端近似值会无限接近于精确值无限接近于精确值V.也就是也就是 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(iv)其中其中Di的直径是指的直径是指Di中相距最
5、远的两点的距离中相距最远的两点的距离.其中其中 (i,i)Di,i=Di 的面积的面积.xyDi如图如图 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 当平面薄板的质量是均匀分布时当平面薄板的质量是均匀分布时,平面平面薄板的薄板的质量质量=面密度面密度面积面积.2.平面薄板的质量平面薄板的质量 M.若平面薄板的质量不是均若平面薄板的质量不是均匀分布的匀分布的.这时这时,薄板的质量薄板的质量不能用上述公式算不能用上述公式算,应如何应如何算该薄板的质量算该薄板的质量M 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(i)用曲线将用曲线将D分成分
6、成 n 个小区域个小区域 D1,D2,Dn,设一平面薄板设一平面薄板,所占区域为所占区域为D,面密度面密度 (x,y)0 连续连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量求该平面薄板的质量M.0 xyDDiDi的面积记作的面积记作 i.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心0 xyDDi由于由于(x,y)0 连续连续,从而当从而当Di很小时很小时,(x,y)在在Di上的变化不大上的变化不大,可近似看作可近似看作(x,y)在在Di上是不变上是不变的的.从而可用算均匀薄板的质量的方法算出从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这这一小块质量的近似值一小块质量的近似值.哈尔
7、滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心(ii)即即,(i,i)Di,以以 (i,i)作为作为Di 这一这一 小片薄板的面密度小片薄板的面密度.从而从而,第第 i 片薄板的质量片薄板的质量 mi (i,i)i(iii)故故,平面薄板的质量平面薄板的质量(iv)哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心设设z=f(x,y)是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域D R2上的有上的有界函数界函数.将将D任意分割成任意分割成n个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域Di(I=1,2,n),其面积记为其面积记为 i.(i,i)Di,作积作积 f(i
8、,i)i,二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质 1.定义定义 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心若对任意的分法和任意的取法若对任意的分法和任意的取法,当当 0时时,和式和式的极限存在且极限值都为的极限存在且极限值都为I,则称则称f(x,y)在在D上上可积可积,记为记为f(x,y)R(D),并称此极限值并称此极限值 I 为为f(x,y)在在D上的二重积分上的二重积分.记作记作即即积分区域积分区域被积函数被积函数面积微元面积微元二重积分符号二重积分符号积分变量积分变量积分和积分和 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学
9、中心注注1.定积分定积分二重积分二重积分区别在将小区间的长度区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积换成小区域的面积 i,将一元函数将一元函数 f(x)在数轴上点在数轴上点 i 处的函数值处的函数值 f(i)换成二元函数换成二元函数 f(x,y)在平面上点在平面上点(i,i)处的处的函数值函数值 f(i,i).可见可见,二重积分是定积分的推广二重积分是定积分的推广.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心注注2.若将若将D用两族平行于用两族平行于x轴和轴和y轴的轴的 直线分割直线分割.(如图如图)DiD则除边界上区域外则除边界上区域外,Di的面积的面积 i=
10、xi yi,故也将二重积分写成故也将二重积分写成是我们常用的写法是我们常用的写法 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心注注3.可以证明若可以证明若f(x,y)在在D上连续上连续,则则f(x,y)在在D 上可积上可积,若若f(x,y)在在D上有界上有界,且在且在D内只有有限个不连内只有有限个不连续点续点,或只在有限条曲线上不连续或只在有限条曲线上不连续,则则f(x,y)可积可积.2.二重积分的性质二重积分的性质设设D为有界闭区域为有界闭区域,以下涉及的积分均存在以下涉及的积分均存在.性质性质1.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教
11、学中心性质性质2.性质性质3.性质性质4.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心若在若在D上有上有f(x,y)g(x,y),则则特别特别:(i)若在若在D上上f(x,y)0,则则(ii)这是因为这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得积分后即得.性质性质5.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心若在若在D上上 m f(x,y)M,则则设设 f(x,y)C(D),则则(,)D,使得使得性质性质6.性质性质7.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心3.二重积分的几何意义二重积分的几何意义(i)z=f(x,y)0,(ii)z=f(x,y)0,(iii)=(D1上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积)设设 x,y 在在 D上可积上可积,则则结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！27