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1、中考数学专题三几何证明中考数学专题三几何证明几何几何证证明是平面几何中的一个重要明是平面几何中的一个重要问题问题,它它对对培养培养学生学生逻辑逻辑思思维维能力有着很大作用能力有着很大作用.几何几何证证明有两种基本明有两种基本类类型型:一是平面一是平面图图形的数量关系形的数量关系;二是有关平面二是有关平面图图形的形的位置关系位置关系.这这两两类问题类问题常常可以相互常常可以相互转转化化,如如证证明平行明平行关系可关系可转转化化为证为证明角相等或角互明角相等或角互补补的的问题问题.考点一考点一 证证明明线线段相等或角相等段相等或角相等 两条两条线线段或两个角相等是平面几何段或两个角相等是平面几何证
2、证明中最基本明中最基本也是最重要的一种相等关系也是最重要的一种相等关系.很多其他很多其他问题问题最后都可最后都可化化归为归为此此类问题类问题来来证证.证证明两条明两条线线段或两角相等最常段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性用的方法是利用全等三角形的性质质,其他如其他如线线段中垂段中垂线线的性的性质质、角平分、角平分线线的性的性质质、等腰三角形的判定与性、等腰三角形的判定与性质质等也等也经经常用到常用到.【示范【示范题题1 1】(2017(2017湖州中考湖州中考)已知正方形已知正方形ABCDABCD的的对对角角线线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O.O.(1)(1)如如图图1,E,
3、G1,E,G分分别别是是OB,OCOB,OC上的点上的点,CE,CE与与DGDG的延的延长线长线相相交于点交于点F.F.若若DFCE,DFCE,求求证证:OE=OG.:OE=OG.(2)(2)如如图图2,H2,H是是BCBC上的点上的点,过过点点H H作作EHBC,EHBC,交交线线段段OBOB于于点点E,E,连连接接DHDH交交CECE于点于点F,F,交交OCOC于点于点G.G.若若OE=OG,OE=OG,求求证证:ODG=OCE;:ODG=OCE;当当AB=1AB=1时时,求求HCHC的的长长.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)欲证明欲证明OE=OG,OE=OG,只要证明只要证明DOGD
4、OGCOECOE即可即可.(2)(2)欲证明欲证明ODG=OCE,ODG=OCE,只要证明只要证明ODGOCEODGOCE即即可可;设设CH=x,CH=x,由由CHEDCH,CHEDCH,可得可得 ,即即HCHC2 2=EHEHCD,CD,由此构建方程即可解决问题由此构建方程即可解决问题.【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,ACBD,OD=OC,DOG=COE=90,ACBD,OD=OC,DOG=COE=90,OEC+OCE=90,OEC+OCE=90,DFCE,OEC+ODG=90,ODG=OCE,DFCE,OEC+ODG=90,ODG=OCE,
5、DOGCOE(ASA),OE=OG.DOGCOE(ASA),OE=OG.(2)OG=OE,DOG=COE=90,OD=OC,(2)OG=OE,DOG=COE=90,OD=OC,ODGOCE,ODG=OCE.ODGOCE,ODG=OCE.设设CH=x,CH=x,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB=1,AB=1,BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45,BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45,EHBC,BEH=EBH=45,EH=BH=1-x,EHBC,BEH=EBH=45,EH=BH=1-x,ODG=OCE,ODG=OCE,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH,B
6、DC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH,EHBC,EHC=HCD=90,CHEDCH,EHBC,EHC=HCD=90,CHEDCH,HC ,HC2 2=EH=EHCD,xCD,x2 2=(1-x)=(1-x)1,1,解得解得x=x=或或 (舍弃舍弃),HC=.),HC=.【特【特别别提醒】提醒】本本题题考考查查了正方形的性了正方形的性质质、全等三角形的判定和性、全等三角形的判定和性质质、相似三角形的判定和性相似三角形的判定和性质质.在几何在几何图图形中形中,证证明明线线段段(或角或角)相等的一般思路是相等的一般思路是证证明明线线段段(或角或角)所在的三角所在的三角形全等形全等;求求线线段
7、的段的长时长时,可构造直角三角形利用勾股定可构造直角三角形利用勾股定理求解理求解,有有时时利用相似三角形的利用相似三角形的对应边对应边成比例构造方成比例构造方程求解程求解.【变变式式训练训练】如如图图,在在RtABCRtABC中中,C=90,A=30,AB,C=90,A=30,AB的垂直平的垂直平分分线线分分别别交交AB,ACAB,AC于点于点D,E.D,E.(1)(1)求求证证:AE=2CE.:AE=2CE.(2)(2)求求证证:DE=EC.:DE=EC.【证明】【证明】(1)(1)连接连接BE,BE,在在ABCABC中中,C=90,A=30,C=90,A=30,ABC=90-A=60,AB
8、C=90-A=60,DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线,AE=BE,AE=BE,ABE=A=30,CBE=ABC-ABE=30,ABE=A=30,CBE=ABC-ABE=30,在在RtBCERtBCE中中,BE=2CE,AE=2CE.,BE=2CE,AE=2CE.(2)(2)由由(1)(1)知知CBE=ABE=30,CBE=ABE=30,DEAB,C=90,DEAB,C=90,DE=CE.DE=CE.【知【知识归纳识归纳】1.1.掌握分析、掌握分析、证证明几何明几何问题问题的常用方法的常用方法:(1)(1)综综合法合法(由因由因导导果果):):从已知条件出从已知条件出发发,通通过过有
9、关定有关定义义、定理、公理的、定理、公理的应应用用,逐步向前推逐步向前推进进,直到直到问题问题的解的解决决.(2)(2)分析法分析法(执执果索因果索因):):从命从命题题的的结论结论考考虑虑,推敲使其推敲使其成立需要具成立需要具备备的条件的条件,然后再把所需的条件看成要然后再把所需的条件看成要证证的的结论继续结论继续推敲推敲,如此逐步往上逆求如此逐步往上逆求,直到已知事直到已知事实为实为止止.(3)(3)两两头头凑法凑法:将分析与将分析与综综合法合并使用合法合并使用,比比较较起来起来,分分析法利于思考析法利于思考,综综合法易于表达合法易于表达,因此因此,在在实际实际思考思考问问题时题时,可合并
10、使用可合并使用,灵活灵活处处理理,以利于以利于缩缩短短题设题设与与结论结论的距离的距离,最后达到最后达到证证明目的明目的.2.2.掌握构造基本掌握构造基本图图形的方法形的方法:复复杂杂的的图图形都是由基本形都是由基本图图形形组组成的成的,因此要善于将复因此要善于将复杂图杂图形分解成基本形分解成基本图图形形.在更多在更多时时候需要构造基本候需要构造基本图图形形,在构造基本在构造基本图图形形时时往往往需要添加往需要添加辅辅助助线线,以达到集中条件、以达到集中条件、转转化化问题问题的目的目的的.考点二考点二 证证明直明直线线平行或垂直平行或垂直 在两条直在两条直线线的位置关系中的位置关系中,平行与垂
11、直是两种特平行与垂直是两种特殊的位置殊的位置.证证两直两直线线平行平行,可用同位角、内可用同位角、内错错角或同旁角或同旁内角的关系来内角的关系来证证,也可通也可通过边对应过边对应成比例、三角形中成比例、三角形中位位线线定理定理证证明明.证证两条直两条直线线垂直垂直,可可转转化化为证为证一个角等一个角等于于90,90,或利用两个或利用两个锐锐角互余角互余,或等腰三角形或等腰三角形“三三线线合合一一”来来证证.【示范【示范题题2 2】(2017(2017南充中考南充中考)如如图图,在正方形在正方形ABCDABCD中中,点点E,GE,G分分别别是是边边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF=AB.,
12、AF=AB.(1)(1)求求证证:EFAG.:EFAG.(2)(2)若点若点F,GF,G分分别别在射在射线线AB,BCAB,BC上同上同时时向右、向上运向右、向上运动动,点点G G运运动动速度是点速度是点F F运运动动速度的速度的2 2倍倍,EFAG,EFAG是否成立是否成立(只写只写结结果果,不需不需说说明理由明理由)?)?(3)(3)正方形正方形ABCDABCD的的边长为边长为4,P4,P是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点,当当S SPABPAB=S=SOABOAB时时,求求PABPAB周周长长的最小的最小值值.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)由正方形的性质得出由正方形的性质
13、得出AD=AB,AD=AB,EAF=EAF=ABG=90ABG=90,证出证出 ,得出得出AEFAEFBAG,BAG,由相由相似三角形的性质得出似三角形的性质得出AEF=AEF=BAG,BAG,再由角的互余关系再由角的互余关系和三角形内角和定理证出和三角形内角和定理证出AOE=90AOE=90即可即可.(2)(2)证明证明AEFBAG,AEFBAG,得出得出AEF=BAG,AEF=BAG,再由角的互再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论余关系和三角形内角和定理即可得出结论.(3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于点M,M,交交BCBC于点于点N,N,则则MN
14、AD,MNAD,MN=AB=4,MN=AB=4,由三角形的面积关系得出点由三角形的面积关系得出点P P在线段在线段MNMN上上,当当P P为为MNMN的中点时的中点时,PAB,PAB的周长最小的周长最小,此时此时PA=PB,PM=PA=PB,PM=MN=2,MN=2,连接连接EG,EG,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4,证明证明AOFAOFGOE,GOE,得出得出 ,证出证出 ,得出得出AM=AM=AE=,AE=,由勾股定理求出由勾股定理求出PA,PA,即可得出答案即可得出答案.【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AD=AB,
15、EAF=ABG=90,AD=AB,EAF=ABG=90,点点E,GE,G分别是边分别是边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF=AB.,AF=AB.AEFBAG,AEF=BAG,AEFBAG,AEF=BAG,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AOE=90,EFAG.AOE=90,EFAG.(2)(2)成立成立.理由如下理由如下:根据题意得根据题意得:又又EAF=ABG,AEFBAG,EAF=ABG,AEFBAG,AEF=BAG,AEF=BAG,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AOE=9
16、0,EFAG.AOE=90,EFAG.(3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于点M,M,交交BCBC于点于点N,N,如图所示如图所示,则则MNAD,MN=AB=4,MNAD,MN=AB=4,PP是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点,S,SPABPAB=S=SOABOAB,点点P P在线段在线段MNMN上上,当当P P为为MNMN的中点时的中点时,PAB,PAB的周长最的周长最小小,此时此时PA=PB,PM=MN=2,PA=PB,PM=MN=2,连接连接EG,PA,PB,EG,PA,PB,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4,AOFGOE,A
17、OFGOE,MNAB,MNAB,由勾股定理得由勾股定理得:PA=:PA=PABPAB周长的最小值周长的最小值=2PA+AB=2PA+AB=【特【特别别提醒】提醒】本本题题是四是四边边形的形的综综合合题题目目,考考查查了正方形的性了正方形的性质质、相、相似三角形的判定与性似三角形的判定与性质质、勾股定理、三角形内角和定、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性理、直角三角形的性质质等知等知识识,证证明三角形相似是解明三角形相似是解决决问题问题的关的关键键.【变变式式训练训练】如如图图所示所示,在四在四边边形形ABCDABCD中中,A=C=90,BE,DF,A=C=90,BE,DF分分别别平分平
18、分ABC,ADC.ABC,ADC.判断判断BE,DFBE,DF是否平行是否平行,并并说说明理由明理由.【解析】【解析】BEDF.BEDF.理由如下理由如下:A=C=90,ABC+ADC=180.A=C=90,ABC+ADC=180.BEBE平分平分ABC,DFABC,DF平分平分ADC,ADC,1=2=ABC,3=4=ADC.1=2=ABC,3=4=ADC.2+4=(ABC+ADC)=180=90.2+4=(ABC+ADC)=180=90.又又1+CEB=90,4=CEB.BEDF.1+CEB=90,4=CEB.BEDF.考点三考点三 证证明明线线段和差的段和差的问题问题 【示范【示范题题3
19、3】如如图图,正方形正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分分别别在在BC,DCBC,DC上上,且且EAF=45.EAF=45.试说试说明明:BE+DF=EF.:BE+DF=EF.【思路点拨】【思路点拨】把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ADG,ADG,根根据旋转的性质可得据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG,再根据再根据EAF=45EAF=45求求出出FAG=45FAG=45,然后证明然后证明AEFAEF与与AGFAGF全等全等,根据全等根据全等三角形对应边相等可得三角形对应边相等可得EF=GF,EF=GF,即即EF=GD+FD,EF=GD+F
20、D,即可证明即可证明EF=BE+DF.EF=BE+DF.【自主解答】【自主解答】如图如图,把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ADG,ADG,BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG,EAF=45,EAF=45,FAG=90-45=45,FAG=90-45=45,EAF=FAG,EAF=FAG,在在AEFAEF和和AGFAGF中中,AEFAGF(SAS),AEFAGF(SAS),EF=GF,EF=GF,即即EF=GD+DF,EF=GD+DF,BE+DF=EF.BE+DF=EF.【特【特别别提醒】提醒】本本题题考考查查了正方形四了正方形四边边均相等均相等,且各内角均且各内角
21、均为为直角的直角的性性质质,考考查查了全等三角形的了全等三角形的证证明明,本本题题把把ABEABE逆逆时针时针旋旋转转90,90,构建全等三角形构建全等三角形AEFAEF与与AGFAGF是解是解题题的关的关键键.【变变式式训练训练】如如图图,已知正方形已知正方形ABCDABCD中中,对对角角线线AC,BDAC,BD交于交于O O点点,过过O O点点作作OEOFOEOF分分别别交交DCDC于于E,E,交交BCBC于于F,FECF,FEC的角平分的角平分线线EPEP交直交直线线ACAC于于P.P.(1)(1)求求证证:OE=OF.:OE=OF.(2)(2)写出写出线线段段EF,PC,BCEF,PC
22、,BC之之间间的一个等量关系式的一个等量关系式,并并证证明明你的你的结论结论.【解析】【解析】(1)(1)正方形正方形ABCDABCD中中,对角线对角线AC,BDAC,BD交于交于O O点点,ACBD,ACBD,BOC=DOC=90,BOC=DOC=90,BOF+FOP=90,BOF+FOP=90,OEOF,FOE=90,OEOF,FOE=90,EOC+FOP=90EOC+FOP=90BOF=EOC,BOF=EOC,又又OB=OC,OBF=OCE=45,OB=OC,OBF=OCE=45,BOFCOE,BOFCOE,OE=OF.OE=OF.(2)EF+CP=BC.(2)EF+CP=BC.证明证明:BOFCOE,:BOFCOE,OE=OF,OEF=OFE=45.OE=OF,OEF=OFE=45.FECFEC的角平分线的角平分线EPEP交直线交直线ACAC于于P,P,FEP=CEP.FEP=CEP.OEP=OEF+FEP,OPE=ACD+CEP,OEP=OEF+FEP,OPE=ACD+CEP,又又OEF=ACD=45,OEP=OPE.OEF=ACD=45,OEP=OPE.OE=OP.OE=OP.EF=OE=OP,EF=OE=OP,BC=OC=(OP+PC),BC=OC=(OP+PC),EF+CP=BC.EF+CP=BC.结束结束