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1、第第一一章章函函数数、极极限限和和连连续续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数一、函数1,12例 1（1）求函数fx lnx2的定义域.（2）求函数fx1 x2x 13x2,例 2 设函数gx x2，f gx lnx2，则f1 .例 3 已知fx ln1 x，f x x，求x.例 4 若x 22 x 3的定义域.1xx1，则x .x例 5 已知fx的定义域为全体实数，fx1 xx1，则fx1 .例 6 判断函数fx lg xx21的奇偶性.二、极限二、极限例 1 求下列各题的极限x211x33x22x21limlim（1）lim.（2）.（3）.（4）xlim2x0 x2x1x1sin2
2、x2x 1x2 x6例 2 设当x 0，1ax21与sin x是等价无穷小，则a .2x22x x2 x.例 3 当x 0时，下列变量与x为等价无穷小量的是（）.A.sin2x B.1cosx C.1 x 1 x D.xsinx例 4 求下列各题的极限（1）limtan2xtan xsin x.（2）lim.3x0sin5xx0sin x112x例 5 求下列各题的极限1（1）limx01 x x2.（2）limxxx1x3x2 x1.（3）limxx1x2x42 xa.（4）lim（其中a为常数）.xx2ax*例 5 求下列各题的极限（1）lim a b c 11tan x 1sin x.（
3、2）.（3）.lim coslim2xx0 x0 x3x 1sin x xxx例 6 求下列各题的极限x2cosxsin x（1）lim.（2）lim3.xx x1xx111.例 7 求lim.222nn 2n n n 1例 8 在下列函数中，当x 0时，函数fx极限存在的是（）.x1,A.fx0,x1,x,x 0 B.fx x1,x 0 x 0 12 x,x 0 C.fx0,1x 0 x,2x 0 x 0D.fx ex 01x2n a0 xna1xn1.an1xan 1例 9（1）lim22.2.（2）lim.mm1nnxnnb0 x b1x.bm1xbm（3）lim 2 sinnnx1co
4、s2x.（4）.limnx02xsin2xx2kx3x2axb 4，求常数k的值.（6）已知lim2 2，求常数a,b的值.（5）已知limx3x2x x2x3三、函数的连续性三、函数的连续性1xsin x,例 1 设函数fxk,1xsin1,xx2,2例 2 设函数fxx a,bx,x 0 x 0在其定义域内连续，求常数k的值.x 0 x 00 x 1在,上连续，求常数a,b的值.x 1x 00 x 1，讨论fx的间断点及其类型.1 x 2x21,例 3 设函数fxx,2 x,例 4 求下列函数的间断点并说明间断点类型1 x 1 x2x21（1）fx2.（2）fx.2xx 3x2例 5 证明
5、方程4x 2在0,内至少有一个实根.x例 6 设fxe 2，求证fx在0,2内至少有一个点x0，使e02 x0.xx12第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、导数与微分一、导数与微分例 1 设y fx在x0处可导，则limh0fx02h fx0 ;hx0limfx0 x fx0 x .x例 2 求下列函数的导数（1）y 1ln x.（2）y arctan e.（3）y sin 2xsec2（5）y f x x，其中fu及x均可导.2x32e.（4）y 2x21lnxx.、fxan和 fxa f ln x（6）已知fu可导，求（7）设y f n.x12，f x arctanx，求yx0.
6、x11sin2x（8）设fx为二阶可导函数，且ftan x，求f x.cos2xx 0 x,例 3 函数fx在x 0处是否连续，是否可导，为什么？ln 1 x,x 0cosx,x 2例 4 设函数fxx,x 22（1）fx在x 2处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,0处的切线、法线方程.2x2,x 1例 5 设函数fx在x 1处可导，求常数a,b的值.axb,x 1例 6 设曲线y x x2上存在切线与直线y 4x1平行，求切点.例 7 设函数y fx由方程sin x y xy确定，求23dy.dxdydx.x0例 8 设函数y fx由方程x y 3xy 1确定，求33例 9 设函数y x1
7、 x23x2x2x22，求y.例 10 设函数y sin x，求y.例 11（1）设y(n2)xcosx，求y(n).（2）设y ln1 x，求y(n).tdyx e costt 例 12 已知，求当时的值.t3dxy e sintdyd2yx arctant*例 12 已知参数方程，求和2.2dxdxy 1ln1t练习题练习题1.已知函数y fx在x a处可导，求lim2.求下列函数的一阶导数xln xxsin x2（1）y ln arcsinx ln2.（2）y.（3）y 2lnx.（4）y arctanx 1.21 tan xx 13x0fa3x fa.x3.用对数求导法求下列函数的一阶
8、导数（1）y 1 x2arcsinxx.（2）y.21 xx4.求下列隐函数的一阶导数y（1）y 1 xe.（2）eyxycosxy 0.5.求下列函数的二阶导数y（1）y ln x 1 x6.求下列函数的微分2ex.（2）y.x1 x22y arcsin 1 x,x 0.（1）y arctan.（2）21 x7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程3atx x sint1t2（1），在t 处.（2），在t 2处.24y cos2t3aty 1t2二、导数的应用二、导数的应用例 1 不用求函数fxx1x2x3x4的导数，问方程f x0至少有几个实根，并指出其所在范围.例 2
9、函数fx1x在1,1上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.32例 3 设函数y fx在a,b上连续，在a,b内可导，且在任一点处的导数都不为零，又fa fb 0，试证：方程fx 0在开区间a,b内有且仅有一个实根.例 4 利用洛必达法则求下列极限ex1 xxmam1 x2limlim（1）lim.（2）.（3）.（4）lim x ln x.x1x1x0sin2xxaxnanx0ln x例 5 求下列函数极限（1）lim12xx01xx2x.（2）limx0sinx.（3）lim x 2.2xx 121exsin xsin x1 4x（4）limxe 1.（5）lim x1cos2.（6）lim.x
10、0 xxx1cosx例 6 证明不等式xx（2）ln1 x x,x 0.（用单调性或拉格朗）arctan x x,x 0.1 x1 x2abaab*（3）nbn1ab anbn nan1ab,(a b 0,n 1).*（4）ln,(a b 0)abb（1）例 7 证明不等式e 1 x,x1,0.x例 8 证明下列不等式（1）ln x 2x11,x 1.（2）当0 x 时，sin xtan x 2x.（3）当x 1时，2 x 3.x12x2x2例 9 求函数fx x e例 10 求函数y 的单调区间和极值.x的凹凸区间和拐点.1 x24例 11 求函数y x 2x10的驻点、拐点、凹凸区间、极值
11、点、极值.例 12 求函数y x1x的凹凸性和拐点.32例 13 求函数y 3x22x在0,3上的最值.2例 14 求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线（1）y xx.（2）y 1.2x1 xe练习题练习题1.不求出fxx1x4x7的导数，问方程f x0至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程ex1 x2 0仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）fx 2x x.（2）fx x e242x2.4.当a为何值时，点1,3是曲线y ax 392x的拐点.25.（1）求曲线fx3x520 x37x5的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y 6.证明下列不等式（1）当x 1时，e ex.（2）1x3x
12、的拐点.12x cosx2x 0.7.设fx在a,可导，且x a时f x k 0，其中k是常数.证明：若fa 0，则方程fx 0在a,afa上有且仅有一根.k第三章第三章 不定积分与定积分不定积分与定积分一、不定积分一、不定积分例 1（1）已知1x1xfxedx eC，求fx.（2）已知xfxdx arcsinxC，求1dx.fx二、积分法二、积分法（一）直接积分法（公式法）（一）直接积分法（公式法）例 1 求下列不定积分（1）1 x32xxdx.（2）x 1x3x 1 dx.（3）1dx.22x1 x2x3xx4dx.（6）dx.（4）3 e dx.（5）x261 xx例 2 求下列不定积分
13、（1）sin2xcos2x1.（3）dx.（2）2dxdx.（4）tan2xdx.22sin xcos x1cos2x（二）换元积分法（二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法）例 1 求下列不定积分（1）xex2dx.（2）arctanx1 x22dx.（3）sin3xcos2xdx.（4）exsinexdx.*（5）exdx.（5）arctanx11dx.（6）2dx.（7）xdx.（8）dx.xx 4x5eex1 xx1 x13例 2 求下列不定积分（1）sin xcos xdx.（2）2.第二类换元法例 122111dxdx.（3）.（4）cos4xsin xcosxdx.1x2x2a
14、 x22dxa 0.例 21 x2dx.例 3x24dx.x例 4（1）111x1dxdxdx.（2）.（3）.（4）1exex1dx.1 1 x33x1（三）分部积分法（三）分部积分法例 1（1）x2cosxdx.（2）x2exdx.（3）x2ln xdx.（4）arctan xdx.（5）exsin xdx.（6）sinln xdx.*例 1sec3xdx.例 2 已知fx的一个原函数是ex2，求I xf xdx.（四）一些简单的有理函数的积分（四）一些简单的有理函数的积分例 1（1）1111.（2）.（3）.（4）dxdxdxx2a2x22x3x26x10 xx21dx.练习题练习题1.
15、计算下列不定积分1e2x1 xx2dx（1）3 4 tan x.（2）.（3）tan xsec3xdx.dxx31ex（4）12x x2dx.（5）111dx.（6）.（7）dxdx222x 5x6x x12x 4xln xnln xndx.（8）arcsinxdx.（9）x2nx4dx.（10）xx三、定积分三、定积分（一）牛顿（一）牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式（二）变上限积分（二）变上限积分（三）定积分的计算（三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限）例 1 计算ln20e 1dx.例 2 计算x120 x21 x2dx2.定积分的分部积分法例 1 计算120arcsinxd
16、x.例 2 计算下列定积分（1）10 xarctan xdx.（2）221x ln xdx.（3）xcosxdx.（4）sinln xdx.0e21例 3 计算定积分40sinxdx.（四）定积分的综合题【热点】（四）定积分的综合题【热点】例 1 求下列各题的导数（1）x*例 1 已知0 xte dt.（2）x21tdt.tx3x2x11 t fdt exe2，求fxdx.021例 2 求下列各题的极限（1）limx0 x20arctantdtx3.（2）limx0sinx0tanxtdttdt.（3）limxx0t e2t2x2dtx.（此题 HB 补充）0例 3 用积分变换证明等式111x
17、dx（1）证明11 x2dxx1 x21x 0.xfsin xdx（2）设fx为连续函数，证明例 4 设fxx020fsin xdx.10t24t 5dt,x0,1，求fx的最大值和最小值.2xcost例 5 设fxdt，求fxdx.002t（五）定积分的性质【热点】（五）定积分的性质【热点】参见习题 5-1（2012 年最后一题考查了性质 6，性质 7 历年未考查过）练习题练习题1.设fnx40tannxdx，nN，证明f3 f5201.42.xtftdt 1cosx，证明0fxdx 1.3.设fxx1lntdt，证明fx1t 1 1fln2x.x24.设fx为连续函数，且fx 0，xa,b
18、，Fxxaftdt xb1dt，xa,b，证明方程ftFx 0在区间a,b上有且仅有一个实根.5.设x 3xt0 x21dt，求x的极值.dxtfx2t2dt.*5 设fx连续，求dx0四、定积分的应用四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积（一）利用定积分求面积和体积例 1 求由曲线y 1，x 2与y 3所围成平面图形的面积.x例 2 求抛物线y2 2px2p 0与直线y x3p所围成的图形的面积.2例 3 求抛物线y x 4x3及其点0,3和点3,0处的切线所围成的平面图形的面积.例 4 求曲线y x，x 2与直线y 0所围成的平面图形绕x轴旋转后生成旋转体的体积.例 5 试求抛物线y
19、 x在点1,1处的切线与抛物线自身及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转后所得旋转体22的体积.（二）平面曲线的弧长（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形23例 1 计算曲线y x2上相应于x从a到b的一段弧的长度.3x asin例 2 计算摆线，0 2的长度.y a1cos五、广义积分的计算五、广义积分的计算例 1 计算下列广义积分（1）0 xexdx.（2）20 x11.（3）.（4）dxdx.dx322e1 xx 2x2xlnx第四章第四章 多元函数微积分多元函数微积分一、多元函数的定义一、多元函数的定义例 1 写出下列二元函数z fx,y的几何意义（表示何种空间曲面）（1）z a
20、xbyc.（2）z R2 x2 y2.（3）z x2 y2.（4）z x2 y2.二、二元函数的定义域二、二元函数的定义域例 1 求下列函数的定义域x2 y（1）z 4 x y.（2）z lnx y 1.（3）z xy.（4）z.x y2222三、多元函数的偏导数三、多元函数的偏导数xyx2 y2,x,y0,0例 1 求函数fx,y在原点0,0的偏导数.0,x,y0,0例 2 设z tan xyzzy，求和.xyxzz和.xy例 3 设z xexysinxy，求四、全微分的概念四、全微分的概念例 1 求z arctanxy的全微分五、复合函数的偏导数五、复合函数的偏导数例 1 设z u v，u
21、 x y，v x y，求22zz和.xyzz和.xyv例 2 设z u，u 3x y，v 4x2y，求22例 3 设z fxy,x，求dz.y*例 3 设z f 2x,x2，求dz.例 4 求z f 2x3y,exy的全微分.*例 4 设z fx,u x2u，u cosxy，求fz和.xx六、隐函数的导数及偏导数六、隐函数的导数及偏导数例 1 设z zx,y由下列方程确定，求zz和.xy2（1）x2y z2 xyz 0.（2）x z ln2z.y2z*例 1 设x y z 4z 0，求2x222七、高阶偏导数七、高阶偏导数例 1 设z yesinxy2z2z，求2和.xyx*八、高阶复合偏导数
22、八、高阶复合偏导数参见习题 9-4 的第 12 题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）练习题练习题xeyzz221.求下列函数偏导数和：（1）z ln xx y.（2）z 2.yyx2.设xzzz ln，求和.zyxyz3.设e xyz确定z fx,y，求zz和.xy4.设z ln x2 xy y2，证明xzz y 2.xy八、二重积分八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算例 1 计算例 2 计算xD2 xy y2dxdy，D x,y0 x 1,0 y 1.xD2ydxdy，D由x 0，y 0与x2 y21所围成的第一象限的图形.例 3 计算例 4 计算sin x2y
23、 xdxdy，是由直线与抛物线所围成的区域.y xDxD2x ydxdy，D由y 1，2x y 3 0，x y 3 0围成.D（三）利用极坐标计算二重积分例 1 计算例 2 计算eDx2y2dxdy，D是圆心在原点，半径为a的圆.2222x y 1及坐标轴围成的第一象限内的闭域.，是圆周ln 1 x y dDD练习题练习题1.设z lnx y arctan22yzz，求和.xxyzz和.xy2.设z e2xysinx2y，求3.设z ln 12x3y2，求dz.4.设3xy x y 1确定y是x的函数，求22dydx.x1y25.求6.求xyyedxdy，其中积分区域D是由y轴，y 1，y 2
24、及xy 2所围成的平面区域.D22，式中积分区域由所确定.2ydxdy2 x y 1 1 xDD7.变换积分次序，并计算积分x2y2210dxxeydydxxeydy.212x22128.计算eDdxdy，式中积分区域D由x2 y21，x 0，y 0所确定.第五章第五章 常微分方程常微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念d2x2例 1 验证x C1coskt C2sinkt（C1、C2为任意常数）是方程2k x 0的通解.dtdxd2x2 0条件下的特解.例 2 已知方程2k x 0的通解为x C1coskt C2sinkt，xt0 A，求dtt0dt例 3 确定下列函数关系式中
25、的常数，使函数满足所给的初始条件.（1）x y C，yx05.（2）y C1C2xe2x，yx0 0，yx01.（3）y C1sinxC2，yx1，yx 0.22二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程dy例 1 解微分方程 2xy.dx例 2 求下列方程的通解dy2dy（3）cosxsin ydxsin xcos ydy 0.（4）y110 xy.x3 0.dxdxy sin x yln y例 3 求方程的初始问题的特解.yx e2（1）1 x2y 1 y2.（2）例 4 求初值问题cos ydx 1exsin ydy 0，yx04的特解.三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例
26、1 求微分方程y ycos x e例 2 求下列非齐次方程的通解（1）y ytan x sin2x.（2）例 3 求sin x的通解.ddy32（3）.（4）3 2.x2x 1 y 2xy cosx y2x2.ddxdy ytan x secx，yx0 0的特解.dx例 4 求下列方程的特解（1）dyysin xdy，yx1.（2）ycot x 5ecosx，yx 4.dxxxdx2四、二阶常系数齐次线性微分方程四、二阶常系数齐次线性微分方程例 1 求解下列常系数二阶方程（1）y7y12y 0.（2）4y4y10y 0.（3）y2y y 0.例 2 求下列方程的特解（1）y3y4y 0，yx0
27、 0，yx0 5.（2）y25y 0，yx0 2，yx05.*五、微分方程综合题【热点】五、微分方程综合题【热点】*例 1 设fx2x0ftdt x2，求fx.*例 2 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点x,y处的切线斜率等于2x y.（2012 年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）练习题练习题1.求方程dy10 xy的通解.dxy2.求方程xdy dx e dx的通解.3.求方程cosxdy ysin x 1的通解.dxxy y e4.求下列方程满足初始条件的特解：.y 2x05.求下列二阶齐次方程的通解d2ydyd2s 0.（3）2s2 0.（4）xt2
28、xt xt 0.（1）y3y4y 0.（2）25dxdxdt6.求下列初值问题的特解（1）求y4y3y 0，y0 2，y06.（2）求y25y 0，yx0 2，yx05.第一章函数的连续性例 6设：f(x)=ex2x因为：f(0)=120=10且函数 f(x)在(0，2)上不间断，则：存在 x0(0，2)，使得 f(x0)=0即存在 x0(0，2)，使得：e(x0)2=x0第二章x（2）limx0sinx解:原式=lim(x0)esinx(lnx)=elim(x0)sinx(lnx)=elim(x0)(sinx/x)(xlnx)=elim(x0)(xlnx)(等价无穷小 sinxx 代换)=elim(x0)lnx/(1/x)=elim(x0)1/x/(-1/x2)(洛必达法则)=elim(x0)(-x)=e0=1例 6 证明不等式（1）设 f(x)=ln(1+x)(x0)取区间【1，1+x】,显然 f(x)在【1，1+x】上连续，在（1，1+x）上可导。中间点可选 x,(01).由拉格朗日中值定理得：f(1+x)-f(1)=f(x)(1+x-1)即：ln(1+x)=x/(1+x)又：x/(1+x)x/(1+x)x即得证：x/(1+x)ln(1+x)xx ln1 x x,x 0.（用单调性或拉格朗）.1 x