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1、对数学教学及其价值对数学教学及其价值 的认识与思考的认识与思考 舟山南海实验学校舟山南海实验学校舟山南海实验学校舟山南海实验学校一、为什么而教？一、为什么而教？二、教什么？二、教什么？三、怎么教？三、怎么教？对数学教学及其价值的认识与思考对数学教学及其价值的认识与思考一一.为什么而教为什么而教局外人的困惑局外人的困惑1.901.90年代北京一位高官视察学校时发表的言论年代北京一位高官视察学校时发表的言论平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2=(=(a+b)(a-ba+b)(a-b)价值何在？价值何在？1.1.数学本身发展需要数学本身发展需要分式运算，解方程等；分式运算，解方程等；2.
2、2.字母的可变性，结构的不变性字母的可变性，结构的不变性整体观念；整体观念；3.3.逆向思维的培养；具体与抽象的结合。逆向思维的培养；具体与抽象的结合。对数学教学的价值认识与思考对数学教学的价值认识与思考2.2.自身的困惑？自身的困惑？对数学教学的价值认识与思考对数学教学的价值认识与思考语文、英语语文、英语语言交流与书面表达；语言交流与书面表达；自然科学自然科学科学的眼光，科学的方法；科学的眼光，科学的方法；社会社会了解历史、以史为镜；了解历史、以史为镜；数学数学计算与证明，数据处理计算与证明，数据处理日常生活中用到了多少，价值何在？日常生活中用到了多少，价值何在？看看得得见，见，摸摸得得着，
3、着，有有用用为什么而教为什么而教价值何在？价值何在？爱因斯坦：爱因斯坦：“为什么数学比其他的一切科学为什么数学比其他的一切科学受到尊重，一个理由是，它的命题是绝对可受到尊重，一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辨的，而其他一切科学的命题靠的和无可争辨的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现推翻的危险之中。数学给予精密的被新发现推翻的危险之中。数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。这些科学是达不到这种可靠性的。”（美）（美）M.M.克莱因：克莱
4、因：“在最广泛的意义上说，在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神正是数学是一种精神，一种理性的精神正是这种精神，使得人类的思维运用到最完善这种精神，使得人类的思维运用到最完善的程度亦正是这种精神，试图决定性地的程度亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵经获得知识的最深刻和最完善的内涵”为什么而教为什么而教价值何在？价值何在？米山国藏指出米山国藏指出
5、:在学校学的数学知识在学校学的数学知识,毕业后毕业后若没什么机会去用若没什么机会去用,一两年后一两年后,很快就忘掉了很快就忘掉了.然而然而,不管他们从事什么工作不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻唯有深深铭刻在心中的在心中的数学的精神、数学的数学的精神、数学的思维方思维方法、法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,却随时随地发生作用却随时随地发生作用,使他们终生受益使他们终生受益.为什么而教为什么而教价值何在？价值何在？MM劳厄尔也指出：教育的真谛是劳厄尔也指出：教育的真谛是“所有所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些
6、些东西”为什么而教为什么而教价值何在？价值何在？（北大张龙燕）数学的精神、方法与应用（北大张龙燕）数学的精神、方法与应用给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；给你一个睿智的头脑，帮你理性思维；给你一个睿智的头脑，帮你理性思维；给你一个研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望给你一个研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜；远镜和显微镜；给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻找乐土，给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻找乐土，利用你的勤奋和智慧去做出发明和创造。利用
7、你的勤奋和智慧去做出发明和创造。二、教什么？二、教什么？基础基础 +方法方法 =能力能力1.1.张奠宙教授的比喻张奠宙教授的比喻2.2.顾泠沅教授的比喻顾泠沅教授的比喻中国数学界落实双基的有效经验：中国数学界落实双基的有效经验：记忆通向理解；速度赢得效率；记忆通向理解；速度赢得效率；严谨形成理性；重复依靠变式；严谨形成理性；重复依靠变式；基础知识与基本技能基础知识与基本技能+基本数学思想与基本数学经验基本数学思想与基本数学经验关于方法：关于方法：二、教什么？二、教什么？著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生教给学生“大巧大巧”，要教学生
8、，要教学生“运用之妙，存乎一运用之妙，存乎一心心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的几个题目的“小巧小巧”.不拘泥于一招一式不拘泥于一招一式,应该讲应该讲“一般有用的方法一般有用的方法”小巧固不足取，大巧也确实太难小巧固不足取，大巧也确实太难.对于大多数学子，对于大多数学子，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大小题做大，小中见大.教学的三重境界：授人以业，授人以法，授人以道。教学的三重境界：授人以业，授人以法，授人以道。二、教什么？二、教什么？知知识识方法方法思维思维能
9、力能力情感与态度结合情感与态度结合,知识与方法融合知识与方法融合,结果与过程并重结果与过程并重！案例案例1：袁隆平为什么不喜欢数学？：袁隆平为什么不喜欢数学？案例案例2 2：怎样验证在有理数范围运算律仍然成立？：怎样验证在有理数范围运算律仍然成立？做什么做什么怎样做怎样做为什么这样做为什么这样做?案例案例3:3:有关相似及比与比例的数学活动有关相似及比与比例的数学活动(经典情境经典情境)合理把握合理把握“过程性目标过程性目标”1.1.约定性的知识：例如数学名词来历，符号规定，表约定性的知识：例如数学名词来历，符号规定，表述习惯；述习惯；2.2.技能性的运算规则，要展示其形成过程，但必不长技能性
10、的运算规则，要展示其形成过程，但必不长期记得该过程。如分式相除的期记得该过程。如分式相除的“颠倒相乘颠倒相乘”3.3.一些结论重要但过程缺乏普遍性价值的知识，经历。一些结论重要但过程缺乏普遍性价值的知识，经历。如证明圆周角定理需分直角、锐角、钝角讨论，定如证明圆周角定理需分直角、锐角、钝角讨论，定理很重要，但这类证明缺乏普遍的教育价值。理很重要，但这类证明缺乏普遍的教育价值。4.4.重要数学思想方法的运用过程，如几何命题的演绎重要数学思想方法的运用过程，如几何命题的演绎证明，代数方程求解过程，函数概念的发生过程，证明，代数方程求解过程，函数概念的发生过程，就必须反复、重点展示其发生、发展的过程
11、。就必须反复、重点展示其发生、发展的过程。一个可以借鉴的例子一个可以借鉴的例子!“四边形内角和四边形内角和”的教学的教学A A A A班讨论班讨论班讨论班讨论“一题多解一题多解一题多解一题多解”的背后，有的背后，有的背后，有的背后，有什么共同的什么共同的什么共同的什么共同的地方。地方。地方。地方。B B B B班没有这班没有这班没有这班没有这个环节个环节个环节个环节2525天后的测试天后的测试AB CDEA A班班 正确率正确率89%89%B B班班 正确率正确率25%25%结果分析：结果分析：A A班进行了数学本质班进行了数学本质“化归思想化归思想”的显化提炼；的显化提炼；B B班仅停留在班
12、仅停留在“一题多解一题多解”的操作层面和的操作层面和“化归化归”的的渗透阶段。渗透阶段。更深层次的思考更深层次的思考!图图1 图图2 图图3AB CDEAB CDEAB CDE前前25%25%的学生摆脱了对三角形情境的依赖，对化归思想的的学生摆脱了对三角形情境的依赖，对化归思想的灵魂灵魂把未知问题转化成已知问题有了更深的认识（内把未知问题转化成已知问题有了更深的认识（内隐学习）；但隐学习）；但65%65%的学生对当初的学生对当初“化归为三角形的内角和化归为三角形的内角和”有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知水平的提升（外显学习）水平的
13、提升（外显学习）.后后10%10%的情况表明思想方法的的情况表明思想方法的提炼需要知识基础提炼需要知识基础.结论结论:思想方法的提炼思想方法的提炼可以提高中等生的数学能力可以提高中等生的数学能力.关键在关键在于教师要设计于教师要设计“从内隐到外显从内隐到外显”的逻辑通道，提供机会。的逻辑通道，提供机会。目前国内数学教育教学的三种常见模式：目前国内数学教育教学的三种常见模式：（1 1）讲练方式）讲练方式:以教师讲解为主以教师讲解为主,反复举例说明反复举例说明,学生在教师指学生在教师指导下导下,进行习题和考题的操练；进行习题和考题的操练；（2 2）探练方式）探练方式:在教师指导下进行变式训练在教师
14、指导下进行变式训练,以探索数学问题以探索数学问题的解答为主要目标的解答为主要目标,教师点拨教师点拨,学生练习学生练习,题目的探索度不高题目的探索度不高,小小步求变步求变,巩固提高；巩固提高；（3 3）自练方式）自练方式:学生自学练习学生自学练习,教师适当辅导教师适当辅导,以小步走的数学以小步走的数学问题演练为主要活动内容问题演练为主要活动内容,通过模仿和记忆行为通过模仿和记忆行为,获得解决数学获得解决数学常规问题的基本能力常规问题的基本能力.现状及其思考现状及其思考共同特征共同特征：大量机械性练习大量机械性练习,模仿性练习模仿性练习优点：有助与掌握基本运算能力、逻辑演练能力，提高常规优点：有助
15、与掌握基本运算能力、逻辑演练能力，提高常规解题能力；解题能力；弊端：模仿练习不利于求异思维发现，教学缺乏创新精神。弊端：模仿练习不利于求异思维发现，教学缺乏创新精神。三、怎么教？三、怎么教？数学教学的研究成果表明，数学学习是再创造的过数学教学的研究成果表明，数学学习是再创造的过程。数学是程。数学是“做做”出来的，学生通过做题，找到知出来的，学生通过做题，找到知识之间的内部联系，能整体看待数学，并提炼其中识之间的内部联系，能整体看待数学，并提炼其中的数学思想方法，形成数学思维品质，并服务于社的数学思想方法，形成数学思维品质，并服务于社会现实需要。会现实需要。问题问题情境情境建立建立模型模型解释解
16、释应用应用数学教学应遵循学生的认知规律，教学要把知识从数学教学应遵循学生的认知规律，教学要把知识从“学术形态学术形态”转变成转变成“教育形态教育形态”，从而把数学学从而把数学学习从习从“冰冷的美丽冰冷的美丽”转变为转变为“火热的思考火热的思考”。拓展拓展提高提高形式化的演绎形式化的演绎(定理定理)+)+具体例子具体例子(应用应用)=)=学术形态学术形态具体例子（感知）具体例子（感知）+抽象概括抽象概括+拓展应用拓展应用=教育形态教育形态数学教学的若干原则数学教学的若干原则1.1.学习数学化原则学习数学化原则与其说学习数学，倒不与其说学习数学，倒不如说学习数学化（荷如说学习数学化（荷.弗赖登塔尔
17、）弗赖登塔尔）案例：方程是这样来的！案例：方程是这样来的！2.2.适度形式化原则适度形式化原则符号化符号化,逻辑化和公理化逻辑化和公理化案例案例:一次函数的概念如何生成一次函数的概念如何生成?3.3.问题驱动原则问题驱动原则设计一个好的初始问题设计一个好的初始问题案例案例1：合并同类项的教学设计：合并同类项的教学设计案例案例2 2：锐角三角函数的教学片断比较：锐角三角函数的教学片断比较(鸡鸡兔兔同同笼笼问问题题):):笼笼子子里里有有鸡鸡和和兔兔，数数头头有有3535个，数脚有个，数脚有9494只，问鸡和兔各几只？只，问鸡和兔各几只？解法解法1 1：有兔：有兔解法解法2 2：有兔：有兔解解法法
18、3 3：猜猜，鸡鸡2121，兔兔1414，不不对对；鸡鸡2222，兔兔1313，还不对；，还不对；鸡鸡2323，兔，兔1212，对了！，对了！猜鸡猜鸡x x，x x是什么？是什么？x x是鸡！是鸡！兔（兔（35-x35-x）那么怎么办？那么怎么办？鸡脚鸡脚+兔脚兔脚=94=94 2x+4 2x+4（35-x35-x）=94=94 方程方程 x=12x=12列方程解应用题的教学设计列方程解应用题的教学设计合并同类项的设计比较合并同类项的设计比较设计设计1 1：活动方式：活动方式找朋友找朋友基于学生基本活动经验的设计理念基于学生基本活动经验的设计理念设计二：问题驱动设计二：问题驱动基于揭示数学知识
19、发生、发展的设计理念基于揭示数学知识发生、发展的设计理念合并同类项的设计比较合并同类项的设计比较初始问题：初始问题：当当a=1/3,b=-2a=1/3,b=-2时，求代数式时，求代数式-4a-4a2 2b+2ab+2a2 2b-7ab-7a2 2b b的值。的值。提问：能否使解题过程简捷些？提问：能否使解题过程简捷些？再问：当再问：当a=1/3,b=-3a=1/3,b=-3时，本题又等于多少？能否使时，本题又等于多少？能否使上面的解法再简化些？上面的解法再简化些？-4 +2 -7 =-9-4 +2 -7 =-9学生已经发现了学生已经发现了“合并同类型合并同类型”法法则则合并同类项的设计比较合并
20、同类项的设计比较当当a=-1/2a=-1/2时，求代数式时，求代数式3x3x3 3-5x+9x-5x+9x3 3-4x-4x3 3+1+1的值。的值。并围绕下列问题讨论：并围绕下列问题讨论：1.1.怎样得到简捷的解法怎样得到简捷的解法,能使用先合并能使用先合并,再代入的方法吗？再代入的方法吗？2.2.为什么能把为什么能把3 3x3 3,9x3 3,-4x3 3合并合并;为什么不能把为什么不能把x x与与x x3 3合合并处理？并处理？3.3.什么样的项才能合并什么样的项才能合并?4.4.什么叫字母部分完全相同什么叫字母部分完全相同?5.5.为什么要求字母部分完全相同为什么要求字母部分完全相同?
21、锐角三角函数的教学片断比较锐角三角函数的教学片断比较教学片断教学片断1 1：问题：为测量某旅游景点一塔的高度，问题：为测量某旅游景点一塔的高度，可以在于塔基同一水平面上架一测角仪，可以在于塔基同一水平面上架一测角仪，测得测得MN=1.7MN=1.7米米,ND=13.3,ND=13.3米米,BMC=60,BMC=60，能求出塔高吗？，能求出塔高吗？E N DA M CB学生：能，学生：能，RtBMCRtBMC中中,BMC=60,BMC=60,则则MBC=30,MBC=30,因此因此,BC=MC=23.04,BC=MC=23.04米米,故塔高故塔高BD=BC+MN=24.74BD=BC+MN=24
22、.74米米教师：很好。为验证这个结果，测量者向后退到教师：很好。为验证这个结果，测量者向后退到E E点位点位置，再搭好测角仪，这时测得置，再搭好测角仪，这时测得ED=19ED=19米，米，BAC=50,BAC=50,你还能验证上述结果吗？你还能验证上述结果吗？学生沉默学生沉默.一会儿一会儿,教师教师:大家是否感到困难了大家是否感到困难了,通过这堂课通过这堂课学习学习,我们就能解决这个问题了我们就能解决这个问题了.锐角三角函数的设计比较锐角三角函数的设计比较活动活动1:1:作一个作一个3030的的A,A,在角的两边上任取在角的两边上任取一点一点,作作BCAC,BCAC,垂足为垂足为C,C,计算计
23、算BC/AB,AC/AB,BC/ACBC/AB,AC/AB,BC/AC的值的值,并将结果与你的并将结果与你的同伴比较同伴比较.活动活动2:2:作一个作一个5050的的A,A,在角的两边上任取在角的两边上任取一点一点,作作BCAC,BCAC,垂足为垂足为C,C,计算计算BC/AB,AC/AB,BC/ACBC/AB,AC/AB,BC/AC的值的值(结果保留两位有结果保留两位有效数字）效数字）,并将结果与你的同伴比较并将结果与你的同伴比较.A CBA CB一段时间后一段时间后,汇报开始。汇报开始。（活动（活动1 1）学生）学生1 1：我们小组每个学生的结果都相同：我们小组每个学生的结果都相同（活动（
24、活动2 2）学生）学生2 2：我们小组关于：我们小组关于BC/ABBC/AB的结果基本相同，分别的结果基本相同，分别是是0.76,0.77,0.77,0.78.0.76,0.77,0.77,0.78.教师教师:其他组呢其他组呢?学生学生(稀疏的声音稀疏的声音):):相同相同.教师教师:为什么会相同为什么会相同?锐角三角函数的设计比较锐角三角函数的设计比较教师出示图形教师出示图形,如图如图4,B,B14,B,B1分别是分别是上的任上的任意两点意两点,作作BCAC,B1CAC1,BCAC,B1CAC1,垂足分别为垂足分别为C,C1,C,C1,判断判断BC/ABBC/AB与与B1C1/AB1,B1C
25、1/AB1,是否相等是否相等,并并说明理由说明理由.A C C1BB1图4学生：用相似三角形的性质证明学生：用相似三角形的性质证明接着教师板书证明过程，引出三角函数概念接着教师板书证明过程，引出三角函数概念和表示法，讲解注意事项。和表示法，讲解注意事项。最后通过例题归纳互余角的三角函数关系。最后通过例题归纳互余角的三角函数关系。讨论：这样的问题设置能否引发学生思维？这样讨论：这样的问题设置能否引发学生思维？这样的活动（小组合作）开展是否有效果？的活动（小组合作）开展是否有效果？锐角三角函数的设计比较锐角三角函数的设计比较教学片断教学片断2 2：如图：如图5 5，一根，一根3 3米长的竹杆米长的
26、竹杆ABAB斜靠在墙上。现测得竹竿斜靠在墙上。现测得竹竿ABAB与地面所成的与地面所成的角角BAC=30BAC=30，大家能求出竹竿的端点，大家能求出竹竿的端点A,BA,B到墙角到墙角C C的高度的高度(BC)(BC)和水平距离和水平距离(AC)(AC)吗吗?A CB图图5学生学生:RtABCRtABC中中,BAC=30,AB=3,BAC=30,AB=3,因此因此,BC=1/2AB=1.5,BC=1/2AB=1.5米米,AC=BC2.6,AC=BC2.6米米.教师教师:理由理由.学生学生:在在3030的直角三角形中的直角三角形中,三边关系有三边关系有1:2.1:2.教师板书教师板书:BC/AB
27、=1/2,AC/AB=/2,BC/AC=/3.:BC/AB=1/2,AC/AB=/2,BC/AC=/3.教师教师:可见当可见当BAC=30BAC=30时时,直角三角形三边关系是直角三角形三边关系是确定的确定的.大家再看屏幕大家再看屏幕,你们又有什么发现你们又有什么发现?AB学生学生1:1:竹竿越来越陡竹竿越来越陡;学生学生2:BAC2:BAC越来越大越来越大;学生学生3:3:竹竿长度竹竿长度不变不变,AC,AC变得越来越短变得越来越短,BC,BC越来越长越来越长,因此因此,BC/AB,BC/AB变大变大,AC/AB,AC/AB变小变小,BC/AC,BC/AC变大变大.锐角三角函数的设计比较锐角
28、三角函数的设计比较教学片断教学片断2 2：如图：如图5 5，一根，一根3 3米长的竹杆米长的竹杆ABAB斜靠在墙上。现测得竹竿斜靠在墙上。现测得竹竿ABAB与地面所成的与地面所成的角角BAC=30BAC=30，大家能求出竹竿的端点，大家能求出竹竿的端点A,BA,B到墙角到墙角C C的高度的高度(BC)(BC)和水平距离和水平距离(AC)(AC)吗吗?A CB图图5AB板书板书:BAC:BAC越来越大，越来越大，BC/ABBC/AB变大变大,AC/ABAC/AB变小变小,BC/AC,BC/AC变大变大.教师：也就是说，随着教师：也就是说，随着BACBAC的变化，的变化，BC/ABBC/AB，AC
29、/AB,BC/ACAC/AB,BC/AC都在变化都在变化.但是当但是当BACBAC确定确定,比如它比如它等于等于7070时时,直角三角形各边的比值会不会变呢直角三角形各边的比值会不会变呢?要求学生把理由写在讲义上要求学生把理由写在讲义上.锐角三角函数的设计比较锐角三角函数的设计比较教学片断教学片断2 2：如图：如图5 5，一根，一根3 3米长的竹杆米长的竹杆ABAB斜靠在墙上。现测得竹竿斜靠在墙上。现测得竹竿ABAB与地面所成的与地面所成的角角BAC=30BAC=30，大家能求出竹竿的端点，大家能求出竹竿的端点A,BA,B到墙角到墙角C C的高度的高度(BC)(BC)和水平距离和水平距离(AC
30、)(AC)吗吗?A CB图图5AB课件显示大小不一课件显示大小不一,形状各异的包含形状各异的包含7070的直角三角形的直角三角形(如图如图6)(6)(学生讲义上也印有学生讲义上也印有)很快有学生举手。在爆出一声：相似三角形哇！教室里很快有学生举手。在爆出一声：相似三角形哇！教室里有了轻松的欢笑声。有了轻松的欢笑声。7070707070锐角三角函数设计的比较分析锐角三角函数设计的比较分析两节课都是从含两节课都是从含3030的直角三角形开始，但片断的直角三角形开始，但片断1 1的背景材的背景材料稍显复杂，问题又是着眼于三角函数的应用，因此，后续料稍显复杂，问题又是着眼于三角函数的应用，因此，后续问
31、题就远离了学生原有的认知基础。而从问题设置的初衷看，问题就远离了学生原有的认知基础。而从问题设置的初衷看，教师是想造成学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣，但反教师是想造成学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣，但反过来，由于学生对研究的内容一无所知，因此，后面的操作过来，由于学生对研究的内容一无所知，因此，后面的操作就完全流于形式，只是机械的完成任务，学习是被动的，因就完全流于形式，只是机械的完成任务，学习是被动的，因此此,这样的探究因为缺少学生的内在需求一定意义上说是无这样的探究因为缺少学生的内在需求一定意义上说是无效的。片断效的。片断2 2同样从特殊直角三角形引入，但它从学生回答同样从特殊直角
32、三角形引入，但它从学生回答中敏锐地揭示出了研究目标，再通过移动竹竿使学生体验了中敏锐地揭示出了研究目标，再通过移动竹竿使学生体验了目标目标(比值比值)与角度之间的函数变化关系，特殊到一般的思想与角度之间的函数变化关系，特殊到一般的思想昭然若揭昭然若揭,有助于学生深刻的认识三角函数的本质有助于学生深刻的认识三角函数的本质,再通过相再通过相似三角形性质帮助学生明确了角度似三角形性质帮助学生明确了角度(自变量自变量)确定确定,函数值确定函数值确定的道理的道理.这样的设计遵循了学生原有的认知基础与生活经验这样的设计遵循了学生原有的认知基础与生活经验出发出发,问题驱动连贯一致问题驱动连贯一致,因此因此,
33、更合理更合理,也更有效也更有效.数学教学的若干原则数学教学的若干原则4.4.渗透数学思想方法原则渗透数学思想方法原则案例案例1.1.深刻理解教材编写者的意图深刻理解教材编写者的意图案例案例2.2.二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图像教学设计及评析的图像教学设计及评析二次函数二次函数 的图象的图象教学目标：教学目标：（1 1）掌握）掌握 图象的画法和性质，理解图象的画法和性质，理解对图象的影响；对图象的影响；（2 2）通过画图象，培养并提高学生的操作能力，）通过画图象，培养并提高学生的操作能力，渗透基本的数学方法；指导学生观察图象分析渗透基本的数学方法；指导学生观察图象分析特征发展数学直
34、觉能力及归纳抽象能力；特征发展数学直觉能力及归纳抽象能力；（3 3）通过对图象研究，让学生体会数学的对称）通过对图象研究，让学生体会数学的对称美；通过指导学生画图，培养学生认真、严谨美；通过指导学生画图，培养学生认真、严谨的学习态度。的学习态度。教学过程：教学过程：教学过程：教学过程：1 1 1 1绘制绘制绘制绘制 的图象的图象的图象的图象（1 1 1 1）分析）分析）分析）分析x x x x与与与与y y y y的取值范围，为取点做好铺垫；的取值范围，为取点做好铺垫；的取值范围，为取点做好铺垫；的取值范围，为取点做好铺垫；（2 2 2 2）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。）根据解析式的
35、特征，启发学生对称地取点。）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。（3 3 3 3）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初步认识到二次函数步认识到二次函数步认识到二次函数步认识到二次函数 的图象是平滑的曲的图象是平滑的曲的图象是平滑的曲的图象是平滑
36、的曲线，而不是折线。线，而不是折线。线，而不是折线。线，而不是折线。2 2 2 2探究探究探究探究 a a a a 对图象对图象对图象对图象 的影响的影响的影响的影响（1 1 1 1）观察的图象，归纳）观察的图象，归纳）观察的图象，归纳）观察的图象，归纳a a a a0 0 0 0时图象的形状；时图象的形状；时图象的形状；时图象的形状；二次函数二次函数 的图象的图象（2 2）启发学生根据对称的思想，分别由上述）启发学生根据对称的思想，分别由上述图象得到图象得到 的图象，进的图象，进一步归纳一步归纳 时图象的形状。时图象的形状。（3 3）综合上述两种情况，归纳）综合上述两种情况，归纳 探究探究a
37、 a对图象的影响；对图象的影响；3 3小结小结（1 1）二次函数）二次函数 图象是关于图象是关于y y轴轴对称的抛物线，顶点坐标是（对称的抛物线，顶点坐标是（0 0，0 0）；）；（2 2）a a对图象的影响：开口方向对图象的影响：开口方向,开口大小开口大小,越大越大,开口越小开口越小.二次函数二次函数 的图象的图象 设设计计意意图图 对对于于画画图图象象的的“列列表表”这这一一步步骤骤，通通常常的的做做法法是是这这样样做做很很省省事事，但但却却错错失失了了发发展展学学生生逻逻辑辑思思维维能能力力的的契契机机。对对于于学学生生来来说说,第第一一次次画画一一个个新新函函数数的的图图象象是是一一个
38、个试试探探、摸摸索索的的过过程程,这这个个过过程程不不应应该该是是盲盲目目的的,而而应应该该有有一一定定的的理理性性分分析析.这这个个分分析析必必须须从从解解析析式式入入手手,要要剖剖析析解解析析式式 的的特特征征.本本节节课课关关于于对对称称取取点点的的设设计计,就就是是基基于于这这样样的的思思考考.函函数数的的性性质质、图图象象既既然然是是由由解解析析式式决决定定的的，那那么么在在图图象象教教学学中中就就应应该该抓抓住住解解析析式式这这个个“灵灵魂魂”。因因此此这这里里改改“包包办办代代替替”为为“适适当当点点拨拨”，使使学学生生体体会会如如何何根根据据解析式的特征有规律地取点。解析式的特
39、征有规律地取点。二次函数二次函数 的图象设计的图象设计 评评析析 画画图图象象不不仅仅仅仅是是一一个个操操作作层层面面的的问问题题，在在画画图图象象的的过过程程中中充充满满了了分分析析和和思思考考。教教师师充充分分利利用用画画图图象象这这个个平平台台，既既重重视视对对学学生生操操作作能能力力的的培培养养，更更着着力力培培养养学学生生的的思思维维能能力力，这这正正是是每每个个教教师师应应该该追追求求的的目目标标。数数学学教教师师应应该该有有一一种种对对素素材材的的教教育育价价值值的的敏敏感感，“画画图图象象”这这个个素素材材，可可深深入入研研究究的的东东西西很很多多，对对于于素素材材教教育育价价
40、值值敏敏感感程程度度好好的的教教师师，常常常常就就能能抓抓住住那那些些最最基基本本、最最简简单单、最最“不不起起眼眼”的的东东西西，深深入入研究其潜在的教育功能的。研究其潜在的教育功能的。（教育价值是教学设计的灵魂（教育价值是教学设计的灵魂裴光亚）裴光亚）二次函数二次函数 的图象的图象数学教育的若干原则数学教育的若干原则问题问题情境情境建立建立模型模型解释解释应用应用拓展拓展提高提高问题驱动问题驱动适当形式化适当形式化学习数学化学习数学化变式强化变式强化案例案例1 1：分式（第：分式（第1 1课时）教学设计课时）教学设计案例案例2 2：同底数幂的除法教学简录：同底数幂的除法教学简录适时渗透数学
41、思想方法适时渗透数学思想方法再谈谈教师的语言智慧再谈谈教师的语言智慧启发的三大原则（美启发的三大原则（美.波利亚）波利亚）1.1.简单谨慎原则简单谨慎原则:问句要简明问句要简明,帮助要谨慎帮助要谨慎,只只指示一个大致的方向指示一个大致的方向;2.2.普遍有用原则普遍有用原则:问句与提示的一般有用性；问句与提示的一般有用性；3.3.强化原则强化原则:相似情境下总是一再启问相同的相似情境下总是一再启问相同的问句问句.案例案例:一则教学片断及其分析一则教学片断及其分析让数学学习变得有趣些！让数学学习变得有趣些！学会学会兴趣兴趣学会学会兴趣兴趣奥苏贝尔：奥苏贝尔：“如果我不得不将所有的教育心理学原理如
42、果我不得不将所有的教育心理学原理还原成一句话，我将会说，影响学生最重要因素是学还原成一句话，我将会说，影响学生最重要因素是学生知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。生知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。”在数学中玩游戏；让数学背景成为故事；让数学在数学中玩游戏；让数学背景成为故事；让数学成为过程；让数学更加直观；让数学展现魅力成为过程；让数学更加直观；让数学展现魅力一般而言，一般而言，激发兴趣，激发兴趣，靠应用价值，靠历史的起靠应用价值，靠历史的起源，靠游戏；源，靠游戏；发展兴趣，发展兴趣，靠智性，靠不断产生的靠智性，靠不断产生的适合学生最近发展区的问题；适合学生最近发展区的问题
43、；保持兴趣，保持兴趣，靠成功靠成功与失败的交错作用，靠问题的挑战，靠你对数学与失败的交错作用，靠问题的挑战，靠你对数学的体验，靠数学本身的魅力。的体验，靠数学本身的魅力。应试环境中的自由意志应试环境中的自由意志当前，我们处在当前，我们处在“应试教育应试教育”的环境下，考的环境下，考试制度改革步履维艰。于是教育功利盛行，升学试制度改革步履维艰。于是教育功利盛行，升学率关联到你的收入，直接影响家庭日常生活。这率关联到你的收入，直接影响家庭日常生活。这样的环境我们无法选择。因此，我们只能思考另样的环境我们无法选择。因此，我们只能思考另一面，如何在自己的一亩三分田作出一些改变。一面，如何在自己的一亩三分田作出一些改变。你可以是应试教育的狂热追随者，也可以是它的你可以是应试教育的狂热追随者，也可以是它的被动执行者，当然也可以成为不出声的批评者。被动执行者，当然也可以成为不出声的批评者。让我们尽最大的努力，把应试教育的负面影响降让我们尽最大的努力，把应试教育的负面影响降到最低。人生能够获得的，也许就是这样的自由。到最低。人生能够获得的，也许就是这样的自由。张奠宙，赵小平张奠宙，赵小平.编后漫笔编后漫笔.数学教学，数学教学，0808（1212）谢谢各位同仁谢谢各位同仁,欢迎批评指正欢迎批评指正!