《2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、等边三角形的判定等边三角形的判定【经典例题经典例题1 1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）(1)求此抛物线的解析式(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得 PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断 RSF的形状【解析】(1)抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称；E是AB的中点，O是
2、矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)A(2，1)、D(2，1)；由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=1，a=14抛物线的解析式为：y=12x.41(2)证明：由抛物线的解析式知：P(a，a2)，而R(a，1)、F(0，1)，4111则：PF=(a0)2(a21)2，PR=1(a2)=a2+1.444PF=PR.由得：RF=a24；若 PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：111a24=a2+1，即：a4a23=0，得：4162a2=4(舍去)，a2=12；a=23，12a=3；4存在符合条件的P点，坐标为(23，3)、(23，3).同可证得：QF=Q
3、S；在等腰 SQF中，1=1(180SQF)；21同理，在等腰 RPF中，2=(180RPF)；2QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2=1(360SQFRPF)=902SFR=18012=90，即 SFR是直角三角形。练习练习1-11-1如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足(1)求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；(2)请直接写出使y0的对应的x的取值范围；(3)对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2
4、和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；(4)试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)二次函数y=ax2+bx1(a0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，1a 4a2b1 012，解得，二次函数的解析式为y=x 1；4416a4b13b 0(2)令y=12x 1=0，4解得x=2或x=2，由图象可知当2x2时y90，只能CM=MQ设直线BC的解析式为：y=kx+b（k0），2k b 0k 2把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，b 4b 4直线BC的解析式为：y=-2x+4，设M（m，-2
5、m+4），则MQ=-2m+4，OQ=m，BQ=2-m，在Rt OBC中，BC=OB2OC22242 2 5，MQOC，BMQBCO，BM/BC=BQ/BO，即BM2m，BM=5（2-m）=25-5m，22 5CM=BC-BM=25-（25-5m）=5m，4=45-85 2CM=MQ，-2m+4=5m，m=Q（45-8，0）当QMB=90时，如图3：同理可设M（m，-2m+4），过A作AEBC，垂足为E，则AE的解析式为：y=11x+，22则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（-x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，1.23，2m42 x由勾股定理得：x2+42=2m2+（-
6、2m+4-4）2，4由以上两式得：m1=4（舍），m2=，344当m=时，x=，33Q（-4，0）34，0）3综上所述，Q点坐标为（45-8，0）或（-【经典例题【经典例题4 4两个动点】两个动点】1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0，3)、B(1，0)，其对称轴为直线l:x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(3)如图，F是抛物线的对称轴对称轴l l 上的一点，在抛物线上是否存在点P使 POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；
7、若不存在，请说明理由。【解析】（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（3）分四种情况：当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得 OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5555（舍）或，22P的坐标为（5515，）；22当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，3535（舍）或m2=，22同理得：2-m=
8、m2-4m+3，解得：m1=P的坐标为（3515，）；22当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，3535或（舍）；22则-m2+4m-3=m-2，解得：x=P的坐标为（3515，）；22当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，5555或（舍）22同理得m2-4m+3=m-2，解得：m=P的坐标为：（555 1，）；22综上所述，点P的坐标是：（5515555 135，）或（，）或（，22222153515）或（，）2221x3交于 A、B 两点，其中点 A 在2y 轴上，点 B 坐标为（4，5），点 P 为 y 轴左侧的
9、抛物线上一动点，过点 P练习练习 1 1 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线y 作 PCx 轴于点 C，交 AB 于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PMAB，垂足为 M，连接 PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标【解析】(1)直线y=A(0，3)，B(4，5)，1x3交于A.B两点，其中点A在y轴上，2916a4bc 5b，2，c 3c 39抛物线解析式为y=x2+x3，2(2)存在，91设P(m，m2+m3)
10、，(m0)，D(m，m3)，22PD=|m2+4m|PDAO，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，|m2+4m|=3，当m2+4m=3时，79m1=27，m2=2+7(舍)，m2+m3=1，227)，2P(27，1当m2+4m=3时，m1=1，m2=3，、m1=1，913m2+m3=，22P(1，13)，2915、m2=3，m2+m3=，22P(3，15)，271315)，(1，)，(3，).222点P的坐标为(27，1(3)方法一，如图，PAM为等腰直角三角形，BAP=45，直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45所得，设直线AP解析式为y=kx3，直线AB解析
11、式为y=1x3，2112k=3，直线AP解析式为y=3x3，12y 3x33联立，x=0(舍)x=12922y x x32当x=13151315时，y=，P(，).2222方法二：如图，直线AB解析式为y=1x3，2直线AB与x轴的交点坐标为E(6，0)，过点A作AFAB交x轴于点F，A(0，3)，直线AF解析式为y=2x3，直线AF与x轴的交点为F(AE=35，AF=35，23，0)，2过点A作EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PMAB，EAG=45，BAP=45，即：PAM为等腰直角三角形。设点G(m，0)，EG=6m.FG=m+3，2根据角平分线定理得，AE/AF
12、=EG/FG，3 56m，m=1，335m22G(1，0)，直线AG解析式为y=3x3，9抛物线解析式为y=x2+x3，2联立得，x=0(舍)或x=y=3，215315，P(，).222练习练习 3 3 如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A（4，0），B（1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H（1）求抛物线的表达式；（2）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN 的面积【解析】16a4b 0a 1(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线
13、y=ax2+bx得，解得，ab 3b 4抛物线表达式为：y=x2+4x；(3)抛物线的对称性为直线x=2，而点C.B关于抛物线的对称轴对称，C(3，3)，以点C.M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，CMN=90，易证得CBMMHN，BC=MH=2，BM=HN=32=1，MC=22125，15S CMN=55=；22以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点M作DEy轴，作NEDE于E，CDDE于D，作辅助线，易得Rt NEMRt MDC，MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，CM=225229，129S
14、 CMN=2929=；22以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，MNC=90，易得Rt NEMRt CDN，EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，CN=325234，1S CMN=3434=17；2以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，易得Rt NEMRt CDN，EM=DN=BH=3，NE=CD=BDBC=EMBC=1，CN=3212 10，1S CMN=1010=5；2以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；529综上所述：CMN的面积为：或或17或5.22练习练习4 4如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B
15、两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当 ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与 AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【解析】解：（1）点A的坐标为（1，0），OA=1，OC=3OA，
16、点C的坐标为（0，3），a2ac 0将A、C坐标代入y=ax22ax+c，得：c 3a 1解得：，c 3抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BD=m，ABG为等边三角形，GD=3BD=3m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，3m），将点B、G的坐标代入y=（x1）2+4k，得：2m 4k 0，4k 3mm 3m1 0解得：（舍），2，k1 4k21k=1；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），PQ=
17、OA=1，AOQ、PQN均为钝角，AOQPQN，如图2，延长PQ交直线y=1于点H，则QHN=OMQ=90，又AOQPQN，OQ=QN，AOQ=PQN，MOQ=HQN，OQMQNH（AAS），OM=QH，即x=x2+2x+2+1，1 13（负值舍去），2解得：x=当x=1 1313 11 13时，HN=QM=x2+2x+2=，点M（，0），222点N坐标为（1 1313 1+，1），即（13，1）；22或（1 1313 1-，1），即（1，1）；22如图3，同理可得OQMPNH，OM=PH，即x=（x2+2x+2）1，解得：x=1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=（x2+2x+2）=6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，综上点M1（1 132，0）、N1（13，1）；M2（1 132，0）、N2（1，M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）1）；1）；