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1、5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法三、三、有限单元的概念、特点及发展状况5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容上次课主要内容弹性体中弹性体中弹性体中弹性体中应力应力应力应力、应变应变应变应变和和和和位移位移位移位移都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由
2、于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上称为称为称为称为微分方程的边值问题微分方程的边值问题微分方程的边值问题微分方程的边值问题。有三类解法：有三类解法：有三类解法：有三类解法：解析法、数
3、值法解析法、数值法解析法、数值法解析法、数值法和和和和半解析法半解析法半解析法半解析法。弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、弹性常数、所受已知物体几何尺寸、弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法 变变变变分分分分原原原原理理理理又又又又称称称称变变变变分分分分法法法法，它它它它把把把把弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学基基基基本本本本方方
4、方方程程程程的的的的定定定定解解解解问问问问题题题题变变变变为为为为求求求求泛泛泛泛函函函函的的的的极极极极值值值值（或或或或驻驻驻驻值值值值）问问问问题题题题；在在在在求求求求近近近近似似似似解解解解时时时时，又又又又转转转转变变变变为为为为求求求求函函函函数数数数的的的的极极极极值值值值（或或或或驻驻驻驻值值值值）问问问问题题题题，并并并并把把把把问问问问题题题题归结为求线性代数方程组问题。归结为求线性代数方程组问题。归结为求线性代数方程组问题。归结为求线性代数方程组问题。里里里里兹兹兹兹法法法法是是是是变变变变分分分分原原原原理理理理的的的的一一一一个个个个具具具具体体体体应应应应用用用
5、用，而而而而基基基基于于于于变变变变分分分分原原原原理的理的理的理的有限元有限元有限元有限元法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法应变能应变能变分变分等于外力功变分等于外力功变分 位移变分方程位移变分方程位移变分方程位移变分方程变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：虚功方程虚功方程虚功方程虚功方程实际的位移使总势能变分为零实际的位移使总势能变分为零 最小势能
6、原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法里兹法：里兹法：里兹法：里兹法：一种求解泛函极值问题的直接法，一种求解泛函极值问题的直接法，假设位移为满足位移边界条假设位移为满足位移边界条假设位移为满足位移边界条假设位移为满足位移边界条件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定系数，得到位移的近似解系数，得到位移的近似解系数
7、，得到位移的近似解系数，得到位移的近似解由于里兹法的近似解对全域而言，即试函数对全域设定，因此在由于里兹法的近似解对全域而言，即试函数对全域设定，因此在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数往往会求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数往往会产生难以克服的困难。产生难以克服的困难。建立于变分原理基础上的有限元法，将整个求解域离散成若干单建立于变分原理基础上的有限元法，将整个求解域离散成若干单元的集合体，在单元内定义近似函数，通过分片逼近来求得整个元的集合体，在单元内定义近似函数，通过分片逼近来求得整个求解域上的近似解，因而适用范围大大扩展。求解域上的近似解，因而适用范围大
8、大扩展。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容三、三、有限单元的概念单单单单元元元元内内内内的的的的近近近近似似似似函函函函数数数数由由由由单单单单元元元元结结结结点点点点的的的的数数数数值值值值及及及及其其其其插插插插值值值值函函函函数数数数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；有有有有限限限限元元元元法法法法是是是是把把把把具具具具有有有有无无无无限限限限自自自自由由由由度度度度的的的的连连连连续续续续求求求求解解解
9、解域域域域离离离离散散散散为为为为一一一一组组组组由由由由有有有有限限限限个个个个单单单单元元元元、按按按按一一一一定定定定方方方方式式式式组组组组合合合合连连连连接接接接在在在在一一一一起起起起的的的的的组合体；的组合体；的组合体；的组合体；用用用用在在在在每每每每一一一一个个个个单单单单元元元元内内内内假假假假设设设设的的的的近近近近似似似似函函函函数数数数来来来来分分分分片片片片地地地地表表表表示示示示全全全全求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；其理论基础是其理论基础是其理论基础是其理论基础是变分原理变分原理变分原理变分原理或或
10、或或加权余量法加权余量法加权余量法加权余量法5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容三、三、有限单元的概念由由由由于于于于在在在在对对对对连连连连续续续续体体体体离离离离散散散散的的的的过过过过程程程程中中中中，可可可可供供供供选选选选用用用用的的的的单单单单元元元元有有有有多多多多种种种种形形形形状状状状（一一一一维维维维、二二二二维维维维、三三三三维维维维等等等等），单单单单元元元元之之之之间间间间又又又又可可可可有有有有不不不不同同同同的的的的连连连连接接接接组组组组合合合合方方方方式式式式，因因因因此此此此可可可可以以以以模模模模型型型型化化
11、化化几几几几何何何何形形形形状状状状复杂的求解区域。复杂的求解区域。复杂的求解区域。复杂的求解区域。有限元法有限元法有限元法有限元法研究研究研究研究的主要内容之一便是的主要内容之一便是的主要内容之一便是的主要内容之一便是构造构造构造构造各种类型的各种类型的各种类型的各种类型的单元单元单元单元，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。5-2 5-2 三角形常应变
12、单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三、三、总体方程的集成四、已知位移条件的引入五、有限元分析中的误差及收敛性七、几种常用的平面单元六、线性方程组的解法5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法离散化是指将待分析的结构用离散化是指将待分析的结构用离散化是指将待分析的结构用离散化是指将待分析的结构用选定的单元选定的单元选定的单元选定的单元型式划分成有限型式划分成有限型式划分成有限型式划分成
13、有限个单元体，把单元的一些个单元体，把单元的一些个单元体，把单元的一些个单元体，把单元的一些指定点指定点指定点指定点设为连接相邻单元的节点，设为连接相邻单元的节点，设为连接相邻单元的节点，设为连接相邻单元的节点，以以以以单元的集合单元的集合单元的集合单元的集合体代替原结构。体代替原结构。体代替原结构。体代替原结构。1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化根据根据根据根据基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量的不同，有限元法中的单元可分为的不同，有限元法中的单元可分为的不同，有限元法中的单元可分为的不同，有限元法中的单元可分为位移元位移元位移元位移元、应力元应力
14、元应力元应力元和和和和混合元混合元混合元混合元。以结点位移为基本未知量的单元为以结点位移为基本未知量的单元为以结点位移为基本未知量的单元为以结点位移为基本未知量的单元为位移单元位移单元位移单元位移单元。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有两种两种两种两种：1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化自然离散自然离散自然离散自然离散杆系结构：自然的杆件、节点杆系结构：
15、自然的杆件、节点 逼近离散逼近离散逼近离散逼近离散连续体：剖分出单元、节点连续体：剖分出单元、节点5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质连续介质连续介质连续介质离散化离散化离散化离散化切割：切割：二维 线（直线 折线 曲线）三维 面（平面 折面 曲面）由边界和切割线（面）形成有限元网格由边界和切割线（面）形成有限元网格,使使得得连续域连续域成为成为离散域离散域结点位移结点位移：位移元的基本未知量。：位移元的基本未知量。每一小块：每一小块：单元单元（elementel
16、ement）结点结点：场变量在该点的值为未知量。：场变量在该点的值为未知量。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化切割切割单元：单元：1 1 1 1）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）2 2 2 2）尺寸大小决定了计算结果的精度）尺寸大小决定了计算结果的精度）尺寸大小决定
17、了计算结果的精度）尺寸大小决定了计算结果的精度.3 3 3 3）界面为相邻单元共有，界面上共有结点）界面为相邻单元共有，界面上共有结点）界面为相邻单元共有，界面上共有结点）界面为相邻单元共有，界面上共有结点.5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化切割切割单元单元结点：结点：1)1)1)1)结点坐标（定位）结点坐标（定位）结点坐标（定位）结点坐标（定位）2)2)2)2)结点两种编号结点两种编号结点两种编号结点两种编号 3
18、)3)3)3)结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。整体编号整体编号 单元内编号单元内编号5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化切割切割单元单元结点结点1)1)1)1)合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。合理的疏密
19、，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。2 2 2 2)合理的过渡合理的过渡合理的过渡合理的过渡网格：网格：5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表
20、示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式形式表达。原因有二：原因有二：原因有二：原因有二：一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级
21、数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项式逼近。式逼近。式逼近。式逼近。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式3.3.3.3.单元特性分析单元特性分析单元特性分析单元特性分析建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建
22、立单刚和等效结点荷载列阵位移场位移场位移场位移场 几何关系几何关系几何关系几何关系 应变应变应变应变(结点位移结点位移结点位移结点位移)本构关系本构关系本构关系本构关系 应力应力应力应力首先，将单元内的首先，将单元内的首先，将单元内的首先，将单元内的应力场应力场应力场应力场-应变场应变场应变场应变场用用用用节点位移节点位移节点位移节点位移表示：表示：表示：表示：其次，利用其次，利用其次，利用其次，利用变分原理变分原理变分原理变分原理建立建立建立建立刚度方程：刚度方程：刚度方程：刚度方程：5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章
23、平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式3.3.3.3.单元特性分析单元特性分析单元特性分析单元特性分析建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵4.4.4.4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程对于静力线性问题，形
24、成线性代数方程组对于静力线性问题，形成线性代数方程组对于静力线性问题，形成线性代数方程组对于静力线性问题，形成线性代数方程组单元方程单元方程单元方程单元方程 集成集成集成集成 总体方程总体方程总体方程总体方程(直接刚度法、对号入座）直接刚度法、对号入座）直接刚度法、对号入座）直接刚度法、对号入座）5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化5.5.5.5.引入位移强制边界条件引入位移强制边界条件引入位移强制边界条件引入位移强
25、制边界条件(消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性)6.6.6.6.解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组7.7.7.7.计算应力、应变计算应力、应变计算应力、应变计算应力、应变 由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变8.8.8.8.其它要求其它要求其它要求其它要求(进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算)得到得到结点位移解结点位移解结点位移解结点位移解2.2.2.2.确定单元的近似位移模
26、式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式3.3.3.3.单元特性分析单元特性分析单元特性分析单元特性分析建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵4.4.4.4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单
27、元三结点三角形单元三结点三角形单元两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵平面应力：如膜、薄板等平面应力：如膜、薄板等平面应变：如水坝、挡土墙等平面应变：如水坝、挡土墙等5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元单元结点编号：单元结点编号：单元结点编号：单元结点编号：1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，整体结点编号：整体结点编号：整体结点编号
28、：整体结点编号：1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，i,j,m,n,i,j,m,n,i,j,m,n,i,j,m,n,编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，次序不能任意。次序不能任意。次序不能任意。次序不能任意。三角形单元三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元单元结点位移单元结点位移单元结点位移单元结点位移:结点位移结点位移结点位移结点位移:1.1.1
29、.1.单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数：第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x,y)v(x,y)u(x,y)单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线位移可写成：位移可写成：位移可写成：位移可写成：（a）设设设设u,vu,vu,vu,v是坐标是坐标是坐标是坐标x x x x、y y y y的的的的线性函数线性函数线性函数线性函数
30、:待定参数待定参数待定参数待定参数,称之为称之为称之为称之为广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标将结点坐标代入将结点坐标代入将结点坐标代入将结点坐标代入(a)a)a)a)，得结点位移得结点位移得结点位移得结点位移:（b）（六个方程、六个未知量，可确定（六个方程、六个未知量，可确定6个待定参数）个待定参数）第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元1.1.1.1.单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数：解解解解(b)b)b)b)前三个式：前三个式：前三个式：前三个式：单元编码
31、单元编码单元编码单元编码 i,j,m i,j,m i,j,m i,j,m 应逆时针转向应逆时针转向应逆时针转向应逆时针转向,可使可使可使可使A(A(A(A(三角形面积三角形面积三角形面积三角形面积)0000。如果令：如果令：如果令：如果令：（i,j,m)则则则则:（d d d d）（e e e e）同理同理同理同理:将将将将(d)(e)d)(e)d)(e)d)(e)代入代入代入代入(a):a):a):a):令令令令:形函数形函数则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单
32、元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）或：或：或：或：形函数矩阵形函数矩阵 形函数性质形函数性质形函数性质形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)(1)形函数形函数N Ni i在在i i点值为点值为1 1，在，在 j j、m m 点数值为点数值为0 0。N Ni i:在在 i i 点发生单位位移对单元内部位移的影响。点发生单位位移对单元内部位移的影响。第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元1.1.1.1.单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数：(3)(
33、3)三角形单元三角形单元 i,j,mi,j,m在在 i,j i,j 边的形函数与第三个顶边的形函数与第三个顶点坐标无关。点坐标无关。(2)(2)单元任一点三个形函数之和为单元任一点三个形函数之和为1 1。反映单元的刚体位移反映单元的刚体位移利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)mxyijn单元单元单元单元 在公共边在公共边在公共边在公共边 i,j i,j 上上上上:则
34、公共边则公共边则公共边则公共边 i,j i,j 上的位移：上的位移：上的位移：上的位移：公共边公共边公共边公共边 i,j i,j 上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点 i,j i,j 的位移确定，所以的位移确定，所以的位移确定，所以的位移确定，所以相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。2.2.2.2.几何方程，由结点位移求单元内应变：几何方程，由结点位移求单元内应变：几何方程，由结点位移求单元内应变：几何方程，由结点位移求单元内应变：将位
35、移表达式代入，得：将位移表达式代入，得：单元应变矩阵单元应变矩阵其中：其中：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法又可写成：又可写成：B B 中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则 也为常量。也为常量。也为常量。也为常量。常应变单元常应变单元常应变单元常应变单元二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元3.3.3.3.物理方程，由结点位移求单元应力：物理方程，由结点位移求单元应力：物理方程，由结点位移求单元应
36、力：物理方程，由结点位移求单元应力：平面应力问题物理方程的矩阵表达式平面应力问题物理方程的矩阵表达式 应力矩阵应力矩阵令令:第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法 有限元单元物理量有限元单元物理量单元结点位移：单元结点位移：单元位移模式：单元位移模式：单元应变应力：单元应变应力：4.4.4.4.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法 平面单元体总势能平面单元体总势能其中：其中：
37、单元刚度矩阵单元刚度矩阵应变能：应变能：4.4.4.4.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法外力势能：外力势能：其中：其中：而：而：5.5.5.5.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单
38、元法 单元体力的等效结点力单元体力的等效结点力 单元面力的等效结点力单元面力的等效结点力 单元内集中力的等效结点力单元内集中力的等效结点力总势能是位移总势能是位移 的泛函的泛函单元体总势能：单元体总势能：(a)(a)最小势能原理最小势能原理:(a)a)代入上式，得：代入上式，得：由由 的任意性可知：的任意性可知：单元平衡方程单元平衡方程在在中常应变单元中常应变单元 BB为常数，为常数，单元刚度矩阵单元刚度矩阵 kke e简化为：简化为：经计算可得：经计算可得：其中：其中：是奇异矩阵是奇异矩阵:（加约束前）（加约束前）单元刚阵的性质单元刚阵的性质:具有对称性：具有对称性：非结点荷载的讨论非结点荷
39、载的讨论:以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）。静力等效原则：静力等效原则：原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就是在虚功方程中：是在虚功方程中：使使等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。单元内集中力单元内集中力 、体积力、体积力 、面力、面力 引起的等效结点力：引起的等效结点力：集中力虚功集中力虚功 体积力虚功体积力虚功 面力虚功面力虚功其中：
40、其中：单元内点位移单元内点位移结点力虚功结点力虚功荷载列阵：荷载列阵：(1)(1)形心形心c c重力荷载重力荷载WW的等效结点力：的等效结点力：体系的虚功关系：体系的虚功关系：线性位移模式线性位移模式xoymijWcbVii1等效结点力举例等效结点力举例：单元内集中力的等效结点力单元内集中力的等效结点力sdsl(2)(2)单元边界上分布荷载的等效结点力：单元边界上分布荷载的等效结点力：xoymijpjpipx1ijmNiijm1Nj 单元分析小结：单元分析小结：5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法三、三、总体方程的集成包括两
41、方面内容：包括两方面内容：包括两方面内容：包括两方面内容：（1 1）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整体刚度矩阵体刚度矩阵（2 2）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成总的荷载列阵总的荷载列阵总体方程集成方法：直接刚度法总体方程集成方法：直接刚度法总体方程集成方法：直接刚度法总体方程集成方法：直接刚度法(利用单元结点局部编码利用单元结点局部编码和整体编码之间的关系，直接对号入座）和整体编码之间的关系，直接对号入座）5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题
42、有限单元法三、三、总体方程的集成局部编码局部编码 i,j,mi,j,m整体编码整体编码1,2,3,41,2,3,41.1.结点位移结点位移结点位移结点位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右图问题为例，说明集成过程以右图问题为例，说明集成过程2.2.结点力结点力结点力结点力以结点以结点2 2平衡为例：平衡为例：2III 这里：这里：F2 F2 单元单元()()作用在结点作用在结点2 2上的等效力上的等效力 R2 R2 围绕结点围绕结点2 2各单元作用在结点各单元作用在结点2 2上的等上的等效力之和效力之和对于一般情况：对于一般情况：S S结点结点(整体编码整体编码)其中：其中
43、：3.3.结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡单元平衡：结点结点 i(i(单元编码单元编码)的平衡：的平衡：整体平衡：整体平衡：由结点由结点s(s(整体编码整体编码)的平衡的平衡得：得：（e 个单元在 s 点平衡供献之和）把所有结点按整体结点编码排列：把所有结点按整体结点编码排列：整体结构平衡方程整体结构平衡方程 K K 总刚（整体刚度矩阵）总刚（整体刚度矩阵）结构的结点位移（按整体编码为顺序）结构的结点位移（按整体编码为顺序）R R 结构的结点荷载（按整体编码为顺序）结构的结点荷载（按整体编码为顺序）
44、（3 3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在同一位置则进行叠加。不同单元的元素在同一位置则进行叠加。总刚度集成方法：总刚度集成方法：（1 1）计算每个单元的）计算每个单元的 kke e；（2 2）根据单元结点局部和整体编号之间的关系将根据单元结点局部和整体编号之间的关系将 kke e中每个子块中每个子块 k kij ij 的的ij ij换成对应的整体码；换成对应的整体码；m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：单元号：局部码：局部码：i,j,m i,j,m
45、i,j,m i,j,m整体码：整体码：2,4,1 4,2,32,4,1 4,2,3单刚换码：单刚换码：单元单元形成总刚：形成总刚：(对号入座对号入座)Ik11 K:K:14321432单元单元m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIIIIIIkkkkkkkk434134322321141200 整体荷载列阵整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m 1 1 1 1）对称性）对称性）对称性）对称性2 2 2 2）奇异性，需引入合适的位移约束。）奇异性，需引入合适的
46、位移约束。）奇异性，需引入合适的位移约束。）奇异性，需引入合适的位移约束。3 3 3 3）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）4 4 4 4）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布5 5 5 5)主元恒正主元恒正主元恒正主元恒正 总刚的性质总刚的性质5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1 1、先处理法、先处理法、先处理法、先处理法消除总纲的奇异性消除总纲的奇异性在在在在计算结构自由度时，将零位移边条所对应
47、的自由度舍去不计，计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。2 2、后处理法、后处理法、后处理法、后处理法（1 1）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度
48、所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列对应的行和列对应的行和列对应的行和列（2 2）主对角元置）主对角元置）主对角元置）主对角元置1 1法将法将法将法将 KK中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素k kii ii置置置置1 1，与与与与k kii ii在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置0 0，与，与，与，与k kii ii在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分量也置零。量也置零。量也置零。量也置零。5-2 5-2 三角形常应变
49、单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1 1、先处理法、先处理法、先处理法、先处理法2 2、后处理法、后处理法、后处理法、后处理法（1 1）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列对应的行和列对应的行和列对应的行和列（2 2）主对角元置）主对角元置）主对角元置）主对角元置1 1法将法将法将法将 KK中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零
50、的主对角元素k kii ii置置置置1 1，与与与与k kii ii在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置0 0，与，与，与，与k kii ii在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分量也置零。量也置零。量也置零。量也置零。（3 3）乘大数法已知非零位移）乘大数法已知非零位移）乘大数法已知非零位移）乘大数法已知非零位移a a，将将将将 KK中对应的主对角元素中对应的主对角元素中对应的主对角元素中对应的主对角元素k kii ii乘上一大数乘上一大数乘上一大数乘上一大数(如如如如10102020），同时将与同