《2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题6.2二次函数综合之线段之差最大.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题6.2二次函数综合之线段之差最大.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、几何最值问题线段之差最大几何最值问题线段之差最大最大值模型最大值模型如图，A、B 两点在直线 l 同侧，在直线 l 上求作点 P，使PA-PB最大.方法：连接 BA 并延长，与直线 l 的交点为点 P.如图，A、B 两点在直线 l 异侧，在直线 l 上求作一点 P，使PA-PB最大.方法：作点方法：作点 A A 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 A，连接，连接 B BA，与直线，与直线 l 的交点为点的交点为点 P.P.造桥选址模型造桥选址模型已知 l1l2，l1，l2之间的距离为 d，在 l1，l2在上分别找 M、N 两点，使得 MNl1，且 AM+MN+NB 最小.方法1：将点A向下
2、平移 d个单位长度得到A，连接AB与直线l2的交点为点N，过点 N 作 l1的垂线，与直线 l1的交点为点 M.A、D 为定点，B、C 为直线 l1，l2上的动点，BCl1，使得 AB+BC+CD 最小.方法 2：BC 为定值，只需求ABCD 最小即可，平移CD 至 BE，则变成求ABBE 最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.类型四：线段之差最大类型四：线段之差最大动点产生的线段和差最值问题动点产生的线段和差最值问题求线段和差问题通常作对称点，利用三角形两边之和大于第三边求出线段之和的最小值，利用两边之差小于第三边求出差的最大值.PAPB PA PB ABPAPB PAPB AB当且仅当P,
3、A,B三点共线时等号成立.【经典例题经典例题 4 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(1，0，)、B(3，0)两点与 y 轴交于点 C(0，3)，点 D 为抛物线的顶点。(1)求抛物线的解析式；(2)设点 P 的坐标为(a，0)，当|PDPC|最大时，求 a 的值；【解析】(1)设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x3)，把 C(0，3)代入得 a1(3)=3，解得 a=1，所以抛物线解析式为 y=(x+1)(x3)，即 y=x2+2x+3；(2)y=x2+2x+3=(x1)2+4，则 D(1，4)，设直线 CD 的解析式为 y=mx+n，把 C(0，3)，D(1，4)
4、代入得 n=3；m+n=4，解得 m=1；n=3，所以直线 CD 的解析式为 y=x+3，当 y=0 时，x+3=0，解得 x=3，则直线 CD 与 x 轴的交点坐标为(3，0)，因为|PDPC|CD(当且仅当点 P、C.D 共线时，取等号)，此时 P 点为直线 CD与 x 轴的交点，所以 a=3；练习练习 4 4-1.1.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a0）经过ABC 的三个顶点，已知BCx轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由练习
5、练习 4 4-2.2.已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值练习练习 4 4-3 3 如图，抛物线 l 交 x 轴于点 A(3，0)、B(1，0)，交 y 轴于点 C(0，3).将抛物线 l
6、 沿 y 轴翻折得抛物线 l1.(1)求 l1的解析式；(2)在 l1的对称轴上找出点 P，使点 P 到点 A 的对称点 A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于 x 轴的一条直线交抛物线 l1于 E.F 两点，若以 EF 为直径的圆恰与 x 轴相切，求此圆的半径。练习练习 4 4-4 4 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B.D 三点的坐标分别是 A(1，0)，B(l，2)，D(3，0).连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON.若抛物线 y=ax2+b
7、x+c 经过点 D.M、N.(1)求抛物线的解析式。(2)抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。(3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 点Q在 什 么 位 置 时 有|QE QC|最 大?并 求 出 最 大 值。1练习练习 4 4-5 5 如图，抛物线 y=x2 x+2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B.4(1)求点 A.点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PA PBAB；(3)当 PA PB 最大时，求点 P 的坐标。练习练习 4 4-6 6 如图，已知直线 y=y=
8、1x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线212x+bx+c 与直线交于 A.E 两点，与 x 轴交于 B.C 两点，且 B 点坐标为(1，20).(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM MC|的值最大，求出点 M 的坐标；(3)动点 P 在 x 轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标。参考答案类型四：线段之差最大类型四：线段之差最大练习练习 4 4-1.1.【解析】（1）令 x=0，则 y=4，点 C 的坐标为（0，4），BCx 轴，点 B，C 关于对称轴对称，又抛物线 y=ax2-5ax+4 的对称轴是直线x 点 B 的坐标为（
9、5，4），AC=BC=5，在 RtACO 中，OA=AC2OC23，点 A 的坐标为 A（-3，0），抛物线 y=ax2-5ax+4 经过点 A，19a+15a+4=0，解得a ，615抛物线的解析式是 y=x2x466522（2）存在，M（，）235a55，即直线x 2a22理由：B，C 关于对称轴对称，MB=MC，MAMB MAMC AC；当点 M 在直线 AC 上时，MAMB值最大，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，4k 3k b 0则，解得3，b 4b 44x43522522令x，则y，M（，）2323y=练习练习 4 4-2.2.【解析】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+b
10、x+c，A(1，0)、B(0，3)、C(4，0)，abc 039c 3，解得：a=，b=，c=3，4416a4bc 0经过 A.B.C 三点的抛物线的解析式为 y=329x x+3；44(2)在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A.B.C.P 为顶点的四边形为菱形，理由为：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，BP=AC=5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB，点 P 的坐标为(5，3)，当点 P 在第二、三象限时，以点 A.B.C.P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点 P 的坐标为(5，3)时
11、，以点 A.B.C.P 为顶点的四边形为菱形；(3)设直线 PA的解析式为 y=kx+b(k0)，A(1，0)，P(5，3)，5k b 3，k b 0解得：k=33，b=，4433直线 PA的解析式为 y=x，44当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA与抛物线的交点，33y xx 5x11244解方程组，得或9，39y 0y2 1y x2x3244点 M 的坐标为(1，0)或(5，大值为 5.9)时，|PMAM
12、|的值最大，此时|PMAM|的最2练习练习 4 4-3 3【解析】(1)如图 1 所示，设经翻折后，点 A.B 的对应点分别为 A1、B1依题意，由翻折变换的性质可知 A1(3，0)，B1(1，0)，C 点坐标不变，因此，抛物线 l1经过 A1(3，0)，B1(1，0)，C(0，3)三点，设抛物线 l1的解析式为 y=ax2+bx+c，则有：9a+3b+c=0；a b+c=0；c=3，解得 a=1，b=2，c=3，故抛物线 l1的解析式为：y=x2 2x 3.b(2)抛物线 l1的对称轴为：x=1，2a如图 2 所示，连接 B1C 并延长，与对称轴 x=1 交于点 P，则点 P 即为所求。此时
13、，|PA1 PC|=|PB1 PC|=B1C.设 P为对称轴 x=1 上不同于点 P 的任意一点，则有：|PA1 PC|=|PB1 PC|B1C(三角形两边之差小于第三边)，故|PB1 PC|PA1 PC|，即|PA1 PC|最大。设直线 B1C 的解析式为 y=kx+b，则有：k+b=0；b=3，解得 k=b=3，故直线 B1C 的解析式为：y=3x 3.令 x=1，得 y=6，故 P(1，6).练习练习 4 4-4 4【解析】(1)BCAD，B(1，2)，M 是 BC 与 y 轴的交点，M(0，2)，DMON，D(3，0)，N(3，2)，则 9a+3b+c=0；c=2；9a 3b+c=2，
14、11解得 a=；b=；c=2，9311y=x2x+2；93(2)连接 AC 交 y 轴于 G，M 是 BC 的中点，AO=BM=MC，AB=BC=2，AG=GC，即 G(0，1)，ABC=90，BGAC，即 BG 是 AC 的垂直平分线，要使 PA=PC，即点 P 在 AC 的垂直平分线上，故 P 在直线 BG 上，点 P 为直线 BG 与抛物线的交点，设直线 BG 的解析式为 y=kx+b，则 k+b=2；b=1，解得 k=1；b=1，y=x+1，11y=x+1；y=x2x+2，93x1 33 2x1 33 2解得，y1 23 2y1 23 2点 P(33 2，23 2)或 P(33 2，2
15、3 2)，11139(3)y=x2x+2=(x+)2+，939243对称轴 x=，211令 x2x+2=0，93解得 x1=3，x2=6，E(6，0)，3故 E.D 关于直线 x=对称，2QE=QD，|QE QC|=|QD QC|，3要使|QE QC|最大，则延长 DC 与 x=相交于点 Q，即点 Q 为直线 DC 与直线23x=的交点，由于 M 为 BC 的中点，2C(1，2)，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则 3k+b=0；k+b=2，解得 k=1；b=3，y=x+3，339当 x=时，y=+3=，22239故当 Q 在(，)的位置时，|QE QC|最大，22过点 C 作 CFx
16、 轴，垂足为 F，则 CD=CF2DF22222 2 2.1练习练习 4 4-5 5【解析】(1)抛物线 y=x2 x+2 与 y 轴的交于点 B，4令 x=0 得 y=2.B(0，2)11y=x2 x+2=(x+2)2+344A(2，3)(2)证明：当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时，PA PB=AB.当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时，在点 P、A、B 构成的三角形中，PA PBAB.综合上述：PA PBAB(3)作直线 AB 交 x 轴于点 P，由(2)可知：当 PA PB 最大时，点 P 是所求的点作 AHOP 于 H.BOOP，BOPAHPAHB
17、O=HPOP由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2，OP=4，故 P(4，0).练习练习 4 4-6 6【解析】(1)将 A(0，1)、B(1，0)坐标代入 y=x2+bx+c得 c=1；1+b+c=0，23解得：b=；c=1.2物线的解折式为 y=x2 x+1；33(2)抛物线的对称轴为 x=，B、C 关于 x=对称，22MC=MB，要使|AM MC|最大，即是使|AM MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A.B.M在同一直线上时|AM MB|的值最大。知直线 AB 的解析式为 y=x+1y=x+1；x=解得：x=3，231；y=.2231则 M(，).22(3)设点 E 的横坐
18、标为 m，则它的纵坐标为 m2 m+1，即 E 点的坐标(m，m2 m+1)，(7 分)又点 E 在直线 y=x+1 上，m2 m+1=m+1解得 m1=0(舍去)，m2=4，E 的坐标为(4，3).()当 A 为直角顶点时，过 A 作 AP1DE 交 x 轴于 P1点，设 P1(a，0)易知 D 点坐标为(2，0)，由 RtAODRtP1OA 得DO/OA=OA/OP 即 2/1=1/a，11a=，a=(舍去)，221P1(，0).2()同理，当 E 为直角顶点时，过 E 作 EP2DE 交 x 轴于 P2点，由 RtAODRtP2ED 得，DO/OA=DE/EP2即：2/1=35/EP2，3 523 5 515=22EP2=DP2=a=15112=，2211，0).2P2点坐标为()当 P 为直角顶点时，过 E 作 EFx轴于 F，设 P3(b、0)，由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE，由 AO/PF=OP/EF 得：解得 b1=3，b2=1，此时的点 P3的坐标为(1，0)或(3，0)，综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(，0)或(1，0)或(3，0)或(11，0).21b，4b3